25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程（第 2 课时） 　　探究 1　某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染 后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？　 　　问题 1　“经过两轮传染”是什么意思？我们可以尝试用一个特殊值来理解： 　　例如，开始有 1 个人患流感，设这种流感病毒每人每轮传染 3 个人． 　　（1）第一轮能传染多少人，共有多少人被传染？ 　　（2）第二轮能传染多少人，共有多少人被传染？ 　 新知探究 2 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 1 3 4 4 12 16 累计患者总数=传染源+新增患者数 新知探究 　　探究 1　某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染 后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？　 　　问题 1　“经过两轮传染”是什么意思？我们可以尝试用一个特殊值来理解： 　　例如，开始有 1 个人患流感，设这种流感病毒每人每轮传染 3 个人． 　　利用表格分析问题中的信息． 每一轮的传染源，都是上一轮结束时的累计患者总数． 3 新知探究 　　探究 1　某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染 后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？　 　　追问 1　开始有 1 个人患流感，设这种流感病毒每人每轮传染 x 个人． 　　（1）第一轮能传染多少人，共有多少人被传染？ 　　（2）第二轮能传染多少人，共有多少人被传染？ 　 4 　　探究 1　某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染 后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？　 　　追问 1　开始有 1 个人患流感，设这种流感病毒每人每轮传染 x 个人． 　　利用表格分析问题中的信息． 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 1 x 1＋x 1＋x (1＋x)x 1＋x＋(1＋x)x 累计患者总数=传染源+新增患者数 每一轮的传染源，都是上一轮结束时的累计患者总数． 新知探究 5 新知探究 　　探究 1　某种传染病的传染速度很快．如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染 后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 　　追问 2　你能根据所设的未知数和找到的等量关系，列出方程吗？ 　　解：设每轮传染中平均 1 个人传染了 x 个人． 1＋x＋(1＋x)x＝121． 　　解方程，得 x1＝10，x2＝－12 　　因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人． 　　追问 3　按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？　 （不合题意，舍去）． 6 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 第三轮 新知探究 　　追问 3　按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 1 1＋10 (1＋10)2 10 (1＋10)×10 (1＋10)2×10 1＋10 1＋10＋(1＋10)×10　(1＋10)2 (1＋10)2＋(1＋10)2×10 (1＋10)3 　　(1＋10)＋(1＋10)×10＋(1＋10)2×10＝(1＋10)3＝1 331． 　　因此，经过三轮传染后共有 1 331 个人被传染. 7 新知探究 　　追问 3　按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 第三轮 1 1＋10 121 10 (1＋10)×10 121×10 1＋10 121 121＋121×10 　　121＋121×10＝1 331． 　　因此，经过三轮传染后共有 1 331 个人被传染. 　　追问 4　结合以上探究结果，谈谈你对阻断病毒传播必要性的理解． 　　这在数学上常被描述为“指数爆炸”，意指增长速度惊人，超乎想象． 8 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？　 　　问题 2　结合实际理解问题情境，找出情境中有哪些数量关系． 　　甲种食品成本的年平均下降额为 (10 000－6 000)÷2＝2 000 元， 　　乙种食品成本的年平均下降额为 (12 000－7 200)÷2＝2 400 元 . 新知探究 9 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 1　显然，乙种食品成本的年平均下降额较大． 但年平均下降额（元）等同于年平均下降率（百分数）吗？ 　　成本下降额表示绝对变化量，单位是元； 　　成本下降率表示相对变化量，是表示比率的数， 　　以该次变化前的数量为单位“1”，两者不能等同．　 10 时间 起始量 下降量 变化后的量 第一年 第二年 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 2　如果设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 ___________ 元，两年后甲种食品成本为 ____________ 元． 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 10 000 10 000x 10 000－10 000x 10 000(1－x) 10 000(1－x) 10 000(1－x)x 10 000(1－x)2 11 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 2　如果设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 ___________ 元，两年后甲种食品成本为 ____________ 元． 　　追问 3　请根据题意找出等量关系，然后列出方程并求解． = 新知探究 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 两年后甲种食品成本 现在甲种食品成本 两年后（现在）甲种食品成本＝6 000 元 12 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 __________ 元，两年后甲种食品成本为 _____________ 元． 10 000(1－x)2＝6 000． 　　解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775 　　追问 4　观察方程的两个根，它们在问题中表示什么意义？ 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 x1≈22.5%，x2≈177.5% 　　如果年平均下降 率为 177.5%，那么成 本就变为负值，而成 本必须大于 0． 13 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 __________ 元，两年后甲种食品成本为 _____________ 元． 10 000(1－x)2＝6 000． 　　解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775 　　根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 10 000(1－x) 10 000(1－x)2 x1≈22.5%，x2≈177.5% （不合题意，舍去）． 14 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 5　类似甲种食品成本的年平均下降率的求解过程，请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率． 15 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 __________ 元，两年后乙种食品成本为 _____________ 元． 12 000(1－y) 12 000(1－y)2 = 两年后乙种食品成本 现在乙种食品成本 两年后（现在）乙种食品成本＝7 200 元 16 （不合题意，舍去）． 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 __________ 元，两年后乙种食品成本为 _____________ 元． 12 000(1－y)2＝7 200． 　　解方程，得 y1≈22.5%，y2≈177.5% 　　根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 12 000(1－y) 12 000(1－y)2 （不合题意，舍去）． 17 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 甲、乙两种食品成本的年平均下降率相等． 18 新知探究 　　探究 2　两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元．随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元．哪种食品成本的年平均下降率较大？ 　　追问 6　经过计算，你能得出什么结论？成本的年平均下降额大的食品，它的成本的年平均下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 　　成本的年平均下降额大的食品，其成本的年平均下降率不一定较大． 　　成本的年平均下降额表示绝对变化量，成本的年平均下降率表示相对变化量，两 者兼顾才能全面比较对象的变化情况． 19 　　1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支 干同样数目的小分支．如果主干、支干和小分支的总数是 91，那么每个 支干长出多少个小分支？ 　　解：设每个支干长出 x 个小分支． 1＋x＋x2＝91． 　　解方程，得 x1＝9，x2＝－10 　　因此，每个支干长出 9 个小分支．　　 主干+支干+小分支=91 1 课堂练习 （不合题意，舍去）． x x • x 20 课堂练习 　　2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产 15 000 kg，两年后平均每公顷 产 18 000 kg．求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率(结果写成 a % 的 形式，其中 a 保留小数点后两位)． 　　解：设这两年水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，则一年后水稻每 公顷产量为___________ kg，两年后水稻每公顷产量为____________ kg． 　　　　　　15 000(1＋x)2＝18 000． 　　解方程，得 x1≈9.54%，x2≈－209.54% 　　因此，这两年水稻每公顷产量的年平均增长率约为 9.54%． （不合题意，舍去）． 两年后水稻每公顷产量＝18 000 kg 15 000(1＋x)2 15 000(1＋x) 21 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）回顾本节课的探究，你能分别总结出“两轮传染”问题和“两 轮平均变化率”问题的基本数量关系吗？ （2）通过本节课的学习，你认为列出一元二次方程并求解后，还需注 意什么？ （3）本节课用到了哪些数学思想与方法？你还有哪些收获？ 课堂小结 22 　　（1）回顾本节课的探究，你能分别总结出“两轮传染”问题和“两 轮平均变化率”问题的基本数量关系吗？ 课堂小结 轮次 传染源 新增患者数 累计患者总数 第一轮 第二轮 a ax a＋ax a(1＋x) a(1＋x)x a(1＋x)＋a(1＋x)x “两轮传染”问题 　　设初始患者数为 a，每轮平均 1 人传染 x 人，最终患者总数为 b． a(1＋x) a(1＋x)2 “两轮传染”问题的基本数量关系为 a(1＋x)2＝b． 23 课堂小结 　　（1）回顾本节课的探究，你能分别总结出“两轮传染”问题和“两 轮平均变化率”问题的基本数量关系吗？ 轮次 起始量 新增量 变化后的量 第一轮 第二轮 a ax a＋ax a(1＋x) a(1＋x)x a(1＋x)＋a(1＋x)x 　　增长率问题：设起始量为 a，增长率为 x，变化后的量为 b． a(1＋x) a(1＋x)2 增长率问题的基本数量关系为 a(1＋x)2＝b． “两轮平均变化率”问题 24 课堂小结 　　（1）回顾本节课的探究，你能分别总结出“两轮传染”问题和“两 轮平均变化率”问题的基本数量关系吗？ 轮次 起始量 下降量 变化后的量 第一轮 第二轮 a ax a－ax a(1－x) a(1－x)x a(1－x)－a(1－x)x 　　下降率问题：设起始量为 a，下降率为 x，变化后的量为 b． a(1－x) a(1－x)2 下降率问题的基本数量关系为 a(1－x)2＝b． “两轮平均变化率”问题 25 课堂小结 　　（1）回顾本节课的探究，你能分别总结出“两轮传染”问题和“两 轮平均变化率”问题的基本数量关系吗？ 　　设起始量为 a，平均变化率为 x，变化后的量为 b. “两轮平均变化率”问题 增长率问题：a(1＋x)2＝b． 下降率问题：a(1－x)2＝b． “两轮平均变化率”问题：a(1±x)2＝b. 26 　　（2）通过本节课的学习，你认为列出一元二次方程并求解后，还需 注意什么？ 课堂小结 求解后还需根据实际意义检验方程解的合理性． 27 课堂小结 　　（3）本节课用到了哪些数学思想与方法？你还有哪些收获？ 25.3 实际问题与一元二次方程（第 2 课时） 数学 思想 模型思想 转化思想 比较思想 数学 方法 列表法 列方程法 检验法 核心 素养 模型观念 应用意识 28 教科书习题 25.3 第 4 题； 教科书复习题 25 第 11，12 题． 课后任务 29 $