15.1.2线段的垂直平分线(第二课时 线段垂直平分线的作法)（导学案）数学新教材人教版八年级上册

15.1.2 线段的垂直平分线(第二课时 线段的垂直平分线的作法) （导学案） 【学习目标】 1. 理解用尺规作线段垂直平分线的依据——到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，会用无刻度的直尺和圆规规范地作出已知线段的垂直平分线，并能口述作法、说明理由。 2. 掌握过直线外一点、过直线上一点作已知直线垂线的尺规作法，理解这两种作法与线段垂直平分线作法之间的内在联系。 3. 能运用线段垂直平分线的作法找出轴对称图形的对称轴，会解决“到两点距离相等”“到三个点距离相等”“两线＋两点型”等选点问题。 【学习重点】 1. 用尺规作已知线段的垂直平分线，理解作法的依据，能规范表述作法并说明理由。 2. 会用尺规过一点（点在直线上或直线外）作已知直线的垂线。 3. 能运用垂直平分线的作法找出轴对称图形的对称轴。 【学习难点】 1. 理解“以大于½AB的长为半径画弧”的必要性，能依据线段垂直平分线的判定定理说明作法的正确性。 2. 把“到两点距离相等”“到两边距离相等”等实际问题转化为“作垂直平分线”“作角平分线”的尺规作图问题，并能正确确定所求点的位置（交点）。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 作线段的中垂线 作法 (1)连接线段. (2)分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； (3)作直线.就是线段的垂直平分线. 2.过直线外一点作已知直线垂线 已知：直线和外一点. 求作：的垂线，使它经过点. 作法 (1)以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点和点. (2)分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点. (3)作直线，直线就是所求作的垂线. 【课堂探究】 情景导入 观看视频《历史长河中的几何制图》 新知探究 问1：之前我们学习了轴对称图形，你如何能找到轴对称图形的对称轴了？ 通过折叠，折痕所在的直线就是对称轴. 问2.不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 思考：如图，点和点关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 分析：根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，我们只要连接点和点，作出线段的垂直平分线，就可得到点和点的对称轴.由于“两点确定一条直线”，所以作线段的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点，根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可以作出这样的两个点. 作法 (1)连接线段. (2)分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； (3)作直线.就是线段的垂直平分线. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 典例分析 例1下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ 作法： 1.找出它的一对对称点和，连接. 2.分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 3.作直线.就是线段的垂直平分线. 用同样的方法，可以找出五条对称轴所以五角星有五条对称轴． 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴. 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线和外一点. 求作：的垂线，使它经过点. 作法 (1)以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点和点. (2)分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点. (3)作直线，直线就是所求作的垂线. 变式训练 1.如图，和关于直线对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴. 作法1： 1.连接对称点和， 2.作出线段的垂直平分线 作法2： (1)延长、交于点， (2)延长，交于点， (3)连接，则直线即为所要求作的直线. 方法总结： ①过成轴对称图形的两组对应点的连线（或延长线）交点的直线是这个轴对称图形的对称轴. ②如果成轴对称的两个图形对称点连线（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上. 2.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 作法 (1)以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点和点. (2)分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点. (3)作直线，直线就是所求作的垂线. 3.某公司准备在三个小区A，B，C周围修建一个超市，要求超市到三个小区的距离相等，超市应该修在什么地方呢? 作法 (1)连接和 (2)分别作线段和的垂直平分线; (3)两垂直平分线的交点；即为：所求点 方法总结 对于“三点”型问题，即找一个点到三个点的距离都相等的问题，一般需要连接已知点得到两条线段，作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求选点； 4.两城镇,与两条公路，的位置如图所示，现电信部门需在的内部处修建一座信号发射塔，要求发射塔到城镇，的距离相等，且到两条公路，的距离也相等，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图找出符合条件的点.（不要求写作法，只保留作图痕迹） 作法 (1)作的平分线 (2)连接，作线段的垂直平分线; (3)角平分线和垂直平分线的交点；即为：所求点 方法总结 对于“两线+两点”型问题，即找一个点到已知两个点的距离相等，且到两边的距离也相等的问题，一般需要作连接已知两点的线段并作垂直平分线以及已知两线所成角的平分线，所作的垂直平分线与角平分线的交点即为所求选点。 5.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．若，的周长为，求的周长 解：∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长. 【课堂总结】 【课堂练习】 1.下列图形中，只有一条对称轴的是（ A ） 2.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（　D　） A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ 3.如图，已知线段AB的垂直平分线交于点，且，现欲在线段上求作两点，，使其满足，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作、的平分线，分别交于、，则、即为所求； 乙：分别作、的垂直平分线，分别交于、，则、两点即为所求． 下列说法正确的是（　D　） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4.如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点.若，则的度数为_________ 5.如图，已知在中，.尺规作图：过点作直线的垂线，垂足为.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 作法如图所示 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.2 线段的垂直平分线(第二课时 线段的垂直平分线的作法) （导学案） 【学习目标】 1. 理解用尺规作线段垂直平分线的依据——到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，会用无刻度的直尺和圆规规范地作出已知线段的垂直平分线，并能口述作法、说明理由。 2. 掌握过直线外一点、过直线上一点作已知直线垂线的尺规作法，理解这两种作法与线段垂直平分线作法之间的内在联系。 3. 能运用线段垂直平分线的作法找出轴对称图形的对称轴，会解决“到两点距离相等”“到三个点距离相等”“两线＋两点型”等选点问题。 【学习重点】 1. 用尺规作已知线段的垂直平分线，理解作法的依据，能规范表述作法并说明理由。 2. 会用尺规过一点（点在直线上或直线外）作已知直线的垂线。 3. 能运用垂直平分线的作法找出轴对称图形的对称轴。 【学习难点】 1. 理解“以大于½AB的长为半径画弧”的必要性，能依据线段垂直平分线的判定定理说明作法的正确性。 2. 把“到两点距离相等”“到两边距离相等”等实际问题转化为“作垂直平分线”“作角平分线”的尺规作图问题，并能正确确定所求点的位置（交点）。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 作线段的中垂线 作法 (1)连接线段________ (2)分别以点__________为圆心，大于_________的长为半径作弧，两弧相交于，两点； (3)作直线.就是线段的垂直平分线. 2.过直线外一点作已知直线垂线 已知：直线和外一点. 求作：的垂线，使它经过点. 作法 (1)以点_____为圆心，适当长为_________，交直线于点和点. (2)分别以____________为圆心，大于________________的长为半径作弧，两弧相交于点. (3)作直线，直线就是所求作的垂线. 【课堂探究】 情景导入 观看视频《历史长河中的几何制图》 新知探究 问1：之前我们学习了轴对称图形，你如何能找到轴对称图形的对称轴了？ 问2.不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 思考：如图，点和点关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 典例分析 例1下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线和外一点. 求作：的垂线，使它经过点. 变式训练 1.如图，和关于直线对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴. 2.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 3.某公司准备在三个小区A，B，C周围修建一个超市，要求超市到三个小区的距离相等，超市应该修在什么地方呢? 4.两城镇,与两条公路，的位置如图所示，现电信部门需在的内部处修建一座信号发射塔，要求发射塔到城镇，的距离相等，且到两条公路，的距离也相等，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图找出符合条件的点.（不要求写作法，只保留作图痕迹） 5.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．若，的周长为，求的周长 【课堂总结】 【课堂练习】 1.下列图形中，只有一条对称轴的是（ ） 2.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（　　） A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ 3.如图，已知线段AB的垂直平分线交于点，且，现欲在线段上求作两点，，使其满足，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作、的平分线，分别交于、，则、即为所求； 乙：分别作、的垂直平分线，分别交于、，则、两点即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4.如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点.若，则的度数为_________ 5.如图，已知在中，.尺规作图：过点作直线的垂线，垂足为.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $