精品解析：山东济南山东大学实验学校2026-2027学年九年级上学期第一次检测数学试题

2026-2027学年阶段性质量检测数学试卷 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程进行判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：B． 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3. 下列判断错误的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形有矩形和菱形的一切性质 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定以及菱形的判定，根据矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，故正确， B、四条边都相等的四边形是菱形，故原说法错误， C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确， D、矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质，故正确， 故选：B． 4. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196 C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 6. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴； 故选D． 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形中线的有关计算，根据矩形和角平分线的性质可得，由此可得，运用勾股定理可得的值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解 【详解】解：四边形是矩形 ，， 平分 ， ， ， ， 在中， 点F为的中点 ， 故选：D 9. 如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点O，点E为中点，点F为中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，含30度直角三角形的性质等知识，取点的中点H，连接，即可得出为的中位线，再由菱形的性质得出，再由勾股定理得出，再进一步利用勾股定理即可求出． 【详解】解：取点的中点H，连接， ∵点F为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴在中，， 故选A 10. 如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，，根据相似三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则_______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入原式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 方程的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 先将方程化为一般形式后，然后再确定一次项系数即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以一次项系数是2． 故答案为2． 13. 三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10，则这个相似三角形的最短边为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．由三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：设这个相似三角形的最短边为， 三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10， ， 解得：， 这个相似三角形的最短边为6． 故答案为：6． 14. 我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案． 【详解】解：63cm=0.63m，AB=7cm=0.07m， ∵AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴ 即 d=252（m）， 故答案为：252． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比分析是解题关键． 15. 若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式 的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是方程两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为：3 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过作，交于点，若，则正方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，过点作于，延长交于，先证明四边形是正方形，四边形是矩形，然后利用勾股定理求得，接着证明，得到，接着算得，最后求得正方形的面积． 【详解】解：作于，过点作于，延长交于，如图所示： ∵正方形， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ， 四边形是矩形， ，， ，由勾股定理得：， ∴， ， ， ， ， ， 在和中，， ， 则， ， 则正方形的边长是， 正方形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共16分． 17. 解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用配方法解此一元二次方程即可； （2）用配方法解此一元二次方程即可； （3）用公式法解此一元二次方程即可； （4）用因式分解法解此一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， 【小问3详解】 解： ，，， ∴， ∴， 【小问4详解】 解：， ， ， 或， ∴， 四、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月平均增长率？ 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为． 【解析】 【分析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设月增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】4米 【解析】 【分析】用平移法，计算阴影的长为米，米，利用矩形的面积公式列方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程，并解答是解题的关键． 【详解】解：根据道路的宽为x米，根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽为4米． 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 21. 如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】在中，根据平行线分线段成比例求出，在中，根据平行线分线段成比例求出，即可求出． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 22. （项目式学习・探究销售利润）2025年人工智能大会在上海成功举办，科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 若每件智能摆件的利润率不低于，则智能摆件的销售价最多降低多少元？（利润率） 任务3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 【答案】任务1：1152元． 任务2：智能摆件的销售价最多降低元． 任务3：智能摆件的销售价为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）先算出降价8元时，每件的利润以及每天的销量，然后用每件的利润乘以每天的销量可得出答案； （2）设智能摆件的销售价降低元．，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围； （3）设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】任务1： 解：当降价8元时，每件利润为：（元） 平均每天能卖出：（件） 那么每天利润为：（元） 答：当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润1152元． 任务2： 解：设智能摆件的销售价降低元． 解得：， 那么最大为7元， 答: 智能摆件的销售价最多降低元． 任务3： 解：设智能摆件的销售价为元． 解得：或， 那么当优惠力度最大时，， 答：智能摆件的销售价为元． 23. 如图，在菱形中，为的中点，的延长线与的延长线交于点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴； （2） 解：四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分且相等， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得到，则，再由线段中点的定义可得，由此即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据菱形的性质结合已知条件证明，再根据矩形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定，熟知菱形的四条边相等，对边平行，对角线互相平分且相等的四边形是矩形是解题的关键． 24. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． （3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2），互为倒数 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可． （2）解方程，根据根与系数关系定理解答即可． （3）根据结论，结合方程解的定义解答即可． 本题考查了新定义，根与系数关系定理，方程解的定义，熟练掌握新定义，根与系数关系定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：已知一元二次方程的两根为， 解方程得， 故答案为：； 由方程的两根；，“友好方程”的两根， 则，， 故． 故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数． 故答案为：互为倒数． 【小问3详解】 解：关于x的方程的两根是． 故方程的两根是， 故方程的两根是， 又， 故， 故是方程的根． 故或， 解得或， 故关于x的方程的两根为或． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以1的速度向点B移动；点Q从点B出发沿以2的速度向点C移动，动点P和Q同时出发，当其中一个动点到达终点后随即停止运动，设运动时间为． （1）当时，求t的值； （2）当的面积为25时，求t的值； （3）在点P、Q的运动过程中，能否在某一时刻成为以Q为直角顶点的等腰直角三角形？如果能，求出满足条件时t的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题为几何图形动点问题，考查了矩形性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，构造关于t的方程是解题关键． （1）由题意得，证明，得到，即可求出； （2）根据四边形为矩形得到，，，根据的面积为25，列出方程，解方程即可求解； （3）当为以Q为直角顶点的等腰直角三角形时，证明，得到，当时，求出，再证明，即可得到当时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 当的面积为时， 由题意得， 整理得， 解得， ∴或； 【小问3详解】 解：当为以Q为直角顶点的等腰直角三角形时， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得， 此时， ∴， ∴当时，是以Q为直角顶点的等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年阶段性质量检测数学试卷 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列判断错误的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是矩形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 正方形有矩形和菱形的一切性质 4. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196 C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，点F为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点O，点E为中点，点F为中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是（ ） A. 4 B. C. D. 5 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则_______． 12. 方程的一次项系数是______． 13. 三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边为10，则这个相似三角形的最短边为__________． 14. 我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 15. 若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式 的值为_____． 16. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过作，交于点，若，则正方形的面积为________． 三、计算题：本大题共1小题，共16分． 17. 解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 四、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月平均增长率？ 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 20. 学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 21. 如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 22. （项目式学习・探究销售利润）2025年人工智能大会在上海成功举办，科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 若每件智能摆件的利润率不低于，则智能摆件的销售价最多降低多少元？（利润率） 任务3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 23. 如图，在菱形中，为的中点，的延长线与的延长线交于点，为延长线上一点，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并证明你的结论． 24. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． （3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以1的速度向点B移动；点Q从点B出发沿以2的速度向点C移动，动点P和Q同时出发，当其中一个动点到达终点后随即停止运动，设运动时间为． （1）当时，求t的值； （2）当的面积为25时，求t的值； （3）在点P、Q的运动过程中，能否在某一时刻成为以Q为直角顶点的等腰直角三角形？如果能，求出满足条件时t的值；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $