湖南长沙外国语学校2026-2027学年上学期九年级 第一次限时训练数学试卷 （10月）

长沙外国语学校初三数学第一次作业检测 一、单选题（每小题3分，共30分) 1.数x,0,子，-2中最大的是《) 2 A.π B.0 D.-2 2.下列运算中，正确的是() A.x3÷x4=x2B.x3.x2=x6 C.(x2)3=x3 D.x(x+1)=x2+x 3.如图，AB∥CD,∠1=110°，则∠2=( A.70° B.110° C.1159 D.120° 4.已知矩形的面积为24cm2,相邻两条边长分别为xcm和cm,则y关于x的函数图像大致是() C D 02 2 2 5.一元二次方程x2-2x-3=0根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是() A.y=(x+2)2-3B.y=(x+2)}-2C.y=(x-2)2-3D.y=(x-2)2-2 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AO=CD,则∠ADB的度数是() A.30° B.45° C.40° D.60° D 第3题图 第7题图 第11题图 8.为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg)分别为x,x2,,xo, 下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是() A.这组数据的平均数 B.这组数据的方差 C.这组数据的众数 D.这组数据的中位数 6 9.若点(-1，y),（2,y),（3,3)都在反比例函数y=二的图象上，则( ) A.片<y3< B.为<<为 C.<< D.片<<3 10.根据下面表格中的对应值： x 1.21 1.22 1.23 ax2+bx+c -0.04 -0.01 0.03 判断关于x的方程x2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是() A.x<1.21 B.1.21<x<1.22 C.1.22<x<1.23 D.x>1.23 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若菱形ABCD的面积为24，AC=6,则BD的长 为 12当公式石与3的值豆为相反时，的独为 13.将二次函数y=x2-4x+5化为y=a(x-h)+k的形式，结果为 14.如图，若点A在反比例函数y=(k≠0)的图象上，且△AOM的面积是3，则k= D 3 M 0 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，直线过正方形ABCD的顶点B,点A、点C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长是 16.二次函数y=ar2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc>0;②b2-4ac>0;③9a+3b+c>0; ④3a+c>0;⑤对于任意实数m,都有am2+bm≤a+b,其中正确的是. 三、解答题（共72分） 1.6分)计算：9-（红-3++5- x-2≥2(x-3) 18.(6分)解不等式组： ，并把不等式组解集在数轴上表示出来 3-2-10123456 19.(6分)如图，AB∥CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点， 再分别以E,F为圆心，大于)EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M. (1)若∠ACD=130°，求∠MAB的度数； (2)若CN L AM,垂足为N,求证：△CAW≌△CMN. M D 20.(8分)在一项“综合与实践”活动中，需要了解本校学生每周参加体育锻炼的时间（单位：h),某位 同学随机调查了该校50名学生，得到一组数据，并将这些数据绘制成如下的统计图. 请根据相关信息，回答下列问题： (1)在箱线图中，b= ；在扇形统计图中，c的值是 ；众数为 (2)求本次调查中，样本数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有学生2000人，估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为9h的学生约有多少 人？ 时间 105h 10 9h8%12% 12% 6h 16% 8h % 7h 249% 21.(8分)如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=AD. (1)求证：AC⊥BD: ②若点E,F分别为AD,A0的中点，连接B,BF-号A0-2,求BD的长及四边形ABCD的周长。 22.(9分)为落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求，某校九年级(1)班计划开展花 样跳绳活动，需购买A,B两种跳绳.已知购买A,B两种跳绳的数量与总费用信息如下表： A种跳绳（根) B种跳绳（根） 总费用（元） 2 1 18 2 31 (1)求A,B两种跳绳的单价： (2)若九年级(1)班计划购买A,B两种跳绳共40根，且A种跳绳的数量不超过B种跳绳数量的7倍， 不少于B种跳绳数量的4倍，应如何购买才能使总费用最低，最低费用是多少？ 23.(9分)如图，在平面直角坐标系0中，直线AB:y=x-4与反比例函数y=的图象交于A、B两 点，与x轴相交于点C,已知点B的坐标为(m,6). (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标： ②)观察图象，不等式x-4>←的解集为 )点P为反比例函数y=《图象上任意一点，若SA=3S。c,求点P的坐标。 24.(10分)图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图所示的图形.它 是由线段AC,线段BD,曲线AB,曲线CD围成的封闭图形，且AC∥BD,BD在x轴上，曲线AB与 曲线CD关于y轴对称.己知曲线CD是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为： y=-2K-p+50-pp为常数，8≤p≤40). 20 (1)当p=10时，求曲线AB的函数解析式. (2)如图2，用三段塑料管EF,FG,EH围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，E,F分别在曲线CD,曲 线AB上，G,H在x轴上. ①记EF=70米时所需的塑料管总长度为L,EF=60米时所需的塑料管总长度为L2·若L1<L2,求卫的 取值范围. ②当EF与AC的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值. y C 0 B G O H D 图1 图2 25.(10分)对于函数P与函数Q作如下定义：若函数P与函数9只有一个公共点，则称函数P与函数Q互 为“单融创函数”，唯一的公共点记为R(S,).若函数P与函数Q有两个不重合的公共点，则称函数P与函 数2互为“双融创函数”，两个公共点记为(51,4)，R2(S2,t2)且x1≠x2. (1)下列函数与一次函数y=2x-1互为“单融创函数的是一： ①y=x:②y=:③y=x. (2)己知函数P:y=x2-2x+3与函数2：y=2x+b互为“单融创函数 ①求公共点R的坐标： ②若将函数P:y=x2-2x+3向下平移3个单位得到函数M.则函数P与函数Q所围成封闭图形内（包括 边界)整点的个数为（若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点为整点） (3)若函数P:y=m2+(3k2-2k+1)x+k(a,k为常数，且a≠0)与函数Q:y=px+n(D,为常数且p≠0)互 为“双融创函数”，且其中一个公共点在y轴上，函数Q的图象经过函数P的图象的顶点.当常数k满足 2k≤2时，求函数Q的图象与x轴，y轴所国成的三角形面积的取值范围 长沙外国语学校初三限时训练参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 答案 A D A B A B D c 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.8 12.1 13.y=(x-2)+1 14.-6 15.5 16.①②③④ 三、解答题 1.解-a-++5- =3-1+4+3-1...4分 =5+V3. .6分 x-2≥2(x-3)① 18.解： 1>-1@ 2 解不等式①， x-2≥2x-6, -x≥4， X≤4；.2分 解不等式②， x-1>-2, X>-1;4分 不等式组的解集为-1<x≤4.5分 6分 -3-21 19.1)解：AB∥CD, ∴.∠ACD+∠CAB=180°， ∠ACD=130°， .∠CAB=50°， .2分 由题意AM平分∠CAB, ∠MAB=∠CAB=25°；3分 2 (2) 证明：，AM平分∠CAB, .∠CAM=∠MAB, AB∥CD, ∴.∠AMC=∠MAB, .∴.∠CAN=∠CMN, ..4分 .CN⊥AM, .∠ANC=∠MNC=90°， 在△CAN和△CMN中， I∠CAN=∠CMN ∠ANC=∠MNC, CN=CN ∴aCAN≌aCMN(AMS）..6分 20.(1)7:28:8h.3分 (2)解：5×12%+6×16%+7×24%+8×28%+9×12%+10×8%=7.36(h), 则本次调查中，样本数据的平均数是7.36： 。。。。 ..6分 (3)解：时间不少于9h的学生，对应9h和10h两个时间段， 总占比为12%+8%=20%， 该校共有学生2000人，因此估计人数为：2000×20%=400（人）， 答：估计该校每周参加体育锻炼的时间至少为9h的人数约有400人。…8分 21.(I)证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, ∴.四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD;… ....4分 (2)解：点E,F分别为AD,AO的中点， EF是△AOD的中位线， :.EF=TOD, EF=3 .OD=3, 四边形ABCD是菱形， ∴.BD=2OD=6, AC⊥BD, 在RtAAOD中，AO=2,OD=3, .AD=VA02+OD2=√22+32=V13, 菱形形ABCD的周长为4V13. .8分 22.(1)解：设A种跳绳单价为x元，B种跳绳单价为y元，根据题意得： [2x+y=18 3x+2y=31 .2分 x=5 解得： y=8 3分 答：A种跳绳单价为5元，B种跳绳单价为8元： .4分 (2)解：设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳(40-m)根，根据题意得： m≤7(40-m) m≥24(40-m)1 5分 解得：32≤m≤35，.. 6分 设两种跳绳总花费为p元，则： w=5m+8(40-m)=-3m+320, .7分 .-3<0, 随的增大而减小， .8分 当m=35时，p最小， 即购买A种跳绳35根，B种跳绳5根时总费用最低，且最低费用为-3×35+320=215 元 ，9分 23.(1)解：将点B的坐标(m,-6)代入y=x-4中，得6=m-4 解得m=-2,即点B(-2,6). ...1分 将B(-2,6)代入到y=中，得6=《解得k=12 -2 12 …反比例函数的解析式为y= …2分 y=x-4 联立 12, y x 得x-4=12 x x2-4x-12=0 (x+2)(x-6)=0 解得x=-2,2=6. 当x=6时，代入y=2,得y=2 点A的坐标为(6,2) 3分 (2)解不等式x-4>冬表示一次函数y=x-4的函数值大于反比例函数y= x 为居数 两个函数的交点为A(6,2)和B(-2,6),反比例函数自变量取值范围为x≠0，观察图象可得：当 -2<x<0或x>6时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为-2<x<0或x>6.… .6分 (3)解：将y=0代入直线y=x-4中，得x=4,即点C(4,0),OC=4. 点A纵坐标为2， ∴SAM0c=5×4×2=4, 2 ÷SAPOC=3SAM0c=12. .7分 设点P(x小.则Snx=0Cb=2=12,得y=6, 当y=6时，代入反比例函数得6=12，解得x=2: 8分 当y=-6时，点P与点B重合，为(-2,6)： 9分 点P的坐标为(-2,6)或(2,6) 24.(1)解：当p=10时，C坐标为(10,40)， 由对称得点A坐标为(-10,40)， 抛物线B的解析式为：y=20(x+10+40: 3分 (2)解：①根据题意，设E(35,y),E2(30,2）, L<L2,.35+y<30+y2, :35+[035-p+50-p小30+[60-p+0-p] 化简得：65-2p>20, .p< 2,8sp< 45 45 2: ….6分 ②解：设EF-AC=2d,三段塑料管总长度为L, 根据题意可得：Ep+d,-dP+50-p, 20 ∴.L=2p+2d+2 -1d2+50-p 20 化简得：L=- a-1oP0. 当d=10时，L有最大值110， ∴当EF与AC的差为20m时，三段塑料管总长度最大，最大值为110m....10分 25.（1)解：一次函数y=2x-1的图象在一、三、四象限， :直线y=x与直线y=2x-1不平行，故有唯一点： 反比例函数y=的图象在一、三象限， 关于直线y=2x-1与反比例函数y=1的图象有两个交点： 二次函数y=x2图象开口向上，顶点是原点，与直线y=2x-1有一个交点， ∴.与一次函数y=2x-1互为“融创函数”的是①③. 故答案为：①③；…2分 (2)解：①R的坐标为(2,3)： .4分 ②函数P与函数M所围成封闭图形内（包括边界）整点有 (1,-1),(1,0),(1,1)(2,0),(2,1)(2,2),(2,3)(3,3),(3,4)(3,5):共10个..6分 (3)解：令抛物线P:y=2+（3k2-2+1)x+k中x=0,则y=k, 即该抛物线与y轴的交点为（0，k).且其中一个公共点在y轴上，则Fbpx+k 函数P:y=ax24(3-2+1)x+k的顶点坐标为(-32-2k+1,4ak-(3k2-2k+1。 2a 点(-32-，2k+,4ak-(3k-2k+)连r+k上. 2a 4a 4ak-(3k-2k+刊=-p32-2k+1+k,解得：3-2k+1 2a 2 函数O的解析式为y=3张-2k+x+k 2 令函数0=3-2+快中0，侧0-3”2k解得：=聚 2k 2 2 2k 即函数Q与x轴的交点为( 3水2二2水+0)，与y轴的交点为(0，).…8分 函数Q与x轴，y轴所围成的三角形面积S=2~3水2一2水+， 2k .11 2,2 ≤2， k2 1 8=3-2k+13-2+ (+2 当1时，s有最大值，最大位为： 当2时，$有最小值，最小值为 故函数与×轴，y轴所国成的三角形面积的取值范围为}S 210分