15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学案聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题核心知识点，通过现实情境（如商场选址）导入，衔接轴对称与全等三角形知识，以性质判定证明步骤、与角平分线对比为学习支架，构建完整知识脉络。 该资料突出逻辑推理，通过性质判定的严谨证明培养推理意识，结合实际问题（商场选址）发展模型意识，知识对比（角平分线）提升抽象能力，习题层次分明，从基础应用到综合证明，有效巩固知识，提升课堂效率。

学案：15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 人教版八年级上册 第十五章 轴对称 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，感受证明的必要性，体会逻辑推理的数学方法；能灵活运用线段的垂直平分线的性质及判定解题。 2. 了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题；了解互逆定理。 二、知识梳理 1. 线段的垂直平分线的性质 项目 内容 性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言 直线l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P在l上， ∴ PA = PB。 图形 （直线l垂直平分AB，点P在l上，连接PA、PB，则PA = PB） 证明（SAS） 证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB，∴ ∠PCA = ∠PCB。 又 AC = BC，PC = PC， ∴ △PCA ≌ △PCB (SAS)。 ∴ PA = PB。 当点P与点C重合时，显然成立。 2. 线段的垂直平分线的判定 项目 内容 判定定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 几何语言 ∵ PA = PB， ∴ 点P在AB的垂直平分线上。 图形 （已知PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上） 证明（HL） 证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C。 则∠PCA = ∠PCB = 90°。 在Rt△PCA和Rt△PCB中， ∵ PA = PB，PC = PC， ∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB (HL)。 ∴ AC = BC。 又 PC⊥AB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 3. 角平分线与线段垂直平分线对比 角平分线 线段垂直平分线 性质 角平分线上的点到角两边的距离相等。 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 4. 互逆命题与互逆定理 概念 说明 互逆命题 两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。 注意：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 示例 （1）互逆命题： 原命题：对顶角相等。 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（不成立） （2）互逆定理： ① 线段的垂直平分线的性质与判定 ② 角的平分线的性质与判定 ③ "两直线平行，内错角相等"与"内错角相等，两直线平行" 三、课堂练习 练习1（教材P67 练习 第1题） 如图，AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？                 练习2（导入问题） 中兴公园附近有两个小区，现在要建一座商场，要求从商场到两个小区的距离差不多，请问该商场要建在哪里才能符合要求？             练习3（教材P67 练习 第2题） 如图，AB = AC，MB = MC。直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？                 练习4（教材P67 练习 第3题） 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立。 (1) 两直线平行，同位角相等； 逆命题：____________________________________，判断：________ (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 逆命题：____________________________________，判断：________ (3) 全等三角形的对应角相等。 逆命题：____________________________________，判断：________         练习5（随堂演练1） 如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ） A. ED = CD B. AE = AC C. AD = BD D. BD = AC         练习6（随堂演练2） 如图，P是△ABC内一点，若PB = PC，则点P在（ ） A. ∠ABC的平分线上 B. ∠ACB的平分线上 C. 边AB的垂直平分线上 D. 边BC的垂直平分线上         练习7（随堂演练3） 如图，公园里有一块三角形草坪(△ABC)，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到△ABC三个顶点的距离相等，则该树应种在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高的交点处 D. 三条中线的交点处         练习8（随堂演练4） 如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交AC，BC边于点D，E。若AB = 3，AC = 5，求△ABD的周长。                 练习9（随堂演练5） 如图，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，且AE = AF，连接DE，DF，EF。求证：AD垂直平分EF。                  四、参考答案 练习1 答案 解：AB = AC = CE，AB + BD = DE。理由如下： ∵ AD⊥BC，BD = DC， ∴ AD是BC的垂直平分线。 ∴ AB = AC。 又点C在AE的垂直平分线上， ∴ AC = CE。 ∴ AB = AC = CE。 又 BD = DC， ∴ AB + BD = CE + DC，即AB + BD = DE。 练习2 答案 答：商场应该建在两个小区连线的垂直平分线上才符合要求。 解析：根据线段垂直平分线的判定，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。要使得商场到两个小区的距离相等，商场应位于以两个小区为端点的线段的垂直平分线上。 练习3 答案 解：直线AM是线段BC的垂直平分线。理由如下： ∵ AB = AC， ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上。 ∵ MB = MC， ∴ 点M也在线段BC的垂直平分线上。 ∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线。 练习4 答案 (1) 逆命题：同位角相等，两直线平行。 判断：成立。 (2) 逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等。 判断：不成立。 (3) 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等。 判断：不成立。 练习5 答案 答案：C 解析：DE是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。点D在DE上，∴ AD = BD。 练习6 答案 答案：D 解析：根据线段垂直平分线的判定，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。∵ PB = PC，∴ 点P在边BC的垂直平分线上。 练习7 答案 答案：A 解析：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等。三条高的交点是垂心，三条中线的交点是重心，它们到三个顶点的距离不一定相等。 练习8 答案 解：∵ DE是BC的垂直平分线， ∴ BD = CD。 ∴ △ABD的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC。 ∵ AB = 3，AC = 5， ∴ △ABD的周长为 3 + 5 = 8。 练习9 答案 证明：∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD = ∠CAD。 在△ADE和△ADF中， AE = AF， ∠EAD = ∠FAD， AD = AD， ∴ △ADE ≌ △ADF (SAS)。 ∴ DE = DF。 ∴ 点D在线段EF的垂直平分线上。 ∵ AE = AF， ∴ 点A在线段EF的垂直平分线上。 ∴ 点A，D都在线段EF的垂直平分线上。 ∴ AD是线段EF的垂直平分线， 即AD垂直平分EF。 学科网（北京）股份有限公司 $