第1章 专题1 与正方形有关的常考模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

 

十字模型　　

在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连接BE.

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE(不需要证明)；

【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.

(1)求证：BE＝FG；

(2)连接CM.若CM＝1，则FG的长为2；

【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为9．

　

【探究】(1)证明：如答图，将GF平移到AH处，则AH∥GF，AH＝GF.∵GF⊥BE，∴AH⊥BE，∴∠ABE＋∠BAH＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABH＝∠BCE＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴∠BAH＝∠CBE.在△ABH和△BCE中，

∴△ABH≌△BCE(ASA)，∴AH＝BE，∴BE＝FG.

旋转半角模型　　

　①△AEF≌△AEG；　　　　②EF＝BE＋DF；

③△CEF的周长为2AB

(东营中考)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

2题图①　　　　　2题图②　　　　　　2题图③　

【初步尝试】

(1)如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系MN＝DM＋BN；

【类比探究】

(2)小明改变点的位置后，进一步探究：如图②，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；

【拓展延伸】

(3)其他小组提出新的探究方向：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由．

解：(2)MN＝BN－DM.理由如下：

如答图①，在BC上取BE＝MD，连接AE.∵AB＝AD，∠B＝∠ADM＝90°，∴△ABE≌△ADM，∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM.∵∠DAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAE＋∠DAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.在△EAN和△MAN中，∴△EAN≌△MAN(SAS)，∴EN＝MN.∵EN＝BN－BE，∴MN＝BN－DM.

2题答图①