15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

班级：__________

姓名：__________

日期：__________

教材：人教版八年级上册

项目

内容

性质定理

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

几何语言

直线l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P在l上，
∴ PA = PB。

图形

（直线l垂直平分AB，点P在l上，连接PA、PB，则PA = PB）

证明（SAS）

证明：当点P与点C不重合时，
∵ l⊥AB，∴ ∠PCA = ∠PCB。
又 AC = BC，PC = PC，
∴ △PCA ≌ △PCB (SAS)。
∴ PA = PB。
当点P与点C重合时，显然成立。

项目

内容

判定定理

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

几何语言

∵ PA = PB，
∴ 点P在AB的垂直平分线上。

图形

（已知PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线

上）

证明（HL）

证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C。
则∠PCA = ∠PCB = 90°。
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵ PA = PB，PC = PC，
∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB (HL)。
∴ AC = BC。
又 PC⊥AB，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。

角平分线

线段垂直平分线

性质

角平分线上的点到角两边的距离相等。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

判定

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

概念

说明

互逆命题

两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。

注意：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。

互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。

示例

（1）互逆命题：
原命题：对顶角相等。
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（不成立）

（2）互逆定理：
① 线段的垂直平分线的性质与判定
② 角的平分线的性质与判定
③ "两直线平行，内错角相等"与"内错角相等，两直线平行"