15.1.2 线段的垂直平分线 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2 线段的垂直平分线班级： 姓名： 【学习目标】 1. 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能正确用几何符号语言表述两者； 2. 能运用性质定理进行线段相等的转化，解决线段相等的证明与三角形周长的计算问题； 3. 了解原命题、逆命题、互逆命题与互逆定理的含义，能说出一个简单命题的逆命题，并举例判断其是否成立。 【学习重点】探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。 【学习难点】能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题。 【自学探究】 探究点一 线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线：经过线段 并且 于这条线段的直线. 探究 如图，直线垂直平分线段，点， ， ，…在上，分别比较点， ， ，…与点的距离和这些点与点的距离，你有什么发现? 猜想： 已知:如图,直线垂直且平分线段,垂足是. 是上的任意一点. 求证:． 线段垂直平分线性质：___________________________________________ 几何语言： 【典例解析】 例1.如图所示，在中，边的垂直平分线分别交于点,交于点, (1)的周长为,且,则=______。 (2)若,,则的周长_________. 例2.如图，的垂直平分线交于, (1)若的周长为，则=_____ (2)若，则=_____,=______. 探究点二 垂直平分线的判定 反过来，如果，那么点是否在线段的垂直平分线上？ 已知：如图，． 求证：点在线段的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定：__________________________________ 几何符号表示为： 【典例解析】 例3.如图，判断下列各结论的正误: (1)若，则垂直平分. ( ) (2)若，则点在线段的垂直平分线上（ ） (3)若，,则垂直平分. （ ） 例4.如图，,，点在直线上. 求证：. 探究点三：原命题和逆命题 讨论： 关于探究点一和探究点二中的两个命题， 它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识， 能说出其他具有类似关系的命题吗？ 探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 互逆命题：两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作 命题。 如果把其中一个叫作原命题， 那么另一个叫作它的 。 思考： 如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？ 例4 判断下列命题及其逆命题是否成立。 (1) 对顶角相等。 (2) 内错角相等，两直线平行。 (3) 若 a>b ，则 lal > Ibl . 总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理。 这两个定理叫作互逆定理。 其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 【达标测试】 1.下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果，那么 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2.如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B.平分 C. D. ≌ （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3.如图，的边的垂直平分线交于点，连接.若，，则= . 4.如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则= . 5. 如图，在中，所在直线是的垂直平分线，交于点，交于点，连接. 若的周长为，的周长为，求的长. 15.1.2 线段的垂直平分线 自学探究 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。 猜想：直线l上的点到点A、点B的距离相等。 线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵直线l垂直平分AB，∴PA=PB。 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何符号：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 互逆命题：叫作互逆命题；另一个叫作它的逆命题。 思考：原命题成立，逆命题不一定成立。 (1)对顶角相等：原命题真；逆命题：相等的角是对顶角，逆命题假。 (2)内错角相等，两直线平行：原命题真；逆命题：两直线平行，内错角相等，逆命题真。 (3)若a>b，则|a|>|b|：原命题假；逆命题：若|a|>|b|，则a>b，逆命题假。 典例解析 例1 (1) 9 (2) 11 例2 (1) 3cm (2) ∠BDC=80°，∠DBC=30° 例3 (1) × (2) √ (3) √ 例4证明： ∵AB=AC，∴A在BC的垂直平分线上； ∵DB=DC，∴D在BC的垂直平分线上。 两点确定一条直线，∴直线AD是BC的垂直平分线。 又∵E在直线AD上，∴EB=CE。 达标测试 1. D 2. C 3. 3 4. 10° 5. 解： ∵DE是AC垂直平分线，∴AD=DC，AE=EC=½AC。 △ABC周长：AB+BC+AC=30 △ABD周长：AB+BD+AD = AB+BD+DC = AB+BC =20 20+AC=30，AC=10 AE=½×10=5 答：AE的长为5。 学科网（北京）股份有限公司 $