2026-2027学年人教版数学九年级上册期中复习 课件

A C B x 5- x 新教材数学人教版九年级上册 期中 反比例 函数 概念 实际应用 图象与性质 概念 根与系数关系 一元二次方程 解法 解决实际问题 概念 与一元二次方程的关系 二次函数 图象与性质 解决实际问题 一元二次方程 一元二次方程的概念 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0). 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 一元二次方程的一般形式 一元二次方程 直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 配方法 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 一元二次方程的解(根) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 一元二次方程 根的判别式 可以发现，式子 b2-4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ= b2-4ac. 对于方程ax2 + bx + c = 0(a≠0) 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ= 0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. 一元二次方程 求根公式 公式法 只有当能确定方程是一元二次方程且b2 -4ac ≥ 0后，才可以用求根公式求解． 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 一元二次方程 因式分解法 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 实际应用 常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： 若 a 表示传播之前的人数，x 表示每轮每人传播的人数，n 表示传播的轮数，b 表示最终的总人数，则 a(1+x)n=b． 若平均增长(或下降)的百分率为x，增长(或下降)前的量为a，增长(或下降)n次后的量为b，则它们的数量关系可表示为a(1x)n=b. 其中增长用“+”表示，下降用“-”表示. 二次函数 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 二次函数解析式必须同时满足以下三个条件： 1.解析式右边都是整式 2.自变量x的最高次数都是2 3.二次项系数不为0 二次函数 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (0，0) y轴 x=0时，y最小=0 开口向下 (0，0) y轴 x=0时，y最大=0 对于抛物线y=ax²(a≠0)，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大. 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 二次函数 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质 y=ax²+k(a≠0) a>0 a<0 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (0，k) y轴 x=0时，y最小=k 开口向下 (0，k) y轴 x=0时，y最大=k 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 二次函数 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (h，0) 直线x=h x=h时，y最小=0 开口向下 (h，0) 直线x=h x=h时，y最大=0 当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (h，k) 直线x=h x=h时，y最小=k 开口向下 (h，k) 直线x=h x=h时，y最大=k 当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 二次函数 二次函数的平移规律 y=ax2 y=a(xh)2k y=a(xh)2 y=ax2k 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位 “上加下减”常数项，“左加右减”自变量 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质 x y O y=ax2+bx+c(a>0) x y O y=ax2+bx+c(a<0) 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质 对于一般形式的二次函数来说，它的最大(小)值在顶点处取得，但在实际问题中，要在自变量的取值范围内寻求其最大(小)值. 二次函数 二次函数与一元二次方程关系 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数图象与x轴的交点情况)： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值y=0时对应的点的横坐标的值，即二次函数与x轴交点的横坐标. 两个公共点⟺ 两个不相等实数根⟺ Δ>0 一个公共点⟺ 两个相等实数根⟺ Δ=0 没有公共点⟺ 没有实数根⟺ Δ<0 二次函数 用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值时，根的整数部分可以观察图象得到，根小数部分的探求需用到函数的性质. 当x取x1，x2时，若对应的y1，y2异号，则方程必有一根在x1与x2之间，在x1和x2之间继续等分，逐步逼近，使得到的根的精确度越来越高. 二次函数 实际问题中求最大面积 将二次函数解析式配方成顶点式y=a(x-h)2+k ，明确自变量取值范围： 若顶点在自变量范围内，a>0时，k是最小值；a<0时，k是最大值. 若顶点不在自变量范围内，计算端点值，结合函数图象判断最值. 运用“总利润=单件利润×销售量(总利润=总售价总成本)”公式，建立利润与价格之间的二次函数解析式，结合题干条件明确自变量取值范围，利用函数图象，分析最值并确定自变量的取值(整数). 实际问题中求最大利润 反比例函数 反比例函数的概念 反比例函数的三种形式 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，函数值y的取值范围也是非零实数. 反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象和性质 特征：图象是双曲线，无限接近坐标轴，且不与坐标轴相交. 象限分布：k>0：图象在第一、第三象限； k<0：图象在第二、第四象限 远近规律：|k|越大，双曲线离原点越远；|k|越小，越靠近原点. 增减性： k > 0： 在每一个象限内，y随x的增大而减小. k < 0： 在每一个象限内，y随x的增大而增大. 只能在同一象限内讨论，跨象限不能直接比较函数值大小. 点与图象的关系 反比例函数的图象和性质 比较函数值大小 1.性质法：同分支比横坐标，利用增减性确定纵坐标大小，不同分支依点上下位置直接比较函数值. 2.图象法：描出对应点，通过点的上下位置直观比较函数值. 3.特殊值法：取自变量特殊值代入解析式，算出函数值直接比较. 实际问题与反比例函数 反比例函数实际应用 模型识别：两个变量乘积固定不变，选用反比例函数. 解题步骤(图象类)： 1.看图找点：确定变量取值范围，读取图象关键点坐标； 2.求解析式：代入点坐标，用待定系数法确定反比例函数关系式； 3.互化范围：利用反比例函数增减性，完成两个变量取值范围的转化； 4.实际检验：结合生活场景验证结果是否符合现实意义. 实际问题与反比例函数 反比例函数实际应用 建模流程(表格数据类)： ①分析数据：绘制散点图，判断函数类型； ②建立模型：设反比例解析式，待定系数近似求 k； ③检验模型：代入已知数据验证匹配度； ④求解作答：利用函数估算、计算未知量. 题型归纳·内容归纳 题型1 一元二次方程定义辨析 题型2 配方法解一元二次方程 题型3 反比例函数图象上点的特征 题型4 二次函数的图象和性质 题型5 二次函数图象平移变换 题型6 二次函数与一元二次方程 题型8 反比例函数函数值大小比较 题型7 一元二次方程根的条件求参 题型10 二次函数代数综合之对称性 题型9 一元二次方程的解法 题型11 一次函数与反比例函数综合 题型12 二次函数实际应用 D 一元二次方程定义辨析 判断一元二次方程时，先化简，再看元数和次数，最后确认二次项系数不为0. C 配方法解一元二次方程 配方口诀：二次项系数先化1，常数项移右边，两边同加“一次项系数一半的平方”． B 反比例函数图象上点的特征 若点(x,y)在反比例函数图象上，则点(-x,-y)、(y,x)、(-y,-x)也在. 若抛物线的解析式是：y=2(x−1)2，点A(0,y1)、B(3,y2)、C(4,y3)都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是(     ) A. y2<y1<y3 B. y3<y2<y1 C. y1<y2<y3 D. y1<y3<y2 C 二次函数的图象和性质 A 二次函数图象平移变换 A 二次函数图象平移变换 二次函数图象平移解题方法 1.优先锁定抛物线顶点坐标，先平移顶点，再写出新解析式. 2.也可根据平移规律直接改写平移后的解析式， 牢记平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项. 二次函数图象上点的函数值大小比较 判断点是否在二次函数对称轴同侧，若在，根据增减性判断大小；若不在，利用二次函数图象的对称性，先对称点到同侧，再利用增减性比较. 二次函数与一元二次方程 4 二次函数与x轴的交点问题，可以转化为一元二次方程求解. 一元二次方程根的条件求参 A 方程有实根，要先判断方程类型，一元二次方程有实根，Δ≥0. 反比例函数函数值大小比较 C 含参一元二次方程有实数根求参数 1.先分类：分清是不是一元二次方程(二次项系数≠0). 2.一元二次方程有实数根，则判别式Δ≥0，解不等式. 3.最后取两个条件的公共解集. 反比例函数图象上点的函数值比较大小 1.先根据k的正负，判断每个点所在象限. 2.跨象限不能直接用增减性，一、二象限点 y 恒大于三、四象限点 y 3.同一象限内，再利用反比例函数增减性比较. 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 已知二次函数y=ax24ax+c(a，c是常数，a>0) (1)求该函数图象的对称轴； (2)当x≤m时，y随x的增大而减小，求m的范围； (3)已知点P(n，y1)在二次函数y=ax24ax+c的图象上，若c<y1，求n的取值范围. 二次函数代数综合之对称性 已知二次函数y=ax24ax+c(a，c是常数，a>0) (2)当x≤m时，y随x的增大而减小，求m的范围； 二次函数代数综合之对称性 已知二次函数y=ax24ax+c(a，c是常数，a>0) (3)已知点P(n,y1)在二次函数y=ax24ax+c的图象上，若c<y1，求n的取值范围. 二次函数代数综合之对称性 一次函数与反比例函数的综合 一次函数与反比例函数的综合 二次函数的实际应用 (2)旅行过程中的成本由旅行社统一支出，成本Q=6x2+18000，那么为获得最大利润，每团有多少人最适宜？ 二次函数的实际应用 二次函数的实际应用 (2)旅行过程中的成本由旅行社统一支出，成本Q=6x2+18000，那么为获得最大利润，每团有多少人最适宜？ 二次函数实际利润最值问题解题方法 1.找准自变量分段临界点，分区间列出函数关系式. 2.二次函数解析式可化为顶点式确定最值(求出顶点横坐标). 3.判断顶点横坐标是否在本区间，不在区间则取端点求最值(增减性). 随着旅游旺季的到来，去年某景区游客人数逐月增加，2月游客人数为1.6万，4月游客人数为2.5万． (1)求去年2月至4月该景区游客人数的月平均增长率． (2)5月该景区游客人数继续增长，但增长率不超过(1)中所求的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月后10天的日均接待游客人数最多是多少万？ (2)设5月后10天的日均接待游客人数为a万． 根据题意，得2.125+10a≤2.5(1+25%)， 解得a≤0.1． ​​​​​​​答：5月后10天的日均接待游客人数最多是0.1万.  如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P，Q同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)求自变量x的取值范围； (3)四边形APQC的面积能否等于172mm2？ 若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． A B Q C P 如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P，Q同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2． (1)求y与x之间的函数解析式； A B Q C P 如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P，Q同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2． (2)求自变量x的取值范围； A B Q C P 如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A向点B沿边AB以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B向点C沿边BC以4mm/s的速度移动(不与点C重合).点P，Q同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2．(3)四边形APQC的面积能否等于172mm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． A B Q C P 如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 水面在正常水位AB时，宽20m，若水位上升3m，水面达到CD，这时水面宽10m．(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ (2)由(1)可得，警戒线CD对应的点D的坐标为(5,1)， 拱顶坐标为(0,0)，则警戒线到拱顶的垂直距离为0(1)=1m， 已知水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始， 到达拱顶的时间为1÷0.2=5(小时)． ∴从警戒线开始，再持续5小时就 能到达拱桥的拱顶. x/m y/m O A B C x/m y/m O A B C x/m y/m O A B C x/m y/m O A B C x y O A B C D C2 C1 M x y O A B C D C2 C1 M x y O A B C P H N ① x y O A B C P H N ① x y O A B C P H N ① T $