精品解析：内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

奋斗中学2026-2027学年第一学期第一次月考试题 高二数学 一 、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 设是两个空间向量，则一定共面 B. 设是两个空间向量，则 C. 设是三个空间向量，则一定不共面 D. 设是三个空间向量，则 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，，在平面内，则x值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过点 B. 若，则或 C. 若，则 D. 当时，始终不过第一象限 10. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 三 、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则 _______． 13. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________. 14. 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程. （1）经过点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直. 16. 如图，在长方体中，. 若在上存在点，使得平面. （1）求的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 18. 如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值 19. 四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2026-2027学年第一学期第一次月考试题 高二数学 一 、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角 【详解】解：设直线的倾斜角为， 由直线可知其斜率为， 所以， 因为， 所以， 故选：B 【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用中点坐标公式即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中， 点，， 则线段的中点坐标是 ，即 故选：B 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于平面Oxy对称的点的坐标为. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 设是两个空间向量，则一定共面 B. 设是两个空间向量，则 C. 设是三个空间向量，则一定不共面 D. 设是三个空间向量，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量可平移可判断AC，根据向量数量积定义可判断B，根据向量数量积的运算律可判断D. 【详解】因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A正确； ，故B正确； 设是三个空间向量，则可能共面，故C错误； 空间向量数量积满足分配律，故，即D正确. 故选：C 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 6. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行求解. 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 7. 已知点，，，在平面内，则x值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 8. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量夹角余弦公式计算，再结合同角三角函数关系得出正弦，进而应用面积公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过点 B. 若，则或 C. 若，则 D. 当时，始终不过第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，直接求出直线的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D. 【详解】对于A：直线，即， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 对于B：若，则，解得或， 当时，，，则， 当时，，，即， 则与重合，故舍去，所以，故B错误； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，斜率， 所以该直线过第二、三、四象限，不过第一象限，故D正确． 故选：ACD． 10. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长，​ 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AC选项，建立空间直角坐标系，利用相关公式判断AC；B选项，当与重合时，四点共面；D选项，得到平面截正方体的截面图形，并计算出面积. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 则，则， 则，，A正确； B选项，因为，所以四点共面， 故当与重合时，四点共面，故存在点，使得四点共面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 由于，故不是定值，C错误； D选项，当点运动至中点时，取的中点，连接， 则且，所以四边形为平行四边形， 平面截正方体的截面图形为平行四边形，且， 面积为，D正确. 三 、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【解析】 【详解】因为空间向量，， 所以. 13. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________. 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程代入点的坐标即可求解. 【详解】当截距为时，设所求直线为， 因为直线过点，所以， 所以，所以所求直线方程为， 当截距不为时，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以所求直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率的取值范围. 【详解】如图所示，由点和， 可得， 要使得过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则满足或， 所以直线的斜率的取值范围为 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程. （1）经过点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）把两条直线的方程联立方程组，则方程组的解即为交点的坐标，再用两点式求出直线的方程. （2）由题意利用两条直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程. （3）由题意利用两条直线垂直的性质，用待定系数法求出直线的方程. 【详解】（1）由，求得，可得直线，的交点. 直线还经过点，故它的方程为，即. （2）根据所求直线与直线平行，可设它的方程为， 再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为. （3）根据所求直线与直线垂直，可设它的方程为， 再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为. 16. 如图，在长方体中，. 若在上存在点，使得平面. （1）求的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据平面，求得点的坐标，从而求得； （2）根据面面角的空间求法求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则. 设，则. 因为平面，所以， 所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量为， 则， 令，则. 所以平面的法向量为. 是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 所以. 17. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 18. 如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为边长为的等边三角形，所以，且， 又因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且 在中，因为，且， 可得，所以，即， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，分别证得，，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：平面，且， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）1 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. 【小问3详解】 假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $