2.3二次根式第3课时 二次根式的混合运算 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2.3 二次根式 第 3 课时 二次根式的混合运算 温故知新 通过以上问题，猜测一下：如何进行二次根式的混合运算 1.最简二次根式的判断标准： ①开方数不含分母 ②被开方数不含开得尽的因数或因式 2.判断同类二次根式： ①先将二次根式化到最简 ②再对比被开方数是否一致 3.二次根式的乘除法则 ①乘法法则： ②除法法则： 4.同类二次根式的加减法则： 系数相加减，被开方数和根指数保持不变 1.判断: 下列各式中，哪些是最简二次根式？ （1） （2） （3） （4） 复习练习 ； ； ；a＞0 割补方法在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对等式证明的掌握程度，特别是观察的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，数列求和是一个核心概念，学生需要学会非线性化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，数学思维训练是一个核心概念，学生需要学会信息化。 2.化简： 将下列各式化简为最简二次根式. （1） （2） 解：（1） （2） . ,a≥0 ; 知识回顾 3．计算：()2 024()2 024 ． 解：原式＝＝(2－3)2 024＝1． 问题1：单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? 问题2：多项式与单项式的除法法则是什么? m(a + b + c) = ma + mb + mc (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb (ma + mb + mc)÷m = a + b + c 分配律 单×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考：若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用。 (1) 请你计算： 【合作探究】 探究点一： 二次根式的混合运算 探究点一： 二次根式的混合运算 (2) 小明是这样计算 的: 思考：分子、分母同乘 的目的是什么? 目的是将分母转化为有理数，方便合并同类项. 将分母转化为有理数的过程我们一般叫作分母有理化，部分式子可以借助平方差公式和完全平方公式来进行。 + = + = + = . (3) 计算 你有哪些方法？ 想一想：这三种计算方法有何不同？ 探究点一： 二次根式的混合运算 - = - = 2- = . 方法二 - = - = 2- = . 方法三 - = - = 2- =2- = . 探究新知 归纳总结 方法总结 分母有理化的方法: 1.分母为单项式时，给分子分母同乘分母后化简即可； 2.分母为多项式时，可以利用平方差公式进行分母有理化. (a、b不为0，且a≠b) (a、b不为0，且a≠b) 13 例1 计算 解：(1) (2) (1) (2) (3) (4) 典型例题 例1 计算 (3) 你还有其他方法吗？ 方法一 (1) (2) (3) (4) 典型例题 例1 计算 (3) 方法二 (1) (2) (3) (4) 典型例题 例1 计算 (4) 还可以继续化简吗？ 如果算式中的二次根式化简成最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，结果中可保留，不必化为最简二次根式. (1) (2) (3) (4) 典型例题 化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？ 把a=3，b=2代入代数式中， 原式= 先代入后化简 方法一 你还有其他方法吗？ 新知学习 把a=3，b=2代入代数式中， 原式= 先化简后代入 方法二 哪种方法更简便？ 化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？ 新知学习 解决二次根式的化简求值问题时，直接代入求值比较麻烦，可先化简已知条件，再用乘法公式变形，最后代入求值即可. 二次根式化简求值的方法： 新知学习 【拓展训练】 提示：先化简，然后利用完全平方公式的变形求解. 探究点二： 二次根式的应用 1. 当 x＝ －1 时，求代数式 x2＋5x－6 的值. 解：当x＝ －1时， x2＋5x－6＝(－1)2＋5(－1)－6 ＝5＋1－2 ＋5 －5－6 ＝3 －5. . 计算： (1) (＋5 )× ； (2) ； 解：原式＝2－ . 解：(1) 原式＝6＋10 . (2) 原式＝2－ . (3)(4＋ )(4－ )＋ ；－1. (3) 原式＝ . (4) 原式＝ －1. (4)(3 －2 )× ＋(－ )2. 24 【思考·交流】如图，小正方形的边长为 1。 (2) 试求图中梯形 ABCD 的面积。你有哪些方法？ (1) 求梯形 ABCD 的周长。 可把梯形 ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. S1 S2 S3 S梯形ABCD = S1 + S2 + S3 方法 1：分割法 探究点二： 二次根式的应用 通过补图，可把梯形ABCD 变成一个大梯形，如图所示. S1 S2 S梯形ABCD = S梯形ABEF－S1－S2 E F 方法2：补图法 探究点二： 二次根式的应用 过点 D 作 AB 边的高 DE，如图所示. S梯形ABCD E 探究点二： 二次根式的应用 方法3：直接法 归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果． 4.(1) 已知 ，求 的值； 解：x22x3=(x3)(x+1) (2)已知 ，求 的值. 解： 随堂练习 4.如图，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，剪掉的面积分别为50cm2和72cm2，则剩余阴影部分的面积为__________． 120cm2 根据题意，得大正方形的边长为 + ＝11 cm， 所以，大正方形的面积为(11 )2＝242 cm2， 所以，S阴影＝242﹣50﹣72＝120 cm2. 解析： 学习目标 1.阅读下面材料并解决问题： 【拓展训练】 34 35 36 4.(1) 已知 ，求 的值； 解：x2-2x-3=(x-3)(x+1) (2)已知 ，求 的值. 解： 练习6 先化简，再求值，已知 ， ，求： 的值. 解： ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . 练习7 阅读材料，并计算. 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式. 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化. 如： . 请利用分母有理化的知识，化简：(1) ； (2) . 解：(1) EMBED Equation.DSMT4 . (2) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . $