第一章 特殊平行四边形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

第一章 特殊平行四边形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 菱形、矩形、正方形的概念 1.1 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 示例：在平行四边形 中，若 ，则平行四边形 是菱形。 1.2 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 示例：在平行四边形 中，若 ，则平行四边形 是矩形。 1.3 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 示例：有一组邻边相等、且有一个角是直角的平行四边形 是正方形。 注意：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有一般平行四边形的所有性质。 图1：菱形、矩形和正方形 2. 菱形的性质与判定 2.1 菱形的性质 定理　菱形的四条边相等。 定理　菱形的对角线互相垂直。 示例：在菱形 中，，且对角线 与 互相垂直。 图2：菱形的对角线 注意：菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还有两条特有性质：四条边相等、对角线互相垂直。 2.2 菱形的判定 定理　四边相等的四边形是菱形。 定理　对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 示例：四边相等的四边形是菱形；对角线 与 互相垂直的平行四边形 是菱形。 3. 矩形的性质与判定 3.1 矩形的性质 定理　矩形的四个角都是直角。 定理　矩形的对角线相等。 示例：在矩形 中，，且对角线 。 图3：矩形的对角线 3.2 直角三角形斜边上的中线 定理　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 示例：在 中，， 为斜边 的中点，则 。 图4：直角三角形斜边上的中线 3.3 矩形的判定 定理　有三个角是直角的四边形是矩形。 定理　对角线相等的平行四边形是矩形。 示例：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线 的平行四边形 是矩形。 4. 正方形的性质与判定 4.1 正方形的性质 定理　正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理　正方形的对角线相等且互相垂直平分。 示例：在正方形 中，，，且对角线 、互相垂直平分。 注意：由正方形的定义可知，正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形和矩形的所有性质。 4.2 正方形的判定 定理　有一组邻边相等的矩形是正方形。 定理　对角线互相垂直的矩形是正方形。 定理　有一个角是直角的菱形是正方形。 定理　对角线相等的菱形是正方形。 示例：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。 5. 图形的对称性 5.1 菱形、矩形、正方形的轴对称性 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形；菱形、矩形都有两条对称轴，正方形有四条对称轴。 5.2 旋转对称图形 如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于 ）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形。 示例：正方形绕其对称中心旋转 后能与原正方形重合，所以正方形是旋转对称图形。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 菱形的面积等于对角线乘积的一半 若菱形的两条对角线长分别为 、，则其面积 。任意对角线互相垂直的四边形，其面积都等于两条对角线乘积的一半。 1.2 菱形的对角线平分每一组对角 菱形的每条对角线平分一组对角：如菱形 中，对角线 平分 和 ，对角线 平分 和 。 1.3 含特殊角的菱形与矩形 含 内角的菱形，其较短对角线把菱形分成两个等边三角形；矩形中对角线与一边的夹角为 或 时，对角线把矩形分成含 的直角三角形（三边比 ）；夹角为 时出现等腰直角三角形（三边比 ）。 1.4 直角三角形斜边中线定理的逆命题 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 1.5 顺次连接四边形各边中点所得的中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是平行四边形；顺次连接菱形各边中点得矩形，顺次连接矩形各边中点得菱形，顺次连接正方形各边中点得正方形。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 特殊平行四边形的判定思路 先证平行四边形，再据题给条件加”一个角”“一组邻边”或”对角线关系”判定特殊图形：菱形 平行四边形 邻边相等（或对角线互相垂直）；矩形 平行四边形 一个角为直角（或对角线相等）；正方形 矩形 邻边相等（或对角线互相垂直），也等于菱形 一个角为直角（或对角线相等）。如先由两组对边分别平行得平行四边形，再由对角线互相垂直得菱形。 2.2 利用对角线关系快速判断 只看两条对角线：互相垂直（且互相平分） 菱形；相等（且互相平分） 矩形；相等且互相垂直平分 正方形。如两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 2.3 求菱形、矩形中线段长的基本套路 抓住”对角线互相平分”与勾股定理：菱形中由边长与两条半对角线构成直角三角形；矩形中对角线相等且互相平分，常与 、、 角结合，用勾股定理或等腰三角形求边长。如菱形对角线为 和 ，则边长 。 3. 证明与计算小技巧 技巧 要点 示例 等积法求高 同一菱形既可用”对角线乘积的一半”又可用”底 高”算面积，两式相等列方程 菱形对角线为 、，面积为 ，边长 ，则高 正方形中的 角 正方形的每条对角线平分一组对角，处处出现 角，遇 常连对角线 正方形中 折叠问题 折叠（翻折）前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕垂直平分对应点所连线段 矩形沿对角线折叠，重叠部分是等腰三角形 全等三角形搭桥 特殊平行四边形中证线段、角相等，常先证相关三角形全等 正方形中证 ，先证 与 全等 4. 常见考试模型 4.1 中点四边形模型 公式：顺次连接四边形四边中点所得”中点四边形”的形状由原四边形两条对角线决定：对角线相等 中点四边形是菱形；对角线互相垂直 中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直 中点四边形是正方形。 限定：原四边形对角线不满足任何特殊关系时，中点四边形是一般平行四边形。 示例：如顺次连接矩形的四边中点，所得四边形是菱形（矩形对角线相等）。 4.2 折叠（翻折）模型 公式：折叠前后两个图形关于折痕对称、全等，对应线段相等、对应角相等；折痕垂直平分对应点所连线段。 限定：折叠后落在纸片内（或外）的点须画图确定位置关系，再据全等与垂直平分求长度、判形状。 示例：如把矩形 的点 折叠到与点 重合，则折痕是 的垂直平分线，所得四边形是菱形。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判定菱形时漏掉”平行四边形”前提，把”对角线互相垂直的四边形”当成菱形 典例：四边形 的对角线 与 互相垂直，则四边形 一定是菱形吗？ 错解：因为对角线互相垂直，所以四边形 是菱形。 正解：不一定。判定定理是”对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，缺少”平行四边形”这一前提时，仅由对角线互相垂直不能判定菱形（如筝形的对角线也互相垂直，但它不一定是菱形）。必须再说明四边形是平行四边形，才能判定为菱形。 原因：条件遗漏。学生把菱形的性质”对角线互相垂直”直接反过来当作判定条件，却丢掉了”平行四边形”这个载体条件。菱形的判定定理中”平行四边形”四个字是关键，把它去掉命题就不成立。 易错点 2：把”对角线相等的四边形”误判为矩形 典例：对角线相等的四边形一定是矩形吗？ 错解：因为矩形的对角线相等，所以对角线相等的四边形是矩形。 正解：不一定。判定定理是”对角线相等的平行四边形是矩形”，仅知对角线相等、不知是否为平行四边形时不能判定（如等腰梯形的两条对角线也相等，但它不是矩形）。只有再满足”是平行四边形”这一条件，才能判定为矩形。 原因：条件遗漏 + 逆命题误用。学生把矩形的性质”对角线相等”错误地当成充分条件，忽略了”平行四边形”前提。性质与判定方向相反，不能把性质简单地反过来就当判定条件用。 易错点 3：用”斜边上的中线”时把”斜边”错当成直角边 典例：在 中，，，， 为 的中点，求 的长。 错解： 是 的中点， 是斜边上的中线，所以 。 正解：由勾股定理得斜边 。 为斜边 的中点， 是斜边上的中线，所以 。 原因：概念理解错误。学生记住了”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，但分不清哪条边是斜边，把直角边 当成斜边代入。解题时先找直角，斜边是直角所对的边，再套结论。 易错点 4：判定正方形时条件不完整，漏掉载体条件 典例：对角线相等且互相垂直的四边形一定是正方形吗？ 错解：对角线相等且互相垂直，所以四边形是正方形。 正解：不一定。判定定理是”对角线相等的菱形是正方形”或”对角线互相垂直的矩形是正方形”，都要求图形先满足”菱形”或”矩形”（平行四边形）这个载体条件。仅说对角线”相等且互相垂直”、未说明”互相平分”或”是平行四边形”，不能判定为正方形。 原因：条件遗漏。判定正方形必须同时具备”矩形的特征”与”菱形的特征”：学生只看”相等”“垂直”两个词，漏掉了”菱形”“矩形”（平行四边形）这个前提，导致条件不完整。 易错点 5：菱形面积公式漏乘 典例：菱形 的两条对角线长分别为 ，，求菱形的面积。 错解：菱形面积 。 正解：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，。 原因：记忆缺失。学生把菱形面积误记为”对角线乘积”而漏乘 。菱形的面积既可用”底 高”，也可用”对角线乘积的一半”，两式结果应一致，做题时可互相检验。 学科网（北京）股份有限公司 $