第五章二次函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

第五章 二次函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识二次函数 1.1 二次函数的定义 一般地，如果两个变量 ， 之间的对应关系可以表示成 （，， 是常数，）的形式，那么称 是 的二次函数。 示例：，， 都是二次函数。 注意： 中，，， 是常数，且必须限定 ；当 时，函数不再是二次函数。 2. 二次函数的图象 2.1 二次函数 的图象 二次函数 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于 轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。二次函数 的图象也称为抛物线 。 示例：点 与 关于 轴对称，都在 的图象上；顶点 是图象的最低点。 2.2 二次函数 的图象 二次函数 的图象是一条抛物线。当 时，它的开口向上；当 时，它的开口向下。 图5-2：二次函数 与 的图象 示例： 的图象开口向上； 的图象开口向下。 2.3 二次函数 的图象 二次函数 的图象是一条抛物线，它的形状与二次函数 的图象形状相同，只是位置不同。将二次函数 的图象左右平移，就可以得到二次函数 的图象。 示例： 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到。 2.4 二次函数 的图象 一般地，平移二次函数 的图象就可以得到二次函数 的图象。因此，二次函数 的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标见下表： 项目 内容 开口方向 向上（）；向下（） 对称轴 直线 顶点坐标 图5-4：抛物线 到 的平移 示例： 的图象开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 2.5 二次函数 的图象 把二次函数 的右边配方，得 因此，二次函数 图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 示例：将 配方得 ，其对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 注意：确定对称轴与顶点坐标时，要把二次函数先配方成 的形式，其中顶点坐标 的符号容易出错。 3. 二次函数与一元二次方程 3.1 图象与 轴的交点与方程的根 二次函数 的图象与 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。与此相对应，一元二次方程 的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。二次函数 的图象与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 的根。 图5-12：二次函数图象与 轴交点的三种情况 示例： 的图象与 轴交于点 ，，因此方程 的根为 ，。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 抛物线 的对称轴与顶点 抛物线 的对称轴是 轴（即直线 ），顶点是原点 。 1.2 系数 对开口大小的影响 越大，抛物线 的开口越小； 越小，开口越大。 1.3 抛物线的对称性 抛物线是轴对称图形，关于它的对称轴对称。图象上纵坐标相等的两个点一定关于对称轴对称。 1.4 顶点与函数的最值 当 时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，二次函数在顶点处取得最小值；当 时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，二次函数在顶点处取得最大值。 1.5 图象与 轴交点个数与判别式的关系 抛物线 与 轴交点的个数可由判别式 判定： 有两个交点， 有一个交点， 没有交点。 1.6 图象与 轴的交点 抛物线 与 轴交于点 ，即常数项 是图象与 轴交点的纵坐标。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 待定系数法求二次函数表达式 先设出合适的表达式，再代入已知条件列方程组求待定系数：已知顶点坐标设顶点式 ；已知图象经过三点设一般式 ；已知图象与 轴两交点设交点式 。如已知顶点 且过另一点，设 代入求解。 2.2 配方法求对称轴、顶点与最值 将 配方为 ，则对称轴为直线 ，顶点为 ，最值为 （ 时取最小， 时取最大）。如 ，顶点 ，最小值为 。 2.3 利用图象求一元二次方程的近似根 先画出二次函数的图象，观察图象与 轴交点的位置确定根所在区间，再利用计算器逐步取值，取到十分位为止。如 的图象与 轴交点在 与 、 与 之间，用计算器取值得近似根 ，。 2.4 利用图象解一元二次不等式 先求图象与 轴的交点，再根据图象位于 轴上方还是下方确定不等式的解集。如 与 轴交于 ，，则 的解集为 或 ， 的解集为 。 3. 运算与作图小技巧 技巧 要点 示例 平移口诀 左右平移针对 ：“左加右减”；上下平移针对整体：“上加下减” 向左平移 、向上平移 得 配方速记 加”一次项系数一半的平方” 配成 ；二次项系数不为 先提公因式 画抛物线草图 先定开口方向、再定对称轴和顶点、最后取对称点连线 画 ：配方得 ，顶点 ，开口向上 判断增减性 以对称轴为界：开口向上时左减右增，开口向下时左增右减 在 时 随 增大而减小， 时增大 4. 常见考试模型 4.1 抛物线形拱桥 / 喷泉模型 公式：先建立适当的平面直角坐标系，设抛物线为顶点式 或一般式，代入已知点求出 ，再回答高度、跨度等问题。 限定：自变量的取值范围由实际问题决定（如水平距离 ）。 示例：如喷水口到水面距离 、最高点离水面 、落水点离池中心 ，建系后设 求解。 【使用提醒】建立坐标系的位置不同，抛物线的表达式不同，但求出的实际高度、距离结果相同。 4.2 营销利润 / 收入最值模型 公式：总利润 （单价 成本） 销量，把单价变化 代入后整理成二次函数 ，在顶点处求最值。 限定：单价、销量须为非负数，不合题意的根舍去。 示例：如单价每降 元多售 件，设降价 个 元，则利润 ，配方求最大值。 【使用提醒】问”定价为多少”时，求出 后要回代得到实际单价，不能直接把 当答案。 4.3 面积最值模型 公式：把矩形的边长用自变量 表示，面积 长 宽整理成二次函数，配方求顶点即得最大面积。 限定：解出的边长须为正，且不超过题目给定的范围，否则舍去。 示例：如篱笆长 一面靠墙围矩形，设垂直于墙的边为 ，则 ，配方得 时面积最大。 【使用提醒】自变量 的取值范围常由”边长非负”“篱笆总长固定”共同限定，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 4.4 竖直上抛 / 运动模型 公式：物体运动高度 与时间 的关系如 ，其中 是初速度， 是初始高度，最大高度在顶点处取得，落地即 。 限定：时间 ，负根舍去。 示例：如 ，顶点对应 ，最大高度 ；令 得 或 ，即 秒后落地。 【使用提醒】求”经过多少秒到达最高点”用顶点横坐标，求”何时落地”令 解方程并舍去负根。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参函数是”二次函数”，漏了二次项系数 典例：若 是二次函数，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解不完整。二次函数的定义包含两个缺一不可的条件：未知数的最高次数是 、二次项系数不为 。学生只盯着”次数”这个显性条件列式，把”系数不为 “当成理所当然，忽略了 时二次项 的系数变为 、函数退化为一次函数。凡由定义反求参数，都要回代检查二次项系数是否为 。 易错点 2：抛物线的左右平移方向记反 典例：把二次函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ________。 错解：填 （向右平移误写成 ）。 正解：向右平移 个单位长度，自变量 变为 ，所得表达式为 。 原因：对”左加右减”的理解停留在口诀层面，方向判断与直觉相反导致记错。左右平移改变的是自变量 本身，向右平移 个单位应把 换成 ；平移后开口方向、形状都不变，只有位置改变。可代入顶点坐标验证： 的顶点 右移 个单位到 ，对应 。 易错点 3：配方时提负号后完全平方的符号出错 典例：求二次函数 的顶点坐标。 错解：配方得 ，所以顶点坐标是 。 正解：，所以顶点坐标是 。 原因：提取负号后括号内的配方符号处理失误。二次项系数不为 时，应先提公因式再配方： 中 配成 ，而不是把一次项符号一起改写成 。根源是拆括号时没有回代验证， 展开是 ，与 的一次项符号相反。 易错点 4：求最值时忽略自变量的取值范围 典例：当 时，求二次函数 的最大值。 错解：，顶点坐标是 ，所以最大值为 。 正解： 的对称轴是直线 ，开口向上，在 范围内 随 的增大而减小，所以当 时 取得最大值，。 原因：忽略隐含条件。顶点横坐标 不在自变量的取值范围 内，顶点处的值不是该范围内的最值。凡是给定自变量取值范围求最值，都要先判断顶点是否在范围内：在范围内取顶点值，不在范围内则结合开口方向判断区间内的增减性，在端点处取最值。 易错点 5：把”有两个交点”误当 典例：若二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点，求 的取值范围。 错解：由 ，得 。 正解：图象与 轴有两个不同的交点，对应一元二次方程 有两个不相等的实数根，需 ，即 ，解得 。 原因：混淆”有交点”与”有两个不同交点”。图象与 轴的交点个数对应方程实数根的个数：有两个不同的交点对应 ，有一个交点（两交点重合）对应 ，没有交点对应 。学生把”两个不同交点”和”至少一个交点”混为一谈，把严格不等号写成含等号。 学科网（北京）股份有限公司 $