13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 知识清单 2026-2027 学年人教版八年级数学上册

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 知识清单 2026—2027 学年 八年级数学上册 人教版（2024） 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 知识地图 中线：顶点与对边中点的连线；3 条中线交于重心 角平分线：内角平分线与对边的交点到顶点的线段；3 条交于一点 高：顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段 共同点：都是线段；都有 3 条；都与三角形的一个顶点和对边有关 中线性质：BD = DC = BC；中线把三角形分成面积相等的两部分 高的位置：锐角：3 条在内部；直角：2 条是直角边；钝角：2 条在外部 ★易错1：三者不能互相代替：中线平分「边」、角平分线平分「角」 ★易错2：钝角三角形的高可落在边的延长线上，要会作延长线 注意：本节只讲三条线段，不含内角和、外角、全等 一、学习目标与重难点 【学习目标】① 理解三角形的中线、角平分线、高的定义，会在图形中画出并识别这三种线段；② 掌握三角形的三条中线交于一点（重心）、中线平分面积等基本性质；③ 掌握锐角、直角、钝角三角形中三条高的位置规律；④ 能区分中线、角平分线、高，体会不同线段在三角形中的作用。 重点：三种线段的定义与画法；三条中线交于重心；三角形高的位置规律。 难点：① 钝角三角形的高（需延长对边，垂足落在形外）；② 在组合图形中准确识别「哪条边上的高 / 中线 / 角平分线」；③ 中线平分面积的说理。 关键：记住三句话——中线平分边、角平分线平分角、高体现垂直；画高时必须「顶点 ↔ 对边所在直线」，必要时作延长线。 二、三种线段的概念 三角形中，从一个顶点出发生成的三种重要线段如下（都以 △ABC 中从顶点 A 出发为例）： 图 1 中线、角平分线、高（以顶点 A 为例） 名称 定义 关键关系 交点 中线 连接三角形的一个顶点与它所对的边的中点的线段 BD = DC = BC 三条中线交于一点（重心） 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段 ∠BAE = ∠EAC = ∠BAC 三条角平分线交于一点 高 从一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 AD ⊥ BC（∠ADC = 90°） 三条高所在直线交于一点 ★三个关键区别： 中线平分的是「边」（找中点）；角平分线平分的是「角」；高体现的是「垂直」。一般三角形中，三者不能互相代替。 它们都是线段：中线、角平分线一定在三角形内部；高的位置与三角形的类型有关（见本清单第四部分）。 1. 三角形的中线 连接 △ABC 的顶点 A 与它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做 △ABC 的边 BC 上的中线。一个三角形有 3 条中线。 中线的基本性质： ① 分点性质：D 是 BC 的中点，所以 BD = DC = BC； ② 面积性质：因为 △ABD 与 △ACD 的底 BD、DC 相等、高相同，所以 S△ABD = S△ACD，即中线把三角形分成面积相等的两部分； ③ 重心：三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。 图 2 中线平分面积；三条中线交于重心 G 2. 三角形的角平分线 画 △ABC 中 ∠A 的平分线 AD，交 ∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫做 △ABC 的角平分线。一个三角形有 3 条角平分线。 注意：三角形的角平分线是「线段」，它的一端是顶点、另一端在角所对的边上；而角的平分线是「射线」，两者不同。 三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于三角形内的一点。 角平分线只平分「角」（∠BAD = ∠DAC = ∠BAC），一般不平分对边。 3. 三角形的高 从 △ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫做 △ABC 的边 BC 上的高（简称三角形的高）。一个三角形有 3 条高。 ★两个容易忽略的字： ① 是向对边「所在直线」作垂线，所以垂足不一定落在线段 BC 上，也可能落在 BC 的延长线上（钝角三角形就是如此）； ② 高是「顶点到垂足」的线段，画图时要标明垂直记号（直角符号）和垂足字母。 三、三条中线的交点——重心 任意一个三角形的三条中线都相交于三角形内部的一点，这一点叫做三角形的重心。 要点 内容 定义 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 位置 重心一定在三角形内部 识别方法 先找出两条中线的交点，第三条中线一定也经过此点 面积意义 重心与三个顶点相连，把三角形分成面积相等的三个小三角形 说明：本节只需了解「中线交于一点叫重心」及其在图形中的识别；重心到顶点与到对边中点的比、内心、垂心等内容不属于本课时要求。 四、三角形高的位置规律 三角形的高不一定都在三角形内部，它的位置与三角形的形状有关，分三种情形： 图 3 锐角、直角、钝角三角形中三条高的位置 三角形类型 三条高的位置 三条高（所在直线）的交点 锐角三角形 三条高都在三角形内部 交点在三角形内部 直角三角形 两条高恰好是两条直角边，另一条高在内部（斜边上的高） 交点是直角顶点 钝角三角形 有两条高在三角形外部，它们的垂足落在对边的延长线上 交点在三角形外部 ★作图要点： ① 作高前先判断三角形类型，钝角三角形要先把对边「延长」（画虚线）； ② 顶点与垂足必须配套：A 边上的高，垂足要落在 A 所对的边上；「边」和「高」要对应正确，不能错配。 ③ 直角三角形求面积时，两条直角边互为「底和高」，可直接相乘再除以 2。 五、典型方法与例题（近三年期末真题） 以下例题选自 2024—2025 学年各地八年级上学期期末（阶段性）真题（人教版），按「基础—提升—拓展」三层编排，代表当下考查方向与难度。 基础题（识别与作图） 【例 1】（2024·湖南长沙期末）如图，在 △ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，则下列结论中正确的是（　　） A. AD = BD　B. ∠ACD = ∠BCD　C. CD ⊥ AB　D. ∠A = ∠B 图 4 CD 是 AB 边上的中线 解：选 A。 因为 CD 是 AB 边上的中线，所以 D 是 AB 的中点，AD = BD，A 正确； B 项说的是 CD 平分 ∠C，那是角平分线的性质，中线不具备，B 错； C 项说的是 CD 垂直于 AB，那是高的性质，中线一般不与对边垂直，C 错； D 项成立需要「等边对等角」，仅由中线不能推出，D 错。故选 A。 提升题（性质计算） 【例 2】（2024·山东青岛期末）如图，AD 是 △ABC 的中线，且 △ABD 的周长比 △ACD 的周长大 3。已知 AB = 8，则 AC 的长为（　　） A. 3　B. 5　C. 8　D. 11 解：选 B。 因为 AD 是中线，所以 BD = DC，AD 是公共边。 △ABD 的周长 = AB + BD + AD；△ACD 的周长 = AC + DC + AD。 两者相减：(△ABD 周长) − (△ACD 周长) = AB − AC = 3。 所以 AC = AB − 3 = 8 − 3 = 5，故选 B。（结论：中线把三角形分成两个小三角形，其周长之差等于「另外两边之差」。） 【例 3】（2025·江苏南京期末）下列说法中，正确的是（　　） A. 三角形的角平分线是一条射线 B. 三角形的中线是一条线段，且一定在三角形内部 C. 三角形的三条高都在三角形内部 D. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫重心，一定在三角形外部 解：选 B。 A 错：三角形的角平分线是线段（角的平分线才是射线）； B 对：中线是线段，且一定在三角形内部； C 错：只有锐角三角形的三条高都在内部，钝角三角形有两条高在外部； D 错：重心在三角形内部，不在外部。故选 B。 拓展题（面积与综合应用） 【例 4】（2024·四川成都期末）如图，AD 是 △ABC 的中线，若 S△ABC = 24，则 S△ABD =（　　） A. 6　B. 8　C. 12　D. 24 解：选 C。 因为 AD 是中线，所以 BD = DC，两个小三角形 △ABD、△ACD 等底。 又它们过 A 的高相同，所以 S△ABD = S△ACD。 所以 S△ABD = S△ABC = ×24 = 12，选 C。 【例 5】（2025·浙江温州期末）在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的高，若 BC = 8，AD = 5，则 △ABC 的面积是（　　） A. 13　B. 20　C. 26　D. 40 图 5 AD 是 BC 边上的高 解：选 B。 因为 AD 是 BC 边上的高，所以 AD ⊥ BC，AD 就是底 BC 上的高。 S△ABC = × BC × AD = × 8 × 5 = 20，选 B。 【例 6】（2025·安徽合肥期末）如图，在 3×3 的方格纸中，△ABC 的三个顶点 A、B、C 都是格点，则 △ABC 的重心是图中的（　　） A. 点 D　B. 点 E　C. 点 F　D. 点 G 图 6 格点 △ABC 与网格中的四个点 D、E、F、G 解：选 A。 以左下角格点为原点建立坐标系，则 A(0,0)、B(1,3)、C(2,0)。 BC 的中点为 (1.5, 1.5)，所以中线从 A 出发经过点 D(1,1)（图中虚线即三条中线）。 重心是三条中线的交点：横坐标 = (0+1+2)÷3 = 1，纵坐标 = (0+3+0)÷3 = 1，所以重心为 (1,1)，即点 D。 所以选 A。 【例 7】（2024·江苏苏州期末）如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AD 的中点，若 S△ABC = 36 cm2，则 S△ABE =（　　） A. 9 cm2　B. 12 cm2　C. 18 cm2　D. 27 cm2 解：选 A。 因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 S△ABD = S△ABC = ×36 = 18（cm2）。 因为 E 是 AD 的中点，所以 BE 是 △ABD 中 AD 边上的中线， 所以 S△ABE = S△ABD = ×18 = 9（cm2）。 所以选 A。（连续用两次「中线平分面积」即可逐步递推。） 【例 8】（2025·河南洛阳期末）在 △ABC 中，∠BAC = 80°，AD 是 △ABC 的角平分线，则 ∠BAD 的度数是（　　） A. 30°　B. 40°　C. 50°　D. 80° 解：选 B。 因为 AD 是 △ABC 的角平分线，所以 AD 平分 ∠BAC， 即 ∠BAD = ∠DAC = ∠BAC = ×80° = 40°，选 B。 【例 9】（2024·湖北黄冈期末）下列说法中，错误的是（　　） A. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形 B. 钝角三角形有两条高在三角形的外部 C. 三角形的三条角平分线交于三角形内的一点 D. 三角形的三条高一定相交于三角形内部的一点 解：选 D。 A 对：中线等底同高，平分面积； B 对：钝角三角形有两条高在外部（垂足落在延长线上）； C 对：三条角平分线都在内部，交点在三角形内； D 错：锐角三角形三条高的交点在内部，直角三角形交于直角顶点，钝角三角形交点在外部——并非「一定」在内部。故选 D。 【例 10】（2025·江西南昌期末）如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AE 是 BC 边上的高。已知 BC = 10，AE = 6，求 △ABD 的面积。 解：S△ABD = 15。 先求 △ABC 的面积：S△ABC = × BC × AE = × 10 × 6 = 30。 因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 S△ABD = S△ABC。 所以 S△ABD = × 30 = 15。 六、易错清单 易错点 1. 把三角形的角平分线当成射线：它是「线段」，一端在顶点、一端在对边上（角的平分线才是射线）。 2. 认为三条高一定在三角形内部：只有锐角三角形如此；直角三角形两条高是直角边，钝角三角形两条高在外部。 3. 作钝角三角形的高时忘记延长对边：垂足落在对边的延长线上，须先画虚线延长线。 4. 混淆三种线段的作用：中线平分「边」、角平分线平分「角」、高体现「垂直」，做题时对应清楚。 5. 重心位置记错：三条中线的交点是重心，一定在三角形内部（不在外部）。 6. 底与高不配套：求面积时，底边和对应的高必须来自同一个顶点——BC 边上的高要从 A 作出。 七、方法总结与知识结构 13.2.2 的核心是「三种线段、一个交点、一条规律」： 主题 关键内容 方法 / 提示 中线 顶点 ↔ 对边中点；BD = DC = BC 平分「边」；把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 顶点 ↔ 内角平分线与对边的交点；∠BAD = ∠BAC 平分「角」；三条都在内部 高 顶点 ↔ 对边所在直线的垂足；AD ⊥ BC 体现「垂直」；注意对边「所在直线」 重心 三条中线的交点 一定在三角形内部 高位置规律 锐角：全在内；直角：两条是直角边；钝角：两条在外 钝角三角形要作延长线 面积应用 S = × 底 × 对应的高；中线平分面积 底与高必须配套 一句话小结：三角形的中线、角平分线、高都是从顶点出发的线段，各有 3 条；中线平分边（三条交于重心）、角平分线平分角、高垂直于对边所在直线。高的位置随三角形形状变化：锐角全在内、直角有两条是直角边、钝角有两条在外部。 学科网（北京）股份有限公司 $