精品解析：湖南省永州市道县2025-2026学年九年级上学期减负提质示范班学情监测数学试题

2025年下期减负提质示范班学情监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 3. 方程的解为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 为了解某校九年级800名男生的体育长跑成绩情况，随机抽取了100名男生进行长跑测试，合格的有60名学生，可估计九年级男生中长跑成绩合格的人数约为（ ） A. 100人 B. 160人 C. 360人 D. 480人 5. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若为锐角，，则 D. 在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 9. 长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D. 水温不低于的时间为 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡内） 11. 计算___________． 12. 将抛物线向上平移2个单位，得到的抛物线是___________． 13. 在中，，，，则的长为______． 14. 已知线段．若点C将线段黄金分割，且，则_________． 15. 已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 16. 如图，已知点A在反比例函数上，作，使边在x轴上且，点D在上且，连并延长交y轴于点E，若的面积为8，的面积为3，则_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 已知方程的一个根为． （1）求的值； （2）设方程的另一个根为，求的值． 19. 如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某校2027届为丰富学生暑假活动，提高学生的身体素质，开展了“每天运动1小时”系列体育锻炼活动．体育锻炼项目共五个，分别为（篮球）、（跳绳）、（羽毛球）、（乒乓球）、（慢跑），为了解该校2027届全体学生参加以上五个体育活动的意愿，随机抽取了部分学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个体育活动，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为_________； （2）通过计算补全条形统计图，并求出扇形统计图中“”部分圆心角的度数； （3）若该校2027届共有420名学生，估计该届有多少名学生愿意参加“跳绳”活动? 21. 2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 22. 在综合实践活动中，某小组想借助如图所示直角的墙角搭建一个矩形场地，已知，，现有的板材围成矩形．（墙面不需要板材） （1）若围成面积为，求的长； （2）矩形的面积可否为？若可以，求出的长，若不可以，请说明理由． 23. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为轴，垂足为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由； （3）是轴上的一个动点，如果，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期减负提质示范班学情监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 下列是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数进行排除选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的形式为（）， 选项A：，是正比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，是一次函数； 选项D：，不是反比例函数； 故选B． 2. 下列图形一定是相似图形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，相似图形需对应角相等且对应边成比例，由相似图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握相似图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、两个等腰三角形的顶角或底角可能不相等，故不一定相似； B、两个直角三角形的锐角可能不相等，故不一定相似； C、两个正方形的所有内角均为，对应角相等，且任意两边长之比为常数，故对应边成比例，一定相似； D、两个矩形的邻边之比可能不同，故对应边不一定成比例，不一定相似； 故选：C． 3. 方程的解为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 解得：或 故答案为：B． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法和因式分解法，灵活选择合适的方法是解题的关键． 4. 为了解某校九年级800名男生的体育长跑成绩情况，随机抽取了100名男生进行长跑测试，合格的有60名学生，可估计九年级男生中长跑成绩合格的人数约为（ ） A. 100人 B. 160人 C. 360人 D. 480人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，关键是求出样本中成绩合格的学生所占百分比．用样本估计总体，即可得出结果． 【详解】解：∵样本合格率， ∴估计总体合格人数（人）． 故选：D． 5. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边）求解． 【详解】解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 6. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 7. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式可知，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为，当时，y随增大而减小，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴当时，随的增大而减小； 故选：D． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若为锐角，，则 D. 在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 9. 长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D. 水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，即可排除A选项；由，推出，推出，由，推出，即；需证明垂直平分，即可证明；设，则，由，有，即，然后问题可求解． 【详解】解：如图，过D作交于N， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ， ，， ， 垂直平分， ， 设，则， 同理可得， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述：只有B选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡内） 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移2个单位，得到的抛物线是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移规律“上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规律是解答的关键． 13. 在中，，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 14. 已知线段．若点C将线段黄金分割，且，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 根据黄金分割的定义得到，进而根据线段和差关系即可得的长． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有实数解，需考虑方程类型：当 时，方程为一次方程，有解；当 时，方程为一元二次方程，需判别式非负，同时，根号内表达式要求． 【详解】解：由方程中可知，， 分以下两种情况讨论： 当，即时，方程为， 解得，有实数解； 当，即时，方程为一元二次方程， 判别式， 由，得，即． 综上所述，． 故答案为：． 16. 如图，已知点A在反比例函数上，作，使边在x轴上且，点D在上且，连并延长交y轴于点E，若的面积为8，的面积为3，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接、，根据已知得出，，进而求得，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：连接、， ，的面积为3， ，， 的面积为8， ， ， ， ∴， 又∵ ∴轴，则， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限，． ． 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 即， ∴或， 解得，． 18. 已知方程的一个根为． （1）求的值； （2）设方程的另一个根为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系求出m的值，以及另一根即可； （2）利用根与系数的关系得到，．原式整理后整体代入计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：因为是方程的一个根， 所以． 解得； 【小问2详解】 解：由（1），原方程为． 因为方程的两根为， 则，． 所以． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 19. 如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）1 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由，得，由，，推导出，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，，求得，由相似三角形的性质得，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为1． 20. 某校2027届为丰富学生暑假活动，提高学生的身体素质，开展了“每天运动1小时”系列体育锻炼活动．体育锻炼项目共五个，分别为（篮球）、（跳绳）、（羽毛球）、（乒乓球）、（慢跑），为了解该校2027届全体学生参加以上五个体育活动的意愿，随机抽取了部分学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个体育活动，现将问卷调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为_________； （2）通过计算补全条形统计图，并求出扇形统计图中“”部分圆心角的度数； （3）若该校2027届共有420名学生，估计该届有多少名学生愿意参加“跳绳”活动? 【答案】（1）60 （2）10， （3）70 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的关联、用样本估计总体，看懂统计图并获取有用信息是解答的关键． （1）由项目人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各项目人数之和等于总人数求出人数即可补全图形；用乘项目人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中项目人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（人， 故答案为：60； 【小问2详解】 参加项目人数为（人， 补全图形如下： 扇形统计图中“”部分所对应的扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 （人， 答：估计该届有70名学生愿意参加“跳绳”活动． 21. 2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 【答案】千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，再在Rt△ABD中，根据求出，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， ∴（千米）， 在中，， ∴， ∴千米， ∴（千米）， 答：的长为千米． 22. 在综合实践活动中，某小组想借助如图所示直角的墙角搭建一个矩形场地，已知，，现有的板材围成矩形．（墙面不需要板材） （1）若围成面积为，求的长； （2）矩形的面积可否为？若可以，求出的长，若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：矩形的面积不能为，理由如下： 设，矩形的面积为， 由题意得，， ∴当时，S取最大值196， ∴矩形的面积不可以为． 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，一元二次函数的应用． （1）设，则，依题意得，解方程即符合条件的值即可； （2）设，矩形的面积为，由题意得，，根据二次函数的性质求出最值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设，则， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， ∴，， ∵，且， ∴舍去， ∴； 【小问2详解】 略 23. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，则∶ ， 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， 当时，有最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为轴，垂足为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由； （3）是轴上的一个动点，如果，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点或 【解析】 【分析】（1）先根据点D的横坐标为3，求出点D的坐标，从而可求得反比例函数的解析式； （2）分△、两种情况讨论，分别求出点M坐标； （3）分两种情况讨论：当点P在y轴上方时，过D作x轴平行线，内错角相等；当点P在y轴下方时，连接交x轴于点F，先证明，根据等腰三角形的判定可得出，再利用勾股定理求得F点的坐标，然后求出直线的解析式，令，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得：， ∴， ∵反比例函数的图象过点D，将点D的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似；理由如下： 当时，得：， 解得：， 当时，得：； ∴，， 如图1，，，于F， ∴，，， ∵轴，垂足为E，， ∴， ∴， ∵M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧， ∴设， ∴，， ∴， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，M在D的右侧， 当时，得：， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴， 当时，得：， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 分以下两种情况： 当点P在y轴上方时，过D作x轴平行线，内错角相等，符合题意． 此时，； 当点P在y轴上下方时，连接交x轴于点F， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵轴于点E， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点D，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，， 所以， 综上，点或为所求． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何综合，用勾股定理解三角形，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $