期中真题重组卷（全国通用，人教A版必修一第1-3章：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质）高一数学上学期模拟卷

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D D D C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AB ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.0 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去；（4分） 当时，在上单调递增，符合题意，（5分） 所以，.（6分） （2）因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，（11分） 解得. 所以实数的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意得或，且， 当时，可得，解得，符合题意，（3分） 当时，可得，解得，（6分） 综上可得.（7分） （2）因或，故，（9分） 因为，故即.（11分） 而由“”是“”的必要不充分条件，可得为的真子集， 故，故解得.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为.（6分） （2）当时， 开口向下，所以当时，.（10分） 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，，. 所以，得，即， 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为. 故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（5分） （2）∵，，∴， . 又在上的最大值为，且是开口向上，且. ①当时，即时，，不符合题意； ②当时，即时，，符合题意， ∴， ∴的取值范围是.（10分） （3）由不等式，得， ∴，两边同除以，得，（12分） 令，∵，∴， 则，，不等式恒成立， ∴，则，即在恒成立， 而不等式，即，所以不等式的解集为. ∴，∴， 综上，的最大值为1.（17分） 19．（17分） 【解析】(1)由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数.（4分） (2)设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数.（10分） (3)由， 所以 ，（14分） 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故.（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一册第1~3章（集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高一上·山东青岛·期中）命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 4．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西九江·期中）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若函数是增函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．【社会热点题】（25-26高一上·河南·期中）为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 8．（25-26高一上·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26·江苏淮安·高一上期中）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 10．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若的值域为，则 D．若在上单调递增，则 11．（25-26·安徽合肥·高一上期中）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高一上·山东济宁·期中）若集合，，且，则______． 13．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则的取值范围是________． 14．【数学文化题】（25-26高一上·内蒙古包头·期中）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （25-26高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 16．（15分） （25-26高一上·浙江杭州·期中）设全集，集合，，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 【社会热点题】（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（17分） （25-26高一上·山西太原·期中）设，，函数. (1)当时，解不等式的解集； (2)若在上的最大值为，求的取值范围； (3)当时，对任意满足的正实数a，b，不等式恒成立，求的最大值. 19．（17分） （25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高一上·山东青岛·期中）命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是， 故选：B. 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故. 故选：A 3．（25-26高一上·黑龙江绥化·期中）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【解析】令,则, 已知, 所以, 所以. 4．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 5．（25-26高一上·江西九江·期中）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 6．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若函数是增函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若为增函数，则，所以. 因此实数a的取值范围为. 7．（25-26高一上·河南·期中）为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】D 【解析】设集合{选择阅读的学生}，集合{选择科创的学生}，集合{选择志愿服务的学生}， 则，，， ，，，， ， 所以该班的总人数是55. 8．（25-26高一上·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于是定义在上的偶函数，故, 那么，又，在上单调递增， 所以在上单调递减，， 即，同理的解集为或； 由，得 或 ， 即 或， 解得 或，所以不等式的解集是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26·江苏淮安·高一上期中）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【解析】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 10．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若的值域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AB 【解析】对于A，由的定义域为，得成立， 当时，成立，则； 当时，，解得，因此，A正确； 对于B，由的定义域为，得是不等式的解集， 则，且为方程的两根，，解得，B正确； 对于C，由的值域为，得函数的值域包含， 则，解得，C错误； 对于D，由在上单调递增，得，解得，D错误. 故选：AB 11．（25-26·安徽合肥·高一上期中）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 【答案】ACD 【解析】对于A，由正数满足，可得，解得， 则，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1，故A正确； 对于B，由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B错误； 对于C，因，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由可得，则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．（25-26高一上·山东济宁·期中）若集合，，且，则______． 【答案】0 【解析】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 13．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】设， 则， 即，解得：， 所以. 又因为，，且， 所以，即. 14．（25-26高一上·内蒙古包头·期中）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______． 【答案】 【解析】令， 令， 因为，所以，， 由，则， 令，即，解得， 则， 故当且仅当时，有. 故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （25-26高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去；（4分） 当时，在上单调递增，符合题意，（5分） 所以，.（6分） （2）因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，（11分） 解得. 所以实数的取值范围为.（13分） 16．（15分） （25-26高一上·浙江杭州·期中）设全集，集合，，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得或，且， 当时，可得，解得，符合题意，（3分） 当时，可得，解得，（6分） 综上可得.（7分） （2）因或，故，（9分） 因为，故即.（11分） 而由“”是“”的必要不充分条件，可得为的真子集， 故，故解得.（15分） 17．（15分） （25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为.（6分） （2）当时， 开口向下，所以当时，.（10分） 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元.（15分） 18．（17分） （25-26高一上·山西太原·期中）设，，函数. (1)当时，解不等式的解集； (2)若在上的最大值为，求的取值范围； (3)当时，对任意满足的正实数a，b，不等式恒成立，求的最大值. 【解析】（1）当时，，. 所以，得，即， 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为. 故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（5分） （2）∵，，∴， . 又在上的最大值为，且是开口向上，且. ①当时，即时，，不符合题意； ②当时，即时，，符合题意， ∴， ∴的取值范围是.（10分） （3）由不等式，得， ∴，两边同除以，得，（12分） 令，∵，∴， 则，，不等式恒成立， ∴，则，即在恒成立， 而不等式，即，所以不等式的解集为. ∴，∴， 综上，的最大值为1.（17分） 19．（17分） （25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【解析】(1)由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数.（4分） (2)设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数.（10分） (3)由， 所以 ，（14分） 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故.（17分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $