精品解析：湖北武汉经济技术开发区第一中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

2026-2027学年度高一9月月考 数学试卷 考查范围：人教A版必修一第一二章 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列命题为真命题的是（   ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 3. 集合，，则一定不会等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要条件 C. 若，，，则是的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 11. 对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则{或} B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 三、填空题 12. 已知集合，，则________． 13. 实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 14. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 四、解答题 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求已知关于的不等式的解集． 17. 某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? （2）为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 18. 定义：对于集合A， 称集合 为集合A的生成集(其中m，n可以相等). （1）若集合的生成集为，求集合； （2）若集合的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合的生成集为，求证：. 19. （1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即，时取等号.学习上述解法，并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高一9月月考 数学试卷 考查范围：人教A版必修一第一二章 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】将存在量词改为全称量词，否定原命题的结论可得到. 【详解】命题“，”的否定是，. 2. 下列命题为真命题的是（   ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】B 【解析】 【详解】当时，显然不成立，故A错误； 由，利用不等式的性质易得，故B正确； 当时，取，则，故C错误； 当时，,由不等式的性质，可得，故D错误. 3. 集合，，则一定不会等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， ， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当且且时，，此时. 综上所述，可以为，，，不可以为. 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 5. 关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数、一元二次不等式、一元二次方程之间的关系可得，的根为，由韦达定理可得，可得，解一元二次不等式即可. 【详解】因为的解集为，所以， 且的根为， 所以，可得， ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 6. 若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】“存在，使得” 为假命题， 则对任意，都有，恒成立， ，，整理可得， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减， 当时，， 故，即的最大值是4． 7. 已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 8. 设，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，再利用不等式性质进行变形即可. 【详解】由于表达式具有轮换对称性，不妨设， 则， ，，，的每一项都除以，不等号方向不变， ，， ，，，的每一项都除以，不等号方向不变， ，， ，将两个同向不等式相加，不等号方向不变， ， ， ， ， ，，，， ，，， ，，， ，， ，， ，，， ， ， . 的最大值是. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要条件 C. 若，，，则是的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 10. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 11. 对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则{或} B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出，根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，可利用韦恩图进行说明. 【详解】A选项，，，故{或}，A正确； B选项，，不妨设， 则，故， 但不满足，B错误； C选项，当且A与B不是包含关系时，如图1， ①为集合且，②为集合且， ③为集合，④为集合， 表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集， 为集合①，故为集合③④的并集， 为集合①②的并集，故为集合③④的并集，故； 当时，如图2，①为集合，表示集合①和集合的并集， 表示集合①和集合的并集，为集合，故为集合①， 为集合的并集，故为集合①，故； 如图3，当时，表示集合①，为集合， 故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故； 如图4，当时，②为且，①为， 表示集合①和②的并集，， 表示集合②，故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故. 综上，C正确； D选项，画韦恩图，如下： 情况较多，我们就第一个图进行说明， ①为且且， ②为且且， ③为且，④为， ⑤为且，⑥为， ⑦为且，⑧为且且， 表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集， 表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集， 故， 当满足其他关系时，经检验，也满足，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维量. 三、填空题 12. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集、补集的定义进行求解即可. 【详解】∵，则，解得或， ∴，或， 又∵，则，解得或， ∴，或， 则， 则. 13. 实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 14. 设为正实数，且，则的最大值为___，的最小值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】而为正实数，则，故的最大值为， 当且仅当时，取得最大值． 令，， ， ， 又， ， 当且仅当时，即时取得最小值， 的最小值为． 四、解答题 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或或（也可写为） 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值； （2）若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【解析】 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； 【小问2详解】 当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 17. 某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? （2）为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】（1）元 （2）万件，元 【解析】 【分析】（1）由题意列出一元二次不等式，结合一元二次不等式解法进行求解即可； （2）利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元； 【小问2详解】 依题意，当时， 有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元 18. 定义：对于集合A， 称集合 为集合A的生成集(其中m，n可以相等). （1）若集合的生成集为，求集合； （2）若集合的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合的生成集为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：，则， 故； ， 故； 故，即. 【解析】 【分析】（1）利用题目给的定义，注意到，所以可分两种情况：或，分别代入B集合中即可求解. （2）利用题目给的定义，m，n的取值可分3种情况：或或m与n分别取2和a，分别代入B集合中，根据集合的子集个数确定集合的元素个数，进而列方程确定a的取值. （3）根据A集合的范围和B集合的定义，利用不等式的性质分别证明和即可. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，； 所以. 【小问2详解】 的子集个数为4个，故集合的元素有2个. 当时，； 当时，； 当m与n分别取2和a时，； ①，解得（舍）或； ②，解得（舍）； ③，解得（舍）或，或， 综上所述：，，或，即. 【小问3详解】 略. 19. （1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即，时取等号.学习上述解法，并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m值. 【答案】（1）当时，函数有最小值； （2），当且仅当且，同号时等号成立 （3）时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）变形得，运用基本不等式，结合分式的性质进行求解即可； （2）根据，再作差并结合完全平方式即可证明； （3）根据（2）的结论，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】（1），因为， 所以，即 当且仅当时取等号， 所以当时，函数有最小值； （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足； （3）令，， 设，因为， 所以设，， 因为，所以， 所以M， 当且仅当时取等号，即，，即， 所以时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $