重难点专题 二次函数图像与基本性质（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“a的核心作用”为统领，构建从基础性质到综合应用的二次函数图像方法体系，通过“方法+类型+注意”三维提炼实现系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |开口方向与宽窄|4题|a正负定方向，|a|定宽窄；参数范围与图像对比|从a的基础性质切入，建立代数参数与几何特征的关联| |对称轴与顶点最值|6题|公式法求对称轴与顶点；最值判断结合a符号|深化b对对称轴的影响，衔接函数最值的代数与几何意义| |增减性|8题|对称轴分区间判断单调性；同侧直接比，异侧算距离|综合a符号与对称轴位置，培养数学思维中的逻辑推理| |a,b,c符号判断|9题|“左同右异”定b；c看y轴交点；代数式符号代特殊值|整合a,b,c的几何意义，提升用数学语言表达图像信息的能力| |对称性应用|7题|纵坐标等则对称；两点横坐标平均得对称轴|运用数学眼光发现图像对称规律，强化模型意识与应用能力|

重难点专题 二次函数图像与基本性质 重难点一 开口方向、开口宽（由a决定） 主要方法：根据a正负判断开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下.|a|决定开口宽窄：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽.已知开口方向求参数a的取值范围. 常见类型：给解析式直接判断开口；已知开口向上/向下，求字母参数范围；多个抛物线图像对比，比较|a|大小. 特别注意：只看a的符号，与b、c无关. 1.如图，是二次函数（，，是常数，且的图象，虚线是抛物线的对称轴．则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据抛物线图象确定a、b、c的正负情况，根据一次函数的性质，即可得到一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的图象结果一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限． 故选：C． 2.在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中组成的二次函数图象a值最小的三点为（　　） A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据4个点的位置结合二次函数的性质判断求解即可，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． 【详解】解：由图可知， 过M，P，Q和过N，P，Q的二次函数开口向上，，故排除A和C， ∵越大，开口越小， ∴当时，开口小的那个a更小， 由图可知，过M，N，P三点的二次函数的开口更小， ∴过M，N，P三点的二次函数的a更小， 故选：B． 3.如图，抛物线与轴交于两点，线段，的端点坐标为，若抛物线与两条线段和总共有且仅有一个交点，则的取值范围为_____ ____． 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质；先设抛物线解析式为，分两种情况讨论，①当，函数最小值大于，经过点时求得的最小值；②当，函数最大值小于，经过点时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点 ∴对称轴为直线，设抛物线解析式为， 当时，，解得：， 当经过点时，抛物线的开口最大，此时取得最小值，即 解得： ∴； 当时，，解得： 经过点时，抛物线的开口最大，取得最大值，即 解得： ∴ 综上所述，若抛物线与两条线段和总共有且仅有一个交点，则的取值范围为或. 4.已知二次函数（），记该函数在上的最大值为，最小值为．已知． (1)当时，求的值． (2)当，时，求的值． (3)已知，（为整数），若为整数，求的值． 【分析】（1）根据．结合抛物线开口向上，对称轴为直线，点与对称轴的距离越大，函数值越大，计算确定最大值为，最小值为．结合，列式计算． （2）当，时，当时，函数变成．确定抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，当时，最大值为，最小值为．当，最大值为，最小值为．当，最大值为，最小值为．计算即可． （3）根据题意，，确定时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， 最大值为，最小值为，根据整数的性质，计算即可． 【详解】（1）．∵．， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵在的范围中， ∴y的最小值为； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得． （2）当时， ∴． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵，， ∴， 当时， 直线不在中，故取不到最小值； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时即， 当， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得都不符合题意，舍去； 当， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得都舍去； 当时即， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，符合题意的m值为或． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∴ ∵是整数， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 重难点二 对称轴、顶点坐标、最大（小）值 主要方法：一般式：，对称轴为，顶点纵坐标.对称轴为x=h，顶点为(h,k)，直接读出最值k.最值判断：a>0，顶点为最小值；a<0，顶点为最大值. 主要类型：①一般式、顶点式互求对称轴与顶点；②已知函数有最大值或最小值，求参数；③顶点在x轴、y轴上，求字母的值.给定解析式求对称轴、顶点、最值；④已知顶点信息反求参数. 1.抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【分析】y=a（x-h）²的图象的顶点是（） 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 2.二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 3.若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 4.如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为 ，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论错误的是（      ）    A． B． C． D．一元二次方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了函数的图像及其性质，利用数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∵，一个交点在点和之间， ∴，且，另一个交点在点和之间， ∴， 故A正确， ∵， 故B错误， ∵ ∴故C正确， ∵， ∴， ∴， ∴， 故D正确， 故选：B． 5.点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最小值等于_____ ____． 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的图象的对称轴为轴，得到，进而得到函数关系式为，得到，进而得到，利用二次函数的性质，求最值即可．解题的关键是根据对称轴求出二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为轴， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴当时，有最小值为. 6.已知抛物线经过点和点，求t的最小值． 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴时，t有最小值为：． 重难点三 增减性（单调性） 主要方法：分清对称轴为分界线：a>0：对称轴左侧y随x增大而减小；右侧y随x增大而增大；a<0：对称轴左侧y随x增大而增大；右侧y随x增大而减小.给定自变量，比较函数值大小. 主要类型：①点在对称轴同侧，直接用增减性；②点在对称轴两侧，先算点到对称轴的距离再比较.指定x取值范围，判断增减变化.主要类型：①直接描述函数增减性；②给若干个点横坐标，比较大小（高频考题）. 特别注意：增减性必须写明“在对称轴左侧/右侧”，不能笼统说y随x增大增大. 1.在抛物线上，有、、三点， 则、和的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，先确定出抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的增减性和对称性解答，求出对称点的坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∵抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 2.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：C． 3.若点，，是二次函数（，是常数，且）图象上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】，是常数，且， 图象的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， 点关于直线的对称点是，且， ， 故选：D． 4.（2026贵州中考）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 5.二次函数的图象上三点，，，则的大小关_________． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，利用开口方向和点与对称轴的远近，判断函数值的大小是解题的关键．先求出对称轴，再根据开口方向，点与对称轴的远近，判断函数值的大小即可． 【详解】解：由题意得对称轴，开口向下，点到对称轴越远，函数值越小， . 6.（2026.北京市中考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 7.已知点，点，均在抛物线上，若，求a的取值范围. 【分析】本题考查二次函数的增减性，根据，求出对称轴为，进而求出顶点的纵坐标为，根据，得到抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为， ∴当时的函数值为， ∵， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∴， ∴或 解得：. 8．（2026年安徽省中考）已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出 （ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可． 【详解】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． （2）解：（i）令，可得， 即， ， 故解得， ； （ⅱ）当时，；当时，． 理由如下：由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当时，恒成立， 故只用讨论的情形： 时，，故整数点只有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 综上所述，当时，；当时，． 重难点四 图像判断a、b、c的符号以及简单代数式符号 主要方法： a：看开口方向； b：看对称轴位置：左同右异（对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴是y轴，则b=0）；c：抛物线与y轴交点纵坐标，交点在y轴正半轴c>0，负半轴c<0，过原点c=0.判断简单代数式：a+b+c、a-b+c符号（代入x=1、x=-1）. 主要类型：给出抛物线草图，判断a、b、c以及a+b+c等式子正负. 特别注意：“左同右异”针对对称轴，不能记反符号. 1.当时，与的图象大致可以是（    ） A．B．C． D． 【分析】根据题意，，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，，当时，，开口向上，过原点，过一、二、三象限；此时，没有选项符合． 当时，，开口向下，过原点，过二、三、四象限；此时，选项符合． 故选：D． 2.已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C． D． 【分析】利用二次函数图象与各项系数符号的关系. 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 故选：C． 3.如图所示的是二次函数（为常数，且）的图象，其对称轴为直线，且经过点，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号，再根据时确定相关式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点， ，，， ， ，故B选项结合正确，不合题意； 由图可知，当时， ，故A选项结合正确，不合题意； 由图可知，当时， ，故C选项结合正确，不合题意； ，， ，故D选项结论错误，符合题意； 故选D． 4．（2026年黑龙江省齐齐哈尔市中考）如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定、、正负，判断①；利用抛物线对称性得到，结合点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由推出，代入抛物线得到与、关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案. 【详解】解：由二次函数图象可得： 抛物线开口向下， ； 顶点坐标为，则对称轴为直线， 由对称轴公式， 整理得，结合，得 ； 抛物线与轴交于正半轴， ； 抛物线与轴正半轴交点满足． ， ， 故①错误 根据二次函数轴对称性质：对称轴为，则 将代入解析式： 把代入化简： ，说明直线在交点左侧，此位置抛物线图象在轴上方 ，即 故②错误 ∵顶点坐标为， ∴ 故③正确 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 平方作差比较距离大小： ， ， 即，得 点离对称轴更近，， 故④正确 由得，由得 ， ，即， 将代入抛物线解析式： ， 设一元二次方程的两根为，由韦达定理： ， 将代入： ， 故⑤正确 综上所述正确结论一共有3个．故选C. 5.在平面直角坐标系中有四个点，其中恰好有三个点在二次函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数的图象上的三个点是_________．    【分析】根据抛的横坐标相同，可以判定不会同时在二次函数的图象上，再结合可知抛物线开口向下，即可得到答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由四点的位置可知，的横坐标相同，故不会同时在二次函数的图象上， ∵二次函数， ∴抛物线开口向下， ∴在函数的图象上的三个点是. 6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中错误结论的是_________．    【分析】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：，， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于的对称点为， 时，，故③正确； ④抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故④错误； ⑤当时，的最小值为， 时，， ， 即，故⑤错误； 错误的结论是④⑤. 7.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有_________．    【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴、轴的交点，综合判断即可．掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴，则，， ∴，所以①正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为， 于是有，联立，解得， ∴，所以②正确； 当图象在对称轴右侧，开口向上，随的增大而增大，所以③错误； 若关于的一元二次方程没有实数根， 即：，亦即， ∴，即：，亦即：， ∵， ∴，所以④正确； 对于任意实数，总有 ， 故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 8.已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是_________．    【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和函数图象，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴没有交点， ∴，故②错误； 由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为， ∵过点， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵抛物线的最低点是， ∴若点在该抛物线上，则，故④正确． 正确的结论是①③④. 9.（2026年贵州中考）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 重难点五 抛物线的对称性应用 主要方法：抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称；两点横坐标的平均数等于对称轴；公式：若两点在抛物线上，则对称轴：；已知抛物线上一点，利用对称性求它的对称点坐标；表格题型：给表格部分x、y，利用对称性补全表格，求对称轴、顶点. 主要类型：①已知抛物线上两点纵坐标相同，求对称轴；②表格残缺，利用对称性补全信息求顶点. 特别注意：纵坐标相等才可以用对称，纵坐标不等不能套这个公式. 1.已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 2.关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则常数m满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的增减性．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图像性质，抛物线开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小；抛物线开口向上，在对称轴右边，随的增大而增大． 本题根据题意确定对称轴，可知在对称轴左边，从而确定取值范围． 【详解】解：， 二次函数的对称轴是，且开口向上． 当时，随的增大而减小， 二次函数的对称轴在的右边． ． ． 故选C． 3.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 4.已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 . 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 5.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为 . 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 6.如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 【分析】 （1）把、代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式； （2）先求出点D和点B的坐标，根据两点之间的距离公式，求出，再根据勾股定理逆定理，得出为直角三角形即可； （3）连接交抛物线对称轴于，连接，由，，知，由得抛物线对称轴是直线，而，关于抛物线对称轴对称，可知当、、共线时，最小，此时也最小，故此时的周长最小，设直线为，将，代入得直线为，令得，故． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得：， ∴此二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴，此二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在点，使的周长最小， 连接交抛物线对称轴于，连接，如图： ，， ， 由得抛物线对称轴是直线， ，关于抛物线对称轴对称， ， ， 而当、、共线时，最小，此时也最小，因，故此时的周长最小， 设直线为，将，代入得： ，解得， 直线为， 令得， ； ，， ∴的周长最小值为． 7.【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 二次函数图像与基本性质 重难点一 开口方向、开口宽（由a决定） 主要方法：根据a正负判断开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下.|a|决定开口宽窄：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽.已知开口方向求参数a的取值范围. 常见类型：给解析式直接判断开口；已知开口向上/向下，求字母参数范围；多个抛物线图像对比，比较|a|大小. 特别注意：只看a的符号，与b、c无关. 1.如图，是二次函数（，，是常数，且的图象，虚线是抛物线的对称轴．则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中组成的二次函数图象a值最小的三点为（　　） A．M，P，Q B．M，N，P C．N，P，Q D．M，N，Q 3.如图，抛物线与轴交于两点，线段，的端点坐标为，若抛物线与两条线段和总共有且仅有一个交点，则的取值范围为_____ ____． 4.已知二次函数（），记该函数在上的最大值为，最小值为．已知． (1)当时，求的值． (2)当，时，求的值． (3)已知，（为整数），若为整数，求的值． 重难点二 对称轴、顶点坐标、最大（小）值 主要方法：一般式：，对称轴为，顶点纵坐标.对称轴为x=h，顶点为(h,k)，直接读出最值k.最值判断：a>0，顶点为最小值；a<0，顶点为最大值. 主要类型：①一般式、顶点式互求对称轴与顶点；②已知函数有最大值或最小值，求参数；③顶点在x轴、y轴上，求字母的值.给定解析式求对称轴、顶点、最值；④已知顶点信息反求参数. 1.抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2.二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 3.若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 4.如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为 ，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论错误的是（      ）    A． B． C． D．一元二次方程有两个不相等的实数根 5.点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最小值等于_____ ____． 6.已知抛物线经过点和点，求t的最小值． 重难点三 增减性（单调性） 主要方法：分清对称轴为分界线：a>0：对称轴左侧y随x增大而减小；右侧y随x增大而增大；a<0：对称轴左侧y随x增大而增大；右侧y随x增大而减小.给定自变量，比较函数值大小. 主要类型：①点在对称轴同侧，直接用增减性；②点在对称轴两侧，先算点到对称轴的距离再比较.指定x取值范围，判断增减变化.主要类型：①直接描述函数增减性；②给若干个点横坐标，比较大小（高频考题）. 特别注意：增减性必须写明“在对称轴左侧/右侧”，不能笼统说y随x增大增大. 1.在抛物线上，有、、三点， 则、和的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（    ） A． B． C． D． 3.若点，，是二次函数（，是常数，且）图象上的三个点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4.（2026贵州中考）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 5.二次函数的图象上三点，，，则的大小关_________． 6.（2026.北京市中考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 7.已知点，点，均在抛物线上，若，求a的取值范围. 8．（2026年安徽省中考）已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 重难点四 图像判断a、b、c的符号以及简单代数式符号 主要方法： a：看开口方向； b：看对称轴位置：左同右异（对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴是y轴，则b=0）；c：抛物线与y轴交点纵坐标，交点在y轴正半轴c>0，负半轴c<0，过原点c=0.判断简单代数式：a+b+c、a-b+c符号（代入x=1、x=-1）. 主要类型：给出抛物线草图，判断a、b、c以及a+b+c等式子正负. 特别注意：“左同右异”针对对称轴，不能记反符号. 1.当时，与的图象大致可以是（    ） A．B．C． D． 2.已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C． D． 3.如图所示的是二次函数（为常数，且）的图象，其对称轴为直线，且经过点，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2026年黑龙江省齐齐哈尔市中考）如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5.在平面直角坐标系中有四个点，其中恰好有三个点在二次函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数的图象上的三个点是_________．    6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中错误结论的是_________．    7.如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论有_________．    8.已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是_________．    9.（2026年贵州中考）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 重难点五 抛物线的对称性应用 主要方法：抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称；两点横坐标的平均数等于对称轴；公式：若两点在抛物线上，则对称轴：；已知抛物线上一点，利用对称性求它的对称点坐标；表格题型：给表格部分x、y，利用对称性补全表格，求对称轴、顶点. 主要类型：①已知抛物线上两点纵坐标相同，求对称轴；②表格残缺，利用对称性补全信息求顶点. 特别注意：纵坐标相等才可以用对称，纵坐标不等不能套这个公式. 1.已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 2.关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则常数m满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 4.已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 . 5.已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为 . 6.如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 7.【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $