2.7二次根式 第二课时（二次根式的性质）课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

第2课时二次根式的性质 北 东 60° 西 南 B A 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式. 知识点2 最简二次根式 注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式. 新知探究 2 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　A　) A. B. C. D. A 2.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． C 3.［2025月考］下列是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. C 1. 化简：(1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解： (1) = = 4； (2) = ； (3) = = = ； (4) = . 随堂练习 4 归纳 将二次根式化成最简二次根式的方法： 先将被开方数分解成平方因数与其他因数相乘的形式 再根据二次根式的性质写成两个算术平方根相乘 把平方因数开方，结果化为最简二次根式 分子、分母同时乘以一个相同的数 将分母变成平方形式 带分数 假分数 小数 分数 应用新知 变式 化简： (1) (a≥0，b≥0)； (2) . 解:(1) (2) ； . 课堂练习 二次根式之间能进行加减运算吗？ 知识点3 二次根式的加减法运算法则 二次根式也可以进行加减运算，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用. 如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并. 新知探究 7 问题 化简下列二次根式，观察他们的特点，并进行分类. 化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式. 探究新知 探究 你能直接写出下列式子的结果吗？ (2) x2+3x2+y= . (1) 3x2+4x2= . 类比合并同类项的方法，想想如何计算 ？ 解： (2) 能不能再进行计算，为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同， 所以不能合并． 7x2 4x2+y 探究新知 二次根式的加减运算法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并. 知识点3 二次根式的加减法运算法则 将其系数相加，被开方数不变，所得的和与被开方数相乘，如2+3=(2+3)=5 新知探究 10 例3 计算 解： (1) (2) 步骤：先化为最简二次根式．②再合并同类二次根式． (1) (2) (3) 教材 例题 应用新知 . 计算： (1) － ＋ ； 解：原式＝3 －2 ＋ ＝ . (2) －3 ＋ . 解：原式＝6 － ＋ ＝ . 解：原式＝3 －2 ＋ ＝ . 解：原式＝6 － ＋ ＝ . 当堂达标 叁 解： 计算： 叁 2. 与最简二次根式 能合并，则 m＝ 。 1 3.计算：（1）－； （2）2＋。 解:（1）原式 ＝4－2 ＝ 2 ； （2）原式 ＝2×2＋3× ＝4＋12 ＝16。 1. 下列二次根式中，能与 合并的是(　C　) A. B. C. D. C 复习回顾 若最简根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 2n + 1 = 2，3m - 2n = 3， 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方程求解即可. 归纳 即 解得 能力提升 新知学习 2. 已知,，则 等于( ) D A. B. C. D. 【点拨】.因为 , ,所以原式 . 返回 能力提升 复习回顾 16 1.化简二次根式(x＜0)正确的是(　　) A.　　　　B.　　　　C.－　　　　D.－ 返回 C 【点拨】因为x＜0，所以＝＝－，故选C. 基础提优题 知识点2 商的算术平方根的性质 2.若＋(a－3)2＝0，则化简的结果是(　　) A.　　 B.　　 C.±　　 D. 返回 B 基础提优题 3.如果＋6＝20，那么x＝　　　　. 返回 【点拨】因为＋6＝20，所以×3＋6×＝20，即2＋3＝20，所以5＝20，所以＝4，所以x＝16.经检验：x＝16是原方程的解，故答案为16. 16 基础提优题 4.如图，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，剪掉的面积分别为50cm2和72cm2，则剩余阴影部分的面积为__________． 120cm2 根据题意，得大正方形的边长为 + ＝11 cm， 所以，大正方形的面积为(11 )2＝242 cm2， 所以，S阴影＝242﹣50﹣72＝120 cm2. 解析： 学习目标 5. 有一块长方形木板ABCD，甲采用如图的方式，将木板的长AD增加 2 cm，宽AB增加7 cm，得到一个面积为192 cm2的正方形AEFG。 (1)求AD的长； (2)求变动后面积共增加了多少平方厘米。 解：(1)由题意，得正方形AEFG的边长为 ＝8 (cm)。 所以AD＝8 －2 ＝6 (cm)。 解：(1)由题意，得正方形AEFG的边长为 ＝8 (cm)。 所以AD＝8 －2 ＝6 (cm)。 (2)因为AB＝8 －7 ＝ (cm)， 所以长方形木板ABCD的面积为6 × ＝18(cm2)。 所以变动后面积共增加了S正方形AEFG－S长方形ABCD＝192－18 ＝174(cm2)。 B层 提升练 6．已知x＝-1，求(x＋1)2-4(x＋1)＋4的值． 解：(x＋1)2-4(x＋1)＋4＝(x＋1-2)2＝(x-1)2. 当x＝-1时，原式＝(-2)2＝7-4. -4或1 当堂小测 ★7． 先观察“比较1的大小”这个问题的解答过程，再解决后面提出的问题． 解：∵()()＝1，(1)(＋1)＝1， ∴1＝．又∵＋1，∴1． (1)试用以上方法，比较的大小； (2)填空：　 (填“＞”或“＜”)．  　＞  0.45 $