14.2 三角形全等的判定 同步分层练习 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 同步分层练习 14.2 三角形全等的判定 同步分层练习 （人教版·八年级上册　满分100分　建议用时45分钟） 姓名：__________　 　班级：__________　　 得分：__________ 【温馨提示】判定三角形全等的方法：SSS（三边分别相等）、SAS（两边及其夹角分别相等）、ASA（两角及其夹边分别相等）、AAS（两角及其中一角的对边分别相等）；直角三角形还可用HL（斜边、直角边分别相等）。注意：SSA与AAA不能判定三角形全等；书写时要把对应顶点的字母写在对应位置上。 一、基础巩固（共40分） （一）选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项） 1．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF。若要用“ASA”判定△ABC≌△DEF，则需添加的一个条件是（　　） 　　A. AB＝DE　　　B. BF＝CF　　　C. ∠B＝∠E　　　D. ∠ACB＝∠DFE 2．如图，两个长度相等的滑梯AB、DE靠在同一竖直支架（墙）的两侧，左边滑梯的水平段BC与右边滑梯的竖直段EF长度相等，即∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF。下列说法中错误的是（　　） 　　A. Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）　　　　B. ∠A＋∠D＝90° 　　C. AC＝DF　　　　　　　　　　　 D. ∠A＝∠D 3．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，则下列条件中能直接利用“HL”判定这两个直角三角形全等的是（　　） 　　A. AB＝DE，AC＝DF　　　 B. AB＝DE，BC＝EF 　　C. AB＝DE，∠A＝∠D　　 D. AC＝DF，∠A＝∠D 4．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，下列各选项中所添加的条件不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） 　　A. AC＝DF　　　B. ∠B＝∠DEF　　　C. AB∥DE　　　D. ∠A＝∠D 5．如图，要测量池塘两侧A、B两点的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE。下列说法中错误的是（　　） 　　A. △ABC≌△DEC（SAS）　　 B. AB＝DE 　　C. AB∥DE　　　　　　　 D. 这种方法用了“ASA”判定全等 6．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） 　　A. 两边及它们的夹角对应相等　　　　B. 两角及其中一角的对边对应相等 　　C. 三个角对应相等　　　　　　　　　D. 三边对应相等 （二）填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 7．如图，已知AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，则根据________（填判定方法）可判定△ABC≌△ADC，由此可得BC＝________，∠BCA＝________。 8．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE。若∠1＋∠2＋∠3＝94°，则∠3＝________°。 9．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，AB为公共斜边。若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充的一个条件是____________________（写出一个即可）。 10．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E。若AD＝9，DE＝6，则BE的长为________。 （三）解答题（本大题共2小题，共10分） 11．（5分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2。求证：∠B＝∠C。 12．（5分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D。若BF＝13，EC＝5，求BC的长。 二、综合运用（共40分） 13．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E。 　（1）求证：△AED是等腰三角形，即AE＝DE； 　（2）求证：E是AB边的中点，即AE＝BE。 14．（10分）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离（A、B分别在河的两岸），可以按照如下方法操作：先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC；再过点E作BF的垂线DE。 　（1）求证：△ABC≌△EDC； 　（2）这时测得DE的长就是AB的长，请说明理由；若DE＝25米，求河宽AB。 15．（10分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，点E是AC上的一点（不与A、C重合），连接BE、DE。 　（1）求证：△ABC≌△ADC； 　（2）求证：∠ABE＝∠ADE； 　（3）求证：AC所在直线是线段BD的垂直平分线。 16．（12分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一直线上，有下列四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF。 　（1）请你从上面四个条件中选出三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，写出一种即可），并加以证明； 　（2）在（1）的条件下，求证：AC∥DF； 　（3）若BE＝3，EC＝2，求CF及BF的长。 三、拓展题（共20分） 17．（6分）学了全等三角形的判定后，小明编了一道题：“如图，AC＝AD，BC＝BD，∠C＝∠D，求证：△ABC≌△ABD。”老师说他给的已知条件多了，可以去掉其中一个。请回答： 　（1）可以去掉的条件是哪一个？（写出所有可能的情况） 　（2）选择其中一种情况，完成证明。 18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动。问：当AP长为多少时，以P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等？请说明理由。 19．（8分）【一线三等角模型】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°。 　（1）求证：△ABD≌△CAE； 　（2）试猜想BD、CE与DE三条线段之间的数量关系，并说明理由； 　（3）若BD＝3，CE＝5，求DE的长。 　 参考答案与解析 一、基础巩固 1. 答案：C 　解析：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF；由AC∥DF，得∠ACB＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）。要使用“ASA”判定△ABC≌△DEF，已有夹边BC＝EF和其一端的角∠ACB＝∠DFE，需再添加夹边另一端的角相等，即∠B＝∠E。故选C。 　【易错提醒】选项D中的∠ACB＝∠DFE是由AC∥DF已经推出的条件，若再添加它构成的是AAS（边不是两角的夹边），不是ASA。 2. 答案：B 　解析：在Rt△ABC和Rt△DEF中，斜边AB＝DE（滑梯等长），直角边BC＝EF，由HL知Rt△ABC≌Rt△DEF，故A正确；由全等得AC＝DF（对应直角边相等），故C正确；∠A＝∠D（对应角相等），故D正确；∵∠A＋∠ABC＝90°（直角三角形两锐角互余），而由全等知∠D＝∠A、∠DEF＝∠ABC，∴∠ABC＋∠D＝∠ABC＋∠A＝90°，但∠A＋∠D＝2∠A，只有当∠A＝45°时才等于90°，故B错误。选B。 3. 答案：A 　解析：HL要求斜边和一条直角边对应相等。∠B和∠E是直角，所以两三角形的斜边分别是AC和DF，直角边分别是AB、BC和DE、EF。A选项给出斜边AC＝DF与直角边AB＝DE，符合HL；B是SAS（两边夹直角），C、D为AAS/ASA，都不是HL。故选A。 4. 答案：D 　解析：由BE＝CF，得BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，又AB＝DE。A加AC＝DF即SSS可判定；B加∠B＝∠DEF即SAS可判定；C由AB∥DE可得∠B＝∠DEF（同位角相等），即SAS可判定；D只加∠A＝∠D，此时两边AB、BC分别与DE、EF相等，∠A和∠D都不是两边的夹角，属于“两边及其中一边的对角”（SSA），不能判定全等。故选D。 5. 答案：D 　解析：在△ABC和△DEC中，CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE（对顶角相等），由SAS可判定△ABC≌△DEC，故A对、D错；由全等得AB＝DE，∠B＝∠E，故AB∥DE（内错角相等，两直线平行），B、C对。故选D。 6. 答案：C 　解析：三个角对应相等（AAA）只能保证形状相同（相似），不能保证大小相同，故不能判定全等；A是SAS、B是AAS、D是SSS，都能判定。故选C。 7. 答案：SAS；DC；∠DCA。 　解析：在△ABC和△ADC中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC（公共边），由SAS得△ABC≌△ADC，故BC＝DC，∠BCA＝∠DCA。 8. 答案：47。 　解析：在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，由SSS得△ABC≌△ADE，故∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2。∵B、C、E三点共线，∴∠ACB＋∠3＝180°。在△ABC中，∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，即∠1＋∠2＋∠ACB＝180°。对比得∠3＝∠1＋∠2。又∠1＋∠2＋∠3＝94°，即2∠3＝94°，∴∠3＝47°。 9. 答案：AC＝AD（或BC＝BD，写出一个即可）。 　解析：在Rt△ABC和Rt△ABD中，斜边AB＝AB（公共），要使用HL，只需一组直角边对应相等，即AC＝AD或BC＝BD。 10. 答案：3。 　解析：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°。又AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）。在△ACD和△CBE中，∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC＝CB，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE＝9，CD＝BE。∵CD＝CE−DE＝9−6＝3，∴BE＝3。 11. 证明： 　∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAD＝∠CAE。 　在△ABD和△ACE中： 　　AB＝AC（已知）， 　　∠BAD＝∠CAE（已证）， 　　AD＝AE（已知）， 　∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C。 12. 解： 　在△ABC和△DFE中：AB＝DF，∠A＝∠D，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE（SAS）。 　∴BC＝EF，∴BC−EC＝EF−EC，即BE＝CF。 　∵BF＝13，EC＝5，且BF＝BE＋EC＋CF＝2BE＋EC， 　∴2BE＝13−5＝8，BE＝4。 　∴BC＝BE＋EC＝4＋5＝9。 二、综合运用 13. 证明： 　（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD。 　∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）。 　∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形。 　（2）∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°， 　∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠EDA＋∠EDB＝90°。 　又∠EAD＝∠EDA，∴∠ABD＝∠EDB（等角的余角相等），∴BE＝DE。 　由（1）知AE＝DE，∴AE＝BE，即E是AB的中点。 14.（1）证明： 　∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°。 　在△ABC和△EDC中： 　　∠ABC＝∠EDC（已证）， 　　BC＝DC（已知）， 　　∠ACB＝∠ECD（对顶角相等）， 　∴△ABC≌△EDC（ASA）。 （2）解：由（1）知△ABC≌△EDC，∴AB＝ED，即DE的长就是AB的长。 　若DE＝25米，则河宽AB＝25米。 15.（1）证明： 　在△ABC和△ADC中：AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SSS）。 （2）证明：由（1）知△ABC≌△ADC，∴∠BAE＝∠DAE。 　在△ABE和△ADE中：AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE（公共边），∴△ABE≌△ADE（SAS）。 　∴∠ABE＝∠ADE。 （3）证明：设AC与BD交于点O。由△ABC≌△ADC得∠BAC＝∠DAC。 　在△ABO和△ADO中：AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SAS）。 　∴BO＝DO，∠AOB＝∠AOD。又∠AOB＋∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，即AC⊥BD。 　∴AC所在直线垂直平分线段BD。 16. 解：（答案不唯一，以下给出一种） （1）以①③④为条件，②为结论。即：已知AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC＝DF。 　证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。 　在△ABC和△DEF中：AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BC＝EF， 　∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF。 （2）由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）。 （3）∵BE＝CF，BE＝3，∴CF＝3；又EC＝2，∴BC＝BE＋EC＝5，BF＝BC＋CF＝5＋3＝8。 三、拓展题 17. 解： （1）逐一分析可去除的条件： 　· 若去掉∠C＝∠D：由AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB（公共边），SSS可判定，成立； 　· 若去掉BC＝BD：由AC＝AD，∠C＝∠D，AB＝AB（两边及其中一边的对角，即SSA），不能判定，不成立； 　· 若去掉AC＝AD：同理由BC＝BD，∠C＝∠D，AB＝AB（SSA），不能判定，不成立。 　故可以去掉的条件只有∠C＝∠D这一个。 （2）去掉∠C＝∠D后证明：在△ABC和△ABD中，AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB（公共边），∴△ABC≌△ABD（SSS）。 18. 解： 　∵AX⊥AC，∠C＝90°，∴∠PAQ＝∠C＝90°。又PQ＝AB，要使以P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等，需分两种情况讨论： 　情况一：当AP＝BC＝3时，在Rt△PAQ和Rt△BCA中，PQ＝AB，AP＝BC，由HL得Rt△PAQ≌Rt△BCA； 　情况二：当AP＝AC＝6时，在Rt△PAQ和Rt△CAB中，PQ＝AB，AP＝CA，由HL得Rt△PAQ≌Rt△CAB（此时点P与点C重合）。 　综上，当AP＝3或AP＝6时，以P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等。 19.（1）证明： 　∵∠BDA＝∠BAC＝90°，∴∠DBA＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAE＝90°， 　∴∠DBA＝∠CAE（同角的余角相等）。 　在△ABD和△CAE中： 　　∠BDA＝∠AEC（均为90°）， 　　∠DBA＝∠EAC（已证）， 　　AB＝CA（已知）， 　∴△ABD≌△CAE（AAS）。 （2）解：DE＝BD＋CE。 　理由：由（1）知△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE。 　∵D、A、E三点共线，且A在D、E之间，∴DE＝AD＋AE， 　∴DE＝CE＋BD，即DE＝BD＋CE。 （3）由（2）得DE＝BD＋CE＝3＋5＝8。 第 1 页 / 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $