第25章一元二次方程数学活动（教学课件） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公共解条件探究与线段分割中的黄金分割，通过问题情境导入，引导学生经历“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”过程，衔接方程解法与几何应用，搭建代数推理到数形结合的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，融合数学思维（推理意识、运算能力）与数学眼光（几何直观、创新意识）。例如活动1通过联立方程相加、判别式分析推导公共解条件，活动2结合线段关系建立方程导出黄金分割比，体现模型意识。小结通过易错提醒强化严谨性，学生能提升推理与数形结合能力，感受数学美感，教师可依托结构化素材提升教学效率。

（人教版）九年级上 第二十五章 一元一次方程 数学活动 22051 2 1．经历“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”的探究过程，提升代数推理、归纳概括能力；通过线段分割建模解方程的过程，强化数形结合、数学建模的思想方法. 2．在自主探究与合作交流中体验数学探究的乐趣；感受黄金分割的数学美感与实用价值，体会代数与几何的内在统一性，提升数学学习的积极性与审美素养. 学习目标 22051 探究方程有公共解的条件 已 知abc≠0，下列方程： 活动1 ax²+bx+c=0, ① bx²+cx+a=0. ② cx²+ax+b=0 ③ 恰有一个公共解 . 给出a、b、c 满足的条件，并求出方程①②③的解. 22051 设三个方程的公共解为x0，将x0代入三个方程可得： 活动1 探究方程有公共解的条件 提取公因式(a+b+c)得：(a+b+c)(x02+x0+1)=0。 将(1)、(2)、(3)式相加得：(a+b+c)x02+(a+b十c)x0+(a+b十c)=0， 对于x2+x+1=0，其判别式 =12-4x1x1=-3<0，所以x2 +x+1≠0. 因为abc≠0，所以a+b+c=0，即c=-a-b。 22051 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 议一议 （1）请大家解下列一元二次方程，这两个方程有公共解吗？ 方程①根为， 方程②根为， 两个方程有公共解x=1。 （2）公共解x=1满足什么特点？ 公共解同时满足两个方程，代入两个方程等式均成立. ① -3x+2=0 ② -4x+3=0 解： ① -3x+2=0 （x－1）（x－2）=0 解得： ② -4x+3=0 （x－1）（x－3）=0 解得： 22051 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 解：设三个方程的公共解为m，根据方程解的定义，将m代入三个方程，等式均成立： am2+bm+c=0，① bm2+cm+a=0，② cm2+am+b=0. ③ 由①+②+③，合并同类项可得： (a+b+c)m2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0. 提取公因式 (a+b+c)，化简得： (a+b+c)(m2+m+1)=0. 22051 把x0=1代入方程②得：b+c+a=0，所以x=1是方程②的解。 活动1 探究方程有公共解的条件 将c=-a-b代入(1)式得：ax02+bx0-a-b=0， 因式分解得：a(x02-1)+b(x0一1)=0， 即a(x0-1)(x0+1)+b(x0-1)=0， 提取公因式(x0-1)得：(x0-1)[a(x0+1)+b]=0, 即(x0-1)(ax0+a+b)=0。 因为三个方程恰有一个公共解，所以x0=1。 将x0=1代入c=-a-b 得：a+b+c=0。 把x0=1代入方程①得：a+b+c=0，所以x=1是方程①的解。 22051 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧。你能把任意一条线段分成两两不等的 三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗? 神奇的线段分割 活动2 李明：你来试试这个。 李明：这简单，我来分。 方法是：先把线段平均分成两份，其中一份作为最长的线段；把另一份分成不相等的两份，就满足条件。 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为a、b、c, 且 a>b>c, 你能找到合适的 a、b、c, 使 同时成立吗? 22051 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 思考： (a+b+c)(m2+m+1)=0中m2+m+1=0能成立吗？ 解方程： m2+m+1=0， ∵Δ=12– 4×1×1= –3<0， 又∵ m2+m+1 =（m+）2+ 不论m取何值，（m+）2+ >0. ∴要使等式成立，只能满足 a+b+c=0， 这就是 a，b，c 需要满足的条件. 方程 m2+m+1=0无实数解. 22051 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 由 a+b+c=0，得 c = –(a+b)， 代入①，②，③得： ax2+bx–(a+b)=0， ① bx2–(a+b)x+a=0， ② –(a+b)x2+ax+b=0. ③ (x–1)[ax+(a+b)]=0， ① (x–1) (bx–a)=0， ② (x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 因式分解 22051 神奇的线段分割 活动2 李明：当然，不过要费一番脑筋。 王芳：这可能吗? 我们可以通过代数推导来分析这个问题: 已知条件: 步骤1 : 代入消元 由条件2，a=b+c，将其代入条件3: 22051 神奇的线段分割 活动2 步骤2 : 通分化简 左边通分: 交叉相乘得: 展开: 整理得: 22051 新知探究 活动1 活动1探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 解方程：(x–1)[ax+(a+b)]=0， ① 解得： x1=1，x2= – 解方程：(x–1) (bx–a)=0， ② 解得： x1=1，x2= – 解方程：(x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 解得： x1=1，x2= – . ∴三个方程的公共解为 x=1. 22051 新知探究 活动1 活动1探究一元二次方程有公共解的条件 公共解问题通用方法： 设公共解，代入所有方程联立，通过加减消元、因式分解简化推导. 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 22051 神奇的线段分割 活动2 步骤3 : 解关于b的方程 将方程视为关于6的一元二次方程: 用求根公式: 因为b>0，取正根: 步骤4 : 求a 现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作出李明提出的问题中线段的两个分点。 22051 1．已知方程mx2－nx－6＝0与方程mx2＋3nx－18＝0有一公共解是3，求m，n的值，并求方程mx2－nx－6＝0的另一个解． 解：把x＝3代入方程mx2－nx－6＝0和mx2＋3nx－18＝0可得 解得 把m，n的值代入mx2－nx－6＝0，得 x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2， 即方程的另一个根为x＝2. 课堂练习 22051 新知探究 活动2 神奇的线段分割 议一议 一条长为l线段，被分成的三条线段为a、b、c，满足a=b+c，且a、b、c互不相等，求a、b、c. 满足条件的线段： ①a=b+c， ②a+b+c= l ， 解：线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等.如图所示 ∵a+b+c= l ，a=b+c， ∴ 2a=l，即 a = l. a b c 你能把任意一条线段分成不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和？ 问题转化 22051 新知探究 活动2 活动2神奇的线段分割 活 动 将一条线段AB分割为AP、PB两段（AP＞PB），若满足较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，这种分割方式有何特殊性？ 解：设线段AB=1，AP=x，则PB=1x，根据比例关系列出等式： AP²=AB×PB，整理得一元二次方程： x2+x1=0 解方程，得 ： ∴AP = ≈0.618. A B P 分析 已知条件 解决的问题：确定分割点P 的位置 即 AP²=AB×PB， 黄金分割比 22051 2．已知三个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，bx2＋cx＋a＝0，cx2＋ax＋b＝0有公共根，求证：a＋b＋c＝0. 证明：设这三个方程的一个公共根为t. 把x＝t代入，得 at2＋bt＋c＝0，bt2＋ct＋a＝0，ct2＋at＋b＝0， 相加得(a＋b＋c)t2＋(b＋c＋a)t＋(a＋b＋c)＝0， (a＋b＋c)(t2＋t＋1)＝0， ∵t2＋t＋1≠0，∴a＋b＋c＝0. 22051 3.已知关于的一元二次方程 和 只有一个公共解，求 的值及公共解. 解：设两个方程的公共解为 ， 则①， ， ，得 ， ，或 . 把代入方程，得 ， ，方程无实数根. 把公共解代入①，得，解得 . 故的值为9，两个方程的公共解为 . 22051 20 新知探究 活动2 活动2神奇的线段分割 试一试 将一条线段分成不等的三条线段，三条线段为a、b、c，且a>b>c，你能找的a、b、c，使和同时成立吗？ 解：设线段全长为 1，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. ∵ + = + = ， 即 = . ∴ bc+ac=ab， (a+b)c=ab. ① 把a=b+c，代入①，得: (b+c+b)c=(b+c)b， 移项，合并同类项得: b2–bc–c2=0. ② 将②看作关于 b 的一元二次方程，c 为常数， 解关于b的一元二次方程： : b2–bc–c2=0 b= = c. 因为 b>0，所以 b = c ，即 = . 求根公式求解 ∵b＞0，∴ b= c 22051 新知探究 活动2 活动2神奇的线段分割 试一试 将一条线段分成不等的三条线段，三条线段为a、b、c，且a>b>c，你能找的a、b、c，使和同时成立吗？ ∵ a+b+c=1，a=b+c， ∴ 2a=1，即 a = ∴ c+c = ， 即 c = . ∵b= c =× = 验证：长度关系： 倒数关系: a∶b∶c = ∶ ∶ =1∶ ∶ . 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 23 易 错 提 醒 课堂小结 （1）探究方程公共解时，忽略实数根前提，误将无实根方程的虚拟公共根当作有效解. （2）未根据线段长度为正的实际意义舍去负根. 22051 谢谢大家聆听 22051 $