第五章 二次函数（复习课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 复习课件 北师大版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 基础达标 能力提升 素养目标 02 掌握核心技能 掌握二次函数图象的平移规律、待定系数法求函数解析式的三种方法，熟练运用二次函数的图象与性质解决求值、比较大小、最值计算等基础题型，掌握二次函数实际应用的解题步骤。 01 理解核心概念 理解二次函数的定义、三种解析式形式的区别与联系，理解抛物线的开口、对称轴、顶点、增减性、最值等核心概念，明晰二次函数与一元二次方程、不等式的内在关联。 03 提升解题能力 提升数形结合解题能力、含参问题分析能力和实际问题建模能力，能精准区分不同题型的解题思路，规避常见解题误区，规范解题步骤。 04 体验数学思想 深度体验数形结合、分类讨论、转化与化归、建模四大数学思想，培养用函数观点分析问题、解决问题的思维习惯，提升数学核心素养。 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 二次函数图象的平移与参数变化的关联；含参数二次函数的分类讨论问题；二次函数在实际场景中的最值应用（自变量取值范围限制）；二次函数与几何图形的综合问题。 二次函数的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值问题；二次函数与一元二次方程的综合应用。 4 知识图谱 二次函数 定义 解析式 应用 顶点式：y = a(x－h)2+k(a≠0) 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0) 图象和性质 开口 对称轴 增减性 最值 顶点坐标 抛物线的平移关系及变化规律 二次函数与一元二次方程 实际应用 面积 利润 抛物线型问题 （如拱桥） 先构建二次函数模型 再利用图象性质求解 考点串讲 ——1：二次函数的定义与解析式 1.二次函数定义 是二次函数的一般形式 二次函数解析式为整式， 自变量x的最高次数是2， 二次项系数，一次项、常数项可省略。 y = a x² + b x + c 自变量 函数解析式的二次项系数 函数解析式的一次项系数 函数解析式的常数项 形如的函数叫做二次函数。 6 考点串讲 ——1：二次函数的定义与解析式 2. 三种解析式确定方法对比 解析式形式 表达式 适用条件 核心优势 一般式 已知任意3个图象上的点坐标 通用形式，可求所有参数 顶点式 已知顶点坐标、对称轴、最值 直接读出顶点、对称轴 交点式 已知抛物线与x轴的两个交点 快速求解解析式，简化计算 7 4. 利用配方法将一般形式转化为顶点式过程如下： 考点串讲 ——1：二次函数的定义与解析式 3.二次函数一般式与顶点式 解析式的转化： 一般式可通过配方转化为顶点式；交点式展开可化为一般式，所有形式本质互通。 第一步：提二次项系数； 第二步：加上并减去一次项系数的一半的平方； 第三步：写成完全平方形式； 第四步：写成顶点式形式。 ＝ ＝ ＝ ＝ 8 考点串讲 ——2：二次函数的图象与性质 二次函数 图象 开口方向 对称轴 顶点 坐标 a>0 a<0 a>0 a<0 y = ax2 y = ax2+k y = a(x－h) 2 y = a(x－h)2+k 1.解析式为 二次函数的图象与性质 向上 向下 x=0 （y轴） 直线 x=h (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 9 考点串讲 ——2：二次函数的图象与性质 2.二次函数图象为抛物线，核心性质由参数决定， 参数/性质 开口方向 最值 对称轴 顶点坐标 开口向上 开口向下 顶点处取最小值 顶点处取最大值 10 考点串讲 ——2：二次函数的图象与性质 2.二次函数 性质 参数/性质 增 减 性 对称性 在对称轴x=的右边(x＞) y随x的增大而增大 y随x的增大而减少 在对称轴x=的左边(x ＜ ) 在对称轴x=的右边(x＞) y随x的增大而减少 y随x的增大而增大 在对称轴x=的左边(x ＜ ) 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 11 考点串讲 ——2：二次函数的图象与性质 3. 二次函数二次项系数a的作用： (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下. 4、b的符号共同决定对称轴的位置 （2）的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大. 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边． 左同右异 12 考点串讲 ——2：二次函数的图象与性质 6.利用二次函数的对称性解决问题 1)抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同， 横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3)二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称； 二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 5.二次函数二次项系数c的作用 c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 13 考点串讲 ——3：二次函数图象的平移变换 y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移 | k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 1.抛物线的平移关系及变化规律 平移过程中二次项系数a不变. 简记为 上下平移： 向上平移k个单位得， 向下平移反之； 2. 左右平移： 向左平移h个单位得， 向右平移反之； 3. 综合平移： 结合顶点式，直接对顶点进行坐标变换即可。 14 考点串讲 ——4：二次函数与一元二次方程、不等式 1. 交点与方程根的关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 15 考点串讲 ——4：二次函数与一元二次方程、不等式 2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴上方时对应的自变量的取值范围 函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴下方时对应的自变量的取值范围 x<或x>  <x< 16 考点串讲 ——4：二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与 x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 x<x1或x>x2 x1<x<x2 有一个交点 x≠x1或x≠x2 无解 无交点 全体实数 无解 17 考点串讲 ——4：二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与 x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 有一个交点 无交点 x1<x<x2 无解 无解 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 18 考点串讲 ——5：二次函数的实际应用 1.二次函数解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 19 考点串讲 ——5：二次函数的实际应用 3.二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： ⑴建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 ⑵从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 ⑶利用待定系数法求函数表达式。 ⑷运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 2.二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 20 考点串讲 ——5：二次函数的实际应用 4.二次函数与等腰（或直角）三角形的存在性问题： ⑴明确构成三角形的三个点； ⑵利用两点间的距离公式表示出三边的距离； ⑶若构成等腰三角形，则利用两两相等建立方程求解；若构成直角三角形，则利用勾股定理建立方程求解。 5.二次函数与平行四边形的存在性问题： ⑴明确构成平行四边形的四个点及其相应的对角线； ⑵利用相应的对角线的端点坐标结合中点坐标公式建立方程求解。 21 题型全解 题型01 二次函数定义的应用 例1.若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠2 解：由题意得：a﹣2≠0， 解得：a≠2， 例2.（2025春•丰城市校级期中）若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　　 ． 解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2， 解得：m＝2， D 2 22 题型全解 方法总结 二次函数的判断方法： （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0． （4）也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将函数化为一般形式． 题型01 二次函数定义的应用 题型全解 题型02 二次函数解析式的确定（待定系数法） 例4.已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式． 解：设解析式为y＝a（x-h）2+k ∵抛物线的顶点为（﹣1，﹣3）， ∴二次函数解析式：y＝a（x+1）2﹣3， 将（0，﹣5）代入得：a﹣3＝﹣5， 解得：a＝﹣2， 则抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5． ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5． 设解析式时用顶点式y＝a（x-h）2+k 24 例5.（2026襄阳期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是，与轴交于， 两点，与轴交于点，点的坐标是 . （1）求点，，的坐标，并根据图象直接写出当 时 的取值范围； 解：把点 的坐标代入， 得 , 解得 ， . ，抛物线的对称轴为直线 . 又， ， 对于， 当 时， ， . 根据题图可知， 当时， . 题型全解 题型02 二次函数解析式的确定（待定系数法） （2）平移该二次函数的图象，使点恰好落在点 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 例5.（2026襄阳期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是，与轴交于， 两点，与轴交于点，点的坐标是 . （1）求点，，的坐标，并根据图象直接写出当 时 的取值范围； 题型全解 题型02 二次函数解析式的确定（待定系数法） （2）平移该二次函数的图象，使点恰好落在点 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式. （2）解： , , 点平移到点 ,抛物线应向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度， 平移后抛物线的表达式为 . 题型全解 题型02 二次函数解析式的确定（待定系数法） 例5.如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得，∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， D 27 例6.在二次函数y=ax2+bx+c 中，x 与y 的几组对应值如下表所示，求二次函数的表达式。 x … 0 1 2 … y … －2 1 －2 … 题型全解 题型02 二次函数解析式的确定（待定系数法） 解：根据表格数据可得，二次函数图象的对称轴是直线x＝-＝1，∴顶点坐标为(1，1)。 ∴可设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋1。 ∵图象过点(0，－2)， ∴－2＝a(0－1)2＋1，解得a＝－3。 ∴二次函数的表达式为y＝－3(x－1)2＋1。 题型全解 题型02 二次函数解析式的确定（待定系数法） 例7.已知抛物线 y=a(x-h)2+k 是由抛物线y=-x2向上平移2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度得到的。 (1)求出 a，h，k 的值。 （1）解：∵抛物线y=- x2 向上平移2 个单位长度， 再向右平移 1 个单位长度， 平移后得到的抛物线是y=- (x-1)2+2， ∴ a=- ，h=1，k=2。 (2)在同一平面直角坐标系中，画出 y=a(x-h)2+k 与y=- x2 的图象。 （2）解：函数 y=-(x-1)2+2 与y=-x2 的图象如所示。 题型全解 方法总结 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： 1.设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为。 2.带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 3.解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 反带：将未知系数反带入函数解析式。 题型02 二次函数解析式的确定（待定系数法） 例8.已知函数y=(m+2)xm2+m-4 是关于x的二次函数。 (1)求满足条件的m的值。 （1）解：由题意，得 m2+m- 4 = 2 ， ∵m+ 2 ≠ 0， 解得m=2 或m=-3。 ∴当m=2 或m=-3 时， 该函数为二次函数。 (2)当m为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （2）解：若其图象有最低点， 则抛物线的开口向上， ∴m+2>0，即m>-2。 ∴m=2。 ∵这个最低点为抛物线的顶点， ∴当m=2时，其图象有最低点， 最低点的坐标为(0，0)。 当x>0 时，y 随x 的增大而增大。 (3)当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 题型全解 题型03 二次函数的图象与性质应用 例8.已知函数y=(m+2)xm2+m-4 是关于x的二次函数。 解题秘方： 按对称轴的左、右两侧， 分x>0 和x<0 两种情况讨论函数的增减性。 (1)求满足条件的m的值。 (2)当m为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：若函数有最大值，则抛物线的开口向下， ∴m+2<0，即m<-2。∴m=-3。 ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标， 顶点坐标为(0，0)， ∴当m=-3 时，函数有最大值0。 当x>0 时，y 随x 的增大而减小。 题型全解 题型03 二次函数的图象与性质应用 题型全解 题型03 二次函数的图象与性质应用 例9 .如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴，∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线， 由得：， 33 题型全解 题型03 二次函数的图象与性质应用 例9 .如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵，∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误；综上所述，正确的有①③，共个， B 34 题型全解 题型03 二次函数的图象与性质应用 例10（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点， 有，解得， 则， 抛物线“开口大小”为， 35 题型全解 题型03 二次函数的图象与性质应用 例11.（2026四川乐山中考）已知二次函数 有下列结论： ①二次函数图象与y轴的交点坐标是(0，c)； ②二次函数图象的顶点坐标是 ③若二次函数图象经过A(-1,y₁),B(3,y₂两点，且 则(b>-2; ④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m-n的值与c无关.其中，正确的结论有 ( ) A.1 B.2个 C.3个 D.4个 解：①当x=0时, ， 则二次函数图象与y轴的交点坐标是(0，c),故①正确. 顶点坐标为 故②错误 抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小. 36 题型全解 题型03 二次函数的图象与性质应用 例11.（2026四川乐山中考）已知二次函数 有下列结论： ①二次函数图象与y轴的交点坐标是(0，c)； ②二次函数图象的顶点坐标是 ③若二次函数图象经过A(-1,y₁),B(3,y₂两点，且 则(b>-2; ④当1≤x≤2时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m-n的值与c无关.其中，正确的结论有 ( ) A.1 B.2个 C.3个 D.4个 又∵二次函数图象经过A(-1,y₁),B(3,y₂)两点,且 对称轴是直线x= ∴b<-2,故③错误. ④∵当1≤x≤2时, 二次函数的最大值为m，最小值为n， 不妨设当x=x₁时，取最大值m； 当x=x₂时，取最小值为 B m-n的值与c无关，故④正确. 37 题型全解 方法总结 1. 由判断开口，由公式求对称轴、顶点和最值； 2. 函数值大小比较： 开口向上，距对称轴越远值越大； 开口向下，距对称轴越远值越小；  3.判断二次函数的增减性的技巧： 以抛物线的对称轴为界，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小。 题型03 二次函数的图象与性质应用 2.活学巧记 曲线名叫抛物线， 线轴交点是顶点，顶点纵标是最值， 如果要画抛物线，描点平移两条路。 提取配方定顶点，平移描点皆成图。 列表描点后连线，五点大致定全图。 若要平移也不难，先画基础抛物线， 顶点移到新位置，开口大小都不变。 题型全解 题型04 二次函数的图象与系数的关系 例12.（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解：根据题意画出函数的图像，如图所示：  ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， C 39 例13.（2026四川内江中考） 如图，二次函数 的图象经点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 ( ) A. c>0 B.4a-2b+c<0 C. D.图象的对称轴是直线x=2 题型全解 题型04 二次函数的图象与系数的关系 解：由图象可得，图象与y轴交于负半轴， 则c<0，故选项A错误，不符合题意; 当x= -2时,y=4a-2b+c<0,故选项B正确,符合题意; 图象与x轴有两个交点, 则 故选项C错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线 故选项D错误，不符合题意.故选.   B 40 题型全解 方法总结 二次函数图象的特征与a，b，c的关系 题型04 二次函数的图象与系数的关系   字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 题型全解 题型05 二次函数图象的变换 例14.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 解：将函数解析式化为顶点式，得： ， 将函数向右平移1个单位，向上平移2个单位， 得到新抛物线为． D 42 题型全解 题型05 二次函数图象的变换 例15.抛物线y1可以由抛物线y（　　）得到． A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 解：∵y1， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1）， ∵抛物线y的顶点坐标是（0，0）， ∴平移的方法可以是： 将抛物线y向左平移1个单位，再向下平移1个单位． D 43 例16. 已知抛物线,顶点为 ，将沿水平方向向右平移 个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点,若 ,则 等于 ( ) A A. B. C. 或 D. 或 解：抛物线沿水平方向向右平移 个单位长度得到抛物线 ,则,, 易得点的横坐标为 ，代入，得 , ,若 ，则易得 是等边三角形， .过点作于点 ，则 .易知 ， ，，解得 或 , . 题型全解 题型05 二次函数图象的变换 题型全解 方法总结 上下平移，若原函数为 （1）其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． （2）通常上述变换称为上加下减，或者上正下负． 左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形． 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负． 题型05 二次函数图象的变换 题型全解 题型06 二次函数与一元二次方程 例17.如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，∴,∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 与x轴的一个交点在2、3之间，∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴， ∴，∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． B 46 例18.抛物线 y=x2-4x-m2+1(m是常数)与坐标轴交点的个数为( ) A. 0 B. 1 或 2 C. 2 或 3 D. 3 题型全解 题型06 二次函数与一元二次方程 解： 令y ＝ x2-4x-m2+1 ＝ 0， 则Δ ＝(-4)2-4×1×(-m2+1)=4m2+ 12>0， ∴抛物线与x 轴有2 个交点。 当x=0时，y=-m2+1。 若m=±1，则抛物线与y 轴交于原点， 此时抛物线与坐标轴有2 个交点； 若m≠ ±1，则抛物线与y 轴交于点(0， -m2+1)， 此时抛物线与坐标轴有3 个交点。 C 例19. 下表是二次函数的自变量与函数值 的若干组对应值： … 0.7 0.8 0.9 1.0 … … 0.30 0.05 … 则下面是关于的方程 的一个近似根（精确到 ）的是( ) C A. 3.0 B. 3.1 C. 3.2 D. 3.3 题型全解 题型06 二次函数与一元二次方程 题型全解 方法总结 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 题型06 二次函数与一元二次方程 2.估计一元二次方程的根的方法： 对于y=ax2+bx+c(a ≠ 0)，如果ax12+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1 与x2 之间存在一个根， 取x3=。若ax32+bx3+c>0，则取x4=；若ax32+bx3+c<0，则取x4=。这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止。 题型全解 题型07 二次函数实际最值应用 例20：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； C 50 题型全解 题型07 二次函数实际最值应用 例21.（2024四川自贡中考）九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m ,OE=1.4m ,OB=6m ,OC=5m ,OD= 3m ，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 m². 解：设矩形菜地在射线OA上的边长为x m. 当x≤8时,S=x· 当x=8时，S最大，最大面积为46.4m². 当x>8时, 在x>8的范围内，S均小于46.4， 所以该菜地的最大面积为46.4m².故答案为46.4. 46.4 51 题型全解 题型07 二次函数实际最值应用 例22. （2026 山东德州中考）某水果店单件水果售价y₁(元)与销售月份x满足一次函数关系 单件水果进价y₂(元)与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为(6，3)并且经过 (3，12)，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为 元. 解：由题意设 把(3,12)代入得9a+3=12,解得a=1, ∴y₂= 设单件水果利润为w元， ∴ .当x=5时，单件水果利润最大，为7元. 7 52 题型全解 方法总结 1.实际问题先设变量，根据题意列二次函数解析式； 2.必须确定自变量实际取值范围； 3.最值求解：顶点在取值范围内取顶点最值，不在范围内取区间端点最值。 4.当顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，最值不能在顶点处取 5.利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象与性质去解决问题。用二次函数解决实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系外，还要符合实际意义。 题型07 二次函数实际最值应用 针对训练 1.下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 解：A为一次函数，B为分式函数，D化简后为一次函数，只有C符合二次函数定义。 2.已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． C B 3. （2026杭州期中）若抛物线 向右平移2个单位长度，所得的抛物线的顶点在第一象限，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. B 4.（2025福建）已知点, 在抛物线上，若 ，则下列判断正确的是( ) A A. B. C. D. 针对训练 针对训练 6.抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．  解： 抛物线， 对于点 ，有； 对于点 ，有； 对于点 ， 有； ， ，即 ． D 针对训练 7.已知二次函数，当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）。 解：，开口向下，对称轴， 对称轴左侧y随x增大而增大， 增大 8.一个二次函数 的图象的顶点在 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是___________________________． （答案不唯一） 解：∵图象的顶点在 轴正半轴上， ∴ 抛物线为 ，且k＞0 ∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的 ∴a＜0 ∴ 抛物线解析式可为: 9.（期中·广州白云区） 如图是二次函数y＝ax2+bx+c 的部分图象， 由图象可知不等式ax2+bx+c ≥ 0 的解集是_________。 －1≤x≤5 针对训练 解：由二次函数y＝ax2+bx+c 的图象可得： 抛物线对称轴是x=2，与x轴的一个交点为（5,0） ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0） ∵抛物线开口向下， ∴二次函数y＝ax2+bx+c ＞0的图象部分在x轴上方 ∴不等式ax2+bx+c ≥ 0 的解集是：－1≤x≤5 针对训练 10 .已知二次函数过、、三点，求二次函数解析式。 解：∵已知抛物线与x轴两交点 、， ∴ 抛物线对称轴为：x==2 设抛物线 把代入得：， 解得: ∴解析式为 方法一 针对训练 10 .已知二次函数过、、三点，求解析式。 解：∵已知抛物线与x轴两交点 、， ∴ 设交点式， 把代入得：， 解得: ， ∴解析式为 。 解：设解析式为 将点、、代入得： 解得： ∴解析式为 。 方法二 方法三 针对训练 11.求二次函数在范围内的最值。 解：，开口向上，对称轴 ∴顶点在范围内 函数最小值：； 端点取值：时， 时， ∴ 最大值15，最小值-3。 12.（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 针对训练 解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线， 且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时， 函数值． ， 故D正确，不符合题意； B 针对训练 13.若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象的开口向下，与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项A符合， A 针对训练 14.如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：如图所示：若， 则二次函数图像在一次函数图像的下面， 此时x的取值范围是：． A 针对训练 15.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象 （无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． （1）解：由题意，根据表格数据，设， ∴将代入得， ∴， ∴抛物线解析式为，即， 把代入得：； （2）解：根据表格中数据，描点、连线得：如图所示： 针对训练 15.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象 （无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． （3）解：根据图象，当时， y的取值范围为． ． 针对训练 16.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度 OA 为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB 为 m. 解：由题意得，OA=1.6m, ∴A(0,1.6). 将A(0,1.6)代入 得 解得 令y=0,得 2.5=0, 解得 ∴OB=8m 8 针对训练 17.（2026山东德州中考）已知二次函数 m为常数. (1)当m=0时，求该抛物线的对称轴； (2)若当x>0时，y随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点A，且点A 到x轴的距离为21，求点A 到对称轴的距离. 解：(1)当m=0时,二次函数为: ∴抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当x>0时，y随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小， 解得 ∴m的取值范围为 针对训练 17.（2026山东德州中考）已知二次函数 m为常数. (1)当m=0时，求该抛物线的对称轴； (2)若当x>0时，y随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点A，且点A 到x轴的距离为21，求点A 到对称轴的距离. (3)∵抛物线 的对称轴为直线： 而该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21， 当 时， 即 解得 或 ∴点A 到对称轴的距离为 当 时， 即 易知方程无解. 综上，点A 到对称轴的距离为3 18.（中考·内江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20 元，某商家用5 000 元购进的猪肉粽盒数与3 000 元购进的豆沙粽盒数相同。在销售中，该商家发现猪肉粽每盒的售价为52 元时，可售出180 盒；每盒售价提高1 元时，少售出10 盒。 (1)求这两种粽子每盒的进价； (2)设猪肉粽每盒的售价为x 元(52≤x≤70)，y 表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值。 针对训练 （1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为(n＋20)元。 由题意得 ＝ 解得n＝30。 经检验：n＝30是原方程的解且符合题意， ∴n＋20＝50。 答：猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元。 18.（中考·内江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20 元，某商家用5 000 元购进的猪肉粽盒数与3 000 元购进的豆沙粽盒数相同。在销售中，该商家发现猪肉粽每盒的售价为52 元时，可售出180 盒；每盒售价提高1 元时，少售出10 盒。 (1)求这两种粽子每盒的进价； (2)设猪肉粽每盒的售价为x 元(52≤x≤70)，y 表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值。 （2）解：由题意得 y＝(x－50)[180－10(x－52)] ＝－10x2＋1 200x－35 000 ＝－10(x－60)2＋1 000。 ∵52≤x≤70，－10<0， ∴当x＝60时，y取得最大值，为1 000。 针对训练 单元总结/易错复盘 知识点回顾 （1）二次函数三种解析式的适用场景与相互转化； (2)对抛物线图象的影响； (3)抛物线的平移规律、增减性与最值； (4)二次函数与方程、不等式的关联； (5)二次函数实际建模与最值求解。 方法与数学思想 解题方法：待定系数法、距离比较法、配方求最值、区间最值分析法、建模解题法。 数学思想：数形结合（图象性质解题）、分类讨论（含参问题、区间最值）、转化思想（解析式互化、函数与方程转化）、建模思想（实际问题函数化）。 高频易错提醒 (1)忽略二次项系数的隐含条件； (2)平移规律记反，混淆左右平移的加减； (3)求实际最值时，忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值； (4)判断函数值大小时，混淆开口方向与距离的关系； (5)解方程求解析式时计算失误，未检验结果。 72 北师大版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $