2.3 第1课时二次根式及其乘除课件2026-2027学年八年级数学北师大版上册

CAMPAIGN 2.3 二次根式 第1课时 二次根式的乘法和除法 北师大版 数学 八年级上册 第二章 实数 问题1：什么叫作平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根。 问题2：什么叫作算术平方根？怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示。 问题3：什么数有平方根？ 我们知道，负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数。 复习旧知，导入新课 用带有根号的式子填空： （1）如果一个直角三角形的两直角边长分别为 2 和 1，则斜边为_____. （2）面积为11的正方形的边长为______，面积为 7.2 的正方形的边长为______. （3） 的算术平方根可表示为______；(c + b)(c－b) 的算术平方根可表示为____________.（其中 c > b > 0） 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是： 观察下列代数式： 1. 都含有开平方运算， 2. 并且被开方数都是非负数。 探究点一： 二次根式的概念 (其中 b = 24，c = 25)。 一般地，形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式， a 叫作被开方数。 注意：a 可以是数，也可以是式子. 两个必备特征 ① 外形特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数 a≥0 二次根式的概念 探究点一： 二次根式的概念 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否为二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究点一： 二次根式的概念 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 解：由 x - 2≥0，得 x≥2。 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义。 【变式训练】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， 所以 x＞1。 探究点一： 二次根式的概念 (1) ； 解：因为 被开方数需大于或等于零， 所以 3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为 分母不能等于零， 所以 x - 1 ≠ 0，所以 x ≠ 1. 所以 x≥-3 且 x ≠ 1. 探究点一： 二次根式的概念 (1) 单个二次根式如 有意义的条件： (2) 多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3) 二次根式作为分母如 有意义的条件： (4) 形如 或 的式子有意义的条件： A≥0，B≥0，… ，N≥0. A≥0 且 B ≠ 0. A＞0. A≥0. 【知识要点】 探究点一： 二次根式的概念 03 讲练结合 x取何值时,下列二次根式有意义? （1） ； （2）； （3）； （4）; （ 5）; (6) 解 （1）x≥1 （2）x≤0 （3）x为任意实数 （4） x>0 （5）x≥0 （6）x≠0 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______； (2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是____________. x≥1 x≥0且 x ≠ 2 【练一练】 探究点一： 二次根式的概念 新知探究 探究活动二：1.计算下列各式，你能得到什么猜想？ 6 6 20 20 新知探究 2.根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证. 3.用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？ 即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 6.481 6.481 0.9258 0.9258 【归纳总结】二次根式的乘法法则的推广： ① 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 ② 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即 探究点二： 二次根式的乘除运算 ··…·=(a≥0，b≥0，…，k≥0). m÷n=(a≥0，b>0，n≠0). 新知探究 例1 计算： （1） ； 解：（1） ； （2） 。 （2） 。 新知探究 例2 计算： （1） ； 解： 新知探究 （3） ； （4） 。 活动2：(1) 对比(a＋b)(a－b)＝a2－b2， 想想 该怎么计算? (2) 类似地，参考 计算： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2。 探究点二： 二次根式的乘除运算 新知探究 （1） ； （2） ； （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 中考考法 【变式训练】 计算. 探究点二： 二次根式的乘除运算 解：(1) 原式 = (2) 原式 = 课堂练习 2.已知 ， (1)求 的值 (2)求 的值 解: 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 练一练 1. 下列各式中，不是二次根式的是(　B　) A. B. C. D. B 2. 二次根式 有意义，则x的值可以为(　A　) A. 7 B. 6 C. 0 D. －1 A 3. 计算：2 × ＝(　D　) A. 12 B. C. D. 2 D 4. 若 ＋ 在实数范围内有意义，则x的取值范 围为 ⁠. x≥0且x≠1　 5. 填空： (1) × ＝ 　 　；(2) ÷ ＝ ⁠. 　 6　 6. 计算： (1) × ； 解：原式＝3.式＝30 . (3) × ÷ ； 解：原式＝10. 解：原式＝3. 解：原式＝30 . 解：原式＝10. 原式＝3. (2)5 ×6 ； 解：原式＝30 . 解：原式＝10. (4)(－2)2. 解：原式＝7－4 . 解：原式＝7－4 . 知识点1 二次根式的定义 1.在式子(x＞0)，，(y＝－2)，(x＜0)，3，，，x＋y中，二次根式有(　　) A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个 返回 C 基础提优题 2.若式子＋(3m－6)0有意义，则m的值可以是(　　) A.　　 B.－　　 C.3　　 D.2 返回 C 基础提优题 3.无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围。 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0。 ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9。 4.(跨物理学科)物体在做自由落体运动时，下落时间t(单位：s)和下落高度h(单位：m)之间满足关系式t＝ ，其中g≈10m/s2.(不考虑空气阻力) (1)小球从20m的高空自由下落，需要多长时间到达地面？ 解：将h＝20，g＝10代入t＝ ，得t ≈ =2(s)， 所以，小球从20m的高空自由下落，需要2s到达地面； 4.(跨物理学科)物体在做自由落体运动时，下落时间t(单位：s)和下落高度h(单位：m)之间满足关系式t＝ ，其中g≈10m/s2.(不考虑空气阻力) (2)小谢认为，小球从80m的高空自由下落到达地面需要的时间是从20m的高空自由下落所需时间的4倍，你认同小谢的说法吗？请说明理由． 解：不认同，理由如下： 将h＝80，g＝10代入t＝ ，得t ≈ =4(s)， 因为4≠4×2，所以小谢的说法不正确. 5. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部是底面半径为2 cm，深为6 cm的圆柱，则其容积为　　　　cm3(结果保留根号和π). 返回 120π 基础提优题 6. 嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5＋2 ＝(2＋3)＋2 　　　　　　　　　　＝( )2＋( )2＋2× × 　　　　　　　　　　＝( ＋ )2； 8＋2 ＝(1＋7)＋2 　　　　＝12＋( )2＋2×1× 　　　　＝(1＋ )2. (1)请你仿照嘉嘉的方法，将20＋2 化成另一个式子的平方. 解：(1)20＋2 ＝15＋5＋2 ＝ ＋ ＋2× × ＝( ＋ )2. (2)请运用嘉嘉的方法化简： . 解：(2) ＝ 　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　 ＝3－ . (3)若 a ±2 ＝( ± )2，且 a ， m ， n 均为正整数，请求出 a 的值. 解：(3)因为( ± )2＝ m ＋ n ±2 ， 　　　所以 m ＋ n ＝ a ， mn ＝21. 　　　因为 m ， n 均为正整数，且21＝1×21＝3×7， 　　　所以 m ＝1， n ＝21或 m ＝21， n ＝1 　　　或 m ＝3， n ＝7或 m ＝7， n ＝3. 　　　所以 a ＝ m ＋ n ＝22或10. 二次根式 定义 带有二次根号 二次根式的乘除运算 被开方数为非负数 二次根式与乘法公式 二次根式 中,a≥0且 ≥0 (a≥0，b＞0) (a≥0，b≥0) $