专题01 二次函数的图象和性质（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题01 二次函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 二次函数的定义（重） 题型2 二次函数的图象和性质（高频） 题型3 利用二次函数的增减性比较大小（高频） 题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴（重） 题型5 求二次函数在某区域的最值问题（难） 题型6 画二次函数的图象（重） 题型7 二次函数的图象和性质综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数的定义 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． ◆题型2 二次函数的图象和性质 4．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 5．（2026·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 6．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 ◆题型3 利用二次函数的增减性比较大小 7．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 9．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） ◆题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴 10．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ ◆题型5 求二次函数在某区域的最值问题 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 14．（2026·广东佛山·三模）二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 15．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图像开口向上，当时，的最大值是，则的值为________； （2）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，则的取值范围是________． ◆题型6 画二次函数的图象 16．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 17．（25-26九年级上·北京·期末）已知，二次函数 （，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … (1)求二次函数的解析式． (2)①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 18．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． (1)请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． (2)结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． ◆题型7 二次函数的图象和性质综合问题 19．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，随的增大而减小，求的范围； (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 20．（25-26九年级下·浙江舟山·阶段检测）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为8，求a的值； (3)若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 3．（2026·江苏苏州·三模）已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）二次函数中x，y的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 4 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和 二、填空题 6．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）当抛物线（b为常数），经过点时．抛物线的顶点坐标为________． 9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 10．（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 13．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数． (1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 0 1 2 3 ____ ____ (3)已知当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3，请直接写出的值． 14．（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 二次函数的定义（重） 题型2 二次函数的图象和性质（高频） 题型3 利用二次函数的增减性比较大小（高频） 题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴（重） 题型5 求二次函数在某区域的最值问题（难） 题型6 画二次函数的图象（重） 题型7 二次函数的图象和性质综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数的定义 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 3．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． ◆题型2 二次函数的图象和性质 4．（2026·北京门头沟·模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 5．（2026·河南新乡·模拟预测）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 6．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． ◆题型3 利用二次函数的增减性比较大小 7．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 8．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，且，则，，按从小到大排列为___________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再结合给定的横坐标范围，利用二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为，二次项系数， ∴，抛物线开口向上， 抛物线对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∵，即三个点的横坐标都在对称轴右侧，满足， ∴． 9．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为，抛物线开口向下，且点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，且， ∴． ◆题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴 10．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 11．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知，为抛物线上不重合的两点，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，由于点，的纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称．利用对称轴公式即可求出 m． 【详解】解：因为点，的纵坐标相等， 所以点，关于对称轴对称， 所以， 解得． 故答案为：3． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． ◆题型5 求二次函数在某区域的最值问题 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 14．（2026·广东佛山·三模）二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【答案】或7 【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间的三种位置关系分类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定的值. 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为的要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 15．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图像开口向上，当时，的最大值是，则的值为________； （2）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，则的取值范围是________． 【答案】 3 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，根据开口向上，确定给定区间内最大值的位置，代入列方程求解的值； （2）根据条件判断抛物线开口向下，找到关于对称轴的对称点，结合二次函数的性质列出不等式，求解的取值范围． 【详解】解：（1）对于二次函数，其图像的对称轴为直线， ∵图像开口向上， ∴， 又∵在中，距离对称轴更远， ∴函数在处取得最大值，将代入函数得， 由题意，解得； （2）∵二次函数的对称轴为直线， 又∵当，时，均满足， ∴抛物线开口向下，且与关于直线对称， 要满足条件，则有， 即，解得． ◆题型6 画二次函数的图象 16．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 17．（25-26九年级上·北京·期末）已知，二次函数 （，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … (1)求二次函数的解析式． (2)①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2) ①函数图象如下图： 或． 【分析】（1）将表格中的点的坐标代入 ，可得，，，即可得二次函数的解析式； （2）描点连线，画出函数图象即可；由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，即可得的取值范围；函数图象开口向上，由函数图象与轴的交点坐标，结合的取值范围，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴二次函数的解析式为 ． （2）解： 略 ， 开口向上，对称轴为直线，最小值为， 当时，随着增大，减小， 当时，随着增大，增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，， ∴当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 18．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． (1)请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． (2)结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． 【答案】(1)函数的图象如下： (2)①或；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据列表、描点、连线及折叠的性质可进行作图； （2）①根据（1）中函数图象可直接进行求解； ②由题意先得出将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数解析式为，然后找到直线与相交的临界点，进而问题可求解． 【详解】（1）解：根据函数可列表如下： x …… 0 1 2 4 ….. …… 5 0 0 5 ….. …… 5 0 0 5 …… 描点，连线，画出函数图象，略； （2）解：①由（1）中函数图象可知： 随增大而增大的自变量的取值范围为或； ②由（1）中图象可知：的顶点坐标为，开口向上， ∴将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数图象的顶点坐标为，开口向下，则该函数图象的解析式为， 当直线恰好过点时，即，解得：，此时直线与有3个交点， 当直线与所在图象相切时，则有： ，整理得：， ∴，解得：， 此时直线与有3个交点， ∴要使直线与有四个交点，则需满足． ◆题型7 二次函数的图象和性质综合问题 19．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，随的增大而减小，求的范围； (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)的取值范围是； (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，即时递减， 题目要求时，y随x增大而减小， ∴的取值范围是； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， 点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时， ∵在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴； 当在右侧时， ∵关于对称轴的对称点为，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴； 综上可知，或． 20．（25-26九年级下·浙江舟山·阶段检测）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为8，求a的值； (3)若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可解答； （2）根据抛物线的开口方向，分情况讨论即可； （3）先根据题意，得出是最小的函数值，再根据抛物线的开口方向，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， 该二次函数图象的对称轴为直线． （2）解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大． ，且，，， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得； 当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得，， 综上，a的值为或． （3）解：由题可知，是最小的函数值， 由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点， ，， 当时，， ， ， ∴关于关于的函数图像开口向下，当时取最大值， ∵， 随的增大而减小， 当时，， ∴； 当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去， 综上，的取值范围是． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标； ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 3．（2026·江苏苏州·三模）已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据二次函数平移规律和平移后过原点得到与的关系，再求出抛物线对称轴，最后分和两种情况，结合在中取得的最大值为计算的值． 【详解】解：将二次函数向右平移3个单位长度，得平移后解析式为， ∵平移后图象经过原点， ∴， ， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， ① 当时，抛物线开口向上，在中的最大值出现在离对称轴更远的端点， ∵，，， ∴时取得最大值， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得； ② 当时，抛物线开口向下，顶点在内，最大值在顶点处，即时取得最大值， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 5．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）二次函数中x，y的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 4 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象性质．利用表格中的数据，用待定系数法求出二次函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 即． 选取表格中两组对应值，代入中，得： 化简得：， 解得：， ∴ 二次函数解析式为，配方得． ∵， ∴ 抛物线开口向上，A错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴B错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，y随x的增大而增大， 又∵满足，因此当时，y随x的增大而增大，C正确； 令，得， 解得，即图象与x轴交点为和，不是和， ∴D错误． 二、填空题 6．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）当抛物线（b为常数），经过点时．抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线对称轴是关键． 由抛物线（b为常数）经过点求出抛物线的对称轴为直线，根据对称轴公式求出，得到二次函数解析式为，再把代入二次函数解析式即可得到顶点的纵坐标． 【详解】解：∵抛物线（b为常数）经过点． ∴抛物线的对称轴为直线，则，解得， ∴抛物线为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为： 9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 10．（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________． 【答案】或． 【分析】先求出二次函数（）的对称轴为，再根据的正负性分情况讨论函数在上的最小值情况，进而求解的值． 【详解】解：对于二次函数（）， 其对称轴公式为，这里，， 对称轴， 当时， 抛物线开口向上，在对称轴处函数取得最小值， 在内， 当时，取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件， 当时 抛物线开口向下，在上，离对称轴越远的点，函数值越小， 计算和到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ， 当时，函数取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件． 综上，的值为或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 13．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数． (1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 0 1 2 3 ____ ____ (3)已知当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3，请直接写出的值． 【答案】(1)，直线 (2)，见解析 (3)0或3 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线解答即可． （2）把，分别代入解析式求出其对应的函数值即可，利用列表、描点，连线画函数图象． （3）分当时，当即时；当时即，三种情况求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． （2）解：，画图象如下： ． （3）解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当即时； 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，，不满足，此时无解； 当时即；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，符合题意． 14．（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)2； (2)①；②或3； (3) 【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴是求出解； （2）①将点代入关系式可得解； ②分三种情况讨论：当，即时，，取最小值，再代入得出方程，求出解；当，即时，，取最小值，求出最小值，并判断；当时，，取最小值，然后代入求出方程的解； （3）设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线，再分三种情况讨论：当，即时，在对称轴的右侧，再根据最小值得出方程，求出解，并判断；当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，并判断；当，即时，在对称轴的左侧，然后代入得出方程，求出解，即可得出符合条件的关系式． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①把代入得：， ， 抛物线所对应的二次函数表达式为； ②当，即时，，取最小值， ， 解得或（舍去）， ； 当，即时，，取最小值， 此时最小值为，不符合题意； 当时，，取最小值， ， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或3； （3）解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ， 解得或，不符合题意； ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意； ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ， 解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为， 即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象和性质 常考题型·精准突破 题型1 二次函数的定义（重） 题型2 二次函数的图象和性质（高频） 题型3 利用二次函数的增减性比较大小（高频） 题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴（重） 题型5 求二次函数在某区域的最值问题（难） 题型6 画二次函数的图象（重） 题型7 二次函数的图象和性质综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数的定义 1．B 2．C 3． ◆题型2 二次函数的图象和性质 4．D 5．D 6．D ◆题型3 利用二次函数的增减性比较大小 7． 8． 9． ◆题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴 10． 11．3 12． ◆题型5 求二次函数在某区域的最值问题 13． 14．或7 15． 3 ◆题型6 画二次函数的图象 16． 【答案】(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 17． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2) ①函数图象如下图： 或． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴二次函数的解析式为 ． （2）解： 略 ， 开口向上，对称轴为直线，最小值为， 当时，随着增大，减小， 当时，随着增大，增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，， ∴当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 18． 【答案】(1)函数的图象如下： (2)①或；② 【详解】（1）解：根据函数可列表如下： x …… 0 1 2 4 ….. …… 5 0 0 5 ….. …… 5 0 0 5 …… 描点，连线，画出函数图象，略； （2）解：①由（1）中函数图象可知： 随增大而增大的自变量的取值范围为或； ②由（1）中图象可知：的顶点坐标为，开口向上， ∴将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数图象的顶点坐标为，开口向下，则该函数图象的解析式为， 当直线恰好过点时，即，解得：，此时直线与有3个交点， 当直线与所在图象相切时，则有： ，整理得：， ∴，解得：， 此时直线与有3个交点， ∴要使直线与有四个交点，则需满足． ◆题型7 二次函数的图象和性质综合问题 19． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)的取值范围是； (3)的取值范围是或 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，即时递减， 题目要求时，y随x增大而减小， ∴的取值范围是； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， 点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时， ∵在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴； 当在右侧时， ∵关于对称轴的对称点为，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴； 综上可知，或． 20． 【答案】(1)直线 (2)或 (3) 【详解】（1）解：， 该二次函数图象的对称轴为直线． （2）解：由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大． ，且，，， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得； 当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，y取得最大值，此时，， ， 解得，， 综上，a的值为或． （3）解：由题可知，是最小的函数值， 由（1）可知，该二次函数图象的对称轴为直线， 故当时，抛物线开口向上，此时，点为顶点， ，， 当时，， ， ， ∴关于关于的函数图像开口向下，当时取最大值， ∵， 随的增大而减小， 当时，， ∴； 当时，抛物线开口向下，无最小值，不符合题意，舍去， 综上，的取值范围是． 21． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．B 3．C 4．D 5．C 二、填空题 6． 7． 8． 9．2 10．或． 三、解答题 11． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 12． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 13． 【答案】(1)，直线 (2)，见解析 (3)0或3 【详解】（1）解：根据题意，得， 故抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． （2）解：，画图象如下： ． （3）解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当即时； 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，，不满足，此时无解； 当时即；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，符合题意． 14． 【答案】(1)2； (2)①；②或3； (3) 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①把代入得：， ， 抛物线所对应的二次函数表达式为； ②当，即时，，取最小值， ， 解得或（舍去）， ； 当，即时，，取最小值， 此时最小值为，不符合题意； 当时，，取最小值， ， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或3； （3）解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ， 解得或，不符合题意； ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意； ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ， 解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为， 即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $