13.1 三角形的概念 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

13.1 三角形的概念 知识清单 2026—2027 学年 八年级数学上册 人教版（2024） 13.1 三角形的概念 知识地图 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 三要素：边、顶点、内角（简称三角形的角） 表示：记作 △ABC；边 a=BC、b=AC、c=AB 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 特殊三角形：等腰（腰、底边、顶角、底角）、等边 识别三角形：在图中按序数，不重复、不遗漏 ★易错：“不在同一条直线上”“首尾顺次相接”缺一不可 注意：本节只讲“概念与分类”，不含高、中线、三边关系、内角和 等边三角形是特殊的等腰三角形（底边 = 腰时） 一、学习目标与重难点 【学习目标】① 理解三角形的定义，掌握三角形的边、顶点、内角三个基本要素，会用符号表示三角形；② 掌握按角、按边两种分类方法，理解等腰三角形、等边三角形及其相关概念（腰、底边、顶角、底角）；③ 能在具体图形中不重复、不遗漏地识别三角形，体会分类讨论思想。 重点：三角形的定义、三要素与符号表示；三角形的两种分类方法。 难点：准确理解“不在同一条直线上”与“首尾顺次相接”；等腰三角形与等边三角形的关系；在复杂图形中不重不漏地识别三角形。 关键：判断图形是不是三角形，先看三条线段是否“不共线且首尾顺次相接”；分类时想清“按什么标准分”，做到不重不漏。 二、三角形的概念与表示 1. 三角形的定义 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 理解定义要抓住三个要点（缺一不可）： ① 三条线段—— 只有 3 条，不多不少 ② 不在同一条直线上—— 三点不共线 ③ 首尾顺次相接—— 围成封闭图形 2. 三角形的三个基本要素 如图，三条线段 AB、BC、CA 首尾顺次相接组成 △ABC，它有三个基本要素： 图 1 三角形的边、顶点与内角 要素 定义 在图中的对应 边 组成三角形的三条线段 线段 AB、BC、CA（共 3 条） 顶点 相邻两边的公共端点 点 A、B、C（共 3 个） 内角 相邻两边所组成的角（简称三角形的角） ∠A、∠B、∠C（共 3 个） 3. 三角形的表示方法 ① 符号表示：顶点是 A、B、C 的三角形记作 “△ABC”，读作“三角形 ABC”。 ② 边的字母表示：△ABC 的三边有时也用 a、b、c 表示——顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示。 ③ 记号要点：“△”读作“三角形”，后面的三个字母是三角形的三个顶点，写的时候顺序可换（△ABC 与 △BCA 是同一个三角形）。 顶点的角 所对的边 用小写字母表示 ∠A（顶点 A） BC a ∠B（顶点 B） AC b ∠C（顶点 C） AB c 口诀：“大角对大边，小写字母排排站”——顶点 A 对着的边就是 a，顶点 B 对着的边就是 b，依次类推。 三、三角形的分类 1. 按角的大小分类 按三角形三个内角的大小，可以把三角形分为三类： 图 2 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 名称 特征 锐角三角形 三个内角都是锐角（都小于 90°） 直角三角形 有一个内角是直角（等于 90°），记作 Rt△ 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于 90° 且小于 180°） 说明：一个三角形中最多有一个直角，也最多有一个钝角（否则内角和会超过 180°），所以“直角三角形”“钝角三角形”都是按“最特殊的那个角”来命名的。 2. 按边的相等关系分类 按三角形三条边是否相等，可以对三角形分类如下（“有没有边相等”是分类的标准）： 三角形 不等边三角形（三边都不相等） 等腰三角形（有两边相等） 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形（正三角形）（三边都相等，即底边 = 腰） 3. 等腰三角形与等边三角形的相关概念 如图是一个等腰三角形（AB = AC），与它有关的概念如下： 图 3 等腰三角形的腰、底边、顶角、底角 名称 定义 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形 腰 等腰三角形中相等的两边（如图中的 AB、AC） 底边 等腰三角形中与腰不相等的那条边（如图中的 BC） 顶角 两腰的夹角（如图中的 ∠A） 底角 腰与底边的夹角（如图中的 ∠B、∠C） 等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形） ★重要关系：等边三角形是特殊的等腰三角形——当等腰三角形的底边与腰相等时，它就变成等边三角形。 分类注意：“等腰三角形”包括“底边和腰不相等的等腰三角形”与“等边三角形”两类；等边三角形不是“独立的第三类”，而是等腰三角形的一种。 判断三角形的形状时，先看“有几条边相等”： 边的相等情况 三角形名称 三边都不相等 不等边三角形 恰有两条边相等 等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形） 三条边都相等 等边三角形（也是等腰三角形） 四、概念辨析（易错点） 1. 判断图形是不是三角形，三个条件缺一不可 反例 1：三条线段在同一条直线上首尾相接（如 AB、BC、CA 三点共线），只能拼成一条长线段，围不成三角形——“不在同一条直线上”这一条件不可少。 反例 2：三条线段虽不共线，但没有首尾顺次相接（如三条散开的线段），围不成封闭图形，也不是三角形。 结论：“三条线段”“不在同一条直线上”“首尾顺次相接”三个条件必须同时满足。 2. 三角形的“三要素”都各有 3 个 一个三角形有 3 条边、3 个顶点、3 个内角，不要漏数或多数。 注意：“内角”是相邻两边组成的角；三角形的角都指内角，本节不涉及外角。 3. 按角分类与按边分类是两种不同的标准 分类标准 分的类 按角的大小 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边的相等关系 不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） ★易错：同一个三角形可以同时有“两种身份”，例如“等腰直角三角形”既按边是等腰三角形，又按角是直角三角形；分类时要说清“按什么标准分”。 4. 等腰三角形与等边三角形的关系 等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 所以按边分类时，“等腰三角形”是大类，包含“底边和腰不相等的等腰三角形”与“等边三角形”两个小类，不能把它们并列成三类。 五、典型方法与例题（近三年期末真题） 以下例题选自 2024—2025 学年各地八年级上学期期末（阶段性）真题（人教版），按“基础—提升—拓展”三类编排，代表当下考查方向与难度。 基础题（识别、表示与数三角形） 【例 1】（2024·辽宁鞍山阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A. 由三条线段首尾相接组成的图形是三角形 B. 由不在同一条直线上的三条线段组成的图形是三角形 C. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是三角形 D. 有三条边的图形是三角形 解：选 C。 三角形的定义必须同时满足“三条线段”“不在同一条直线上”“首尾顺次相接”三个条件。 A 漏掉“不在同一条直线上”；B 漏掉“首尾顺次相接”；D 未说明线段位置与连接方式，都可能围不成三角形。 只有 C 完整叙述了定义。 【例 2】（2024·云南曲靖期末）如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，点 E 在直线外，则图中以点 E 为顶点的三角形共有（　　） A. 4 个　B. 5 个　C. 6 个　D. 7 个 图 4 直线上的点 A、B、C、D 与直线外的点 E 解：选 C。 以点 E 为顶点的三角形，另外两个顶点要从直线上的 4 个点中任取 2 个。 从 A、B、C、D 中任取 2 个点，共 AB、AC、AD、BC、BD、CD 六组， 所以以 E 为顶点的三角形有 △EAB、△EAC、△EAD、△EBC、△EBD、△ECD，共 6 个。 【例 3】（2025·福建泉州校级期末）如图，△ABC 与 △ACD 有公共边 AC。（1）写出图中所有的三角形，并写出 △ABC 的三条边与三个内角；（2）写出以点 A 为顶点的三角形。 图 5 △ABC 与 △ACD 有公共边 AC 解： （1）图中有 2 个三角形：△ABC、△ACD。 △ABC 的三条边是线段 AB、BC、AC；三个内角是 ∠A（即 ∠BAC）、∠B、∠C（即 ∠BCA）。 （2）以点 A 为顶点的三角形有 △ABC、△ACD，共 2 个。 提升题（分类与概念判断） 【例 4】（2024·浙江温州阶段练习）下面关于三角形分类的说法中，正确的有（　　） ① 三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ② 等腰三角形至少有两边相等； ③ 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ④ 等边三角形是等腰三角形。 A. 1 个　B. 2 个　C. 3 个　D. 4 个 解：选 C。 ① 错。按边分类应是“不等边三角形”和“等腰三角形”两类（等边三角形属于等腰三角形，不能与等腰三角形并列）。 ② 对。等腰三角形是“有两边相等”的三角形，所以至少有两边相等。 ③ 对。按角分类为锐角、直角、钝角三类，不重不漏。 ④ 对。等边三角形三边相等，符合等腰三角形的定义，是特殊的等腰三角形。 所以正确的是 ②③④，共 3 个。 【例 5】（2024·浙江温州阶段练习）已知 a、b、c 是 △ABC 的三条边，且满足 |a − b| + |b − c| = 0，判断 △ABC 的形状。 解：△ABC 是等边三角形。 因为 |a − b| ≥ 0，|b − c| ≥ 0，而它们的和为 0， 所以 |a − b| = 0 且 |b − c| = 0，即 a = b 且 b = c， 所以 a = b = c，△ABC 三边都相等，是等边三角形（也是等腰三角形）。 【例 6】（2025·唐山期末）下列说法中，正确的是（　　） A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形 C. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形 D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形 解：选 D。 A 错：存在等腰直角三角形（两腰相等、顶角是直角）。 B 错：存在顶角为钝角的等腰三角形。 C 错：存在等腰锐角三角形（如三边长 5、5、6 的等腰三角形）。 D 对：等边三角形三个角都等于 60°，是锐角三角形，不可能是钝角三角形。 拓展题（综合应用） 【例 7】（2024·河北秦皇岛期中）如图，四边形 ABDC 的两条对角线 AD 与 BC 相交于点 E，则图中三角形的个数是（　　） A. 4 个　B. 6 个　C. 8 个　D. 9 个 图 6 四边形 ABDC 的两条对角线 AD、BC 相交于点 E 解：选 C。 按“单个 → 组合”的顺序数，不重不漏： ① 由点 E 直接分出的 4 个小三角形：△ABE、△BCE、△CDE、△ADE。 ② 由上面每两个小三角形拼成的 4 个大三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。 所以图中三角形的个数为 4 + 4 = 8 个，选 C。 【例 8】（2025·广东东莞校级月考）如图，点 P 是 △ABC 内部的一点，连接 PA、PB、PC，则图中三角形的个数是（　　） A. 3 个　B. 4 个　C. 5 个　D. 6 个 图 7 点 P 在 △ABC 内部，连接 PA、PB、PC 解：选 B。 按“先数单个、再数组合”的顺序： ① 由点 P 分出的 3 个小三角形：△ABP、△BCP、△CAP； ② 由三个小三角形拼成的 1 个大三角形：△ABC。 所以图中三角形的个数为 3 + 1 = 4 个，选 B。 【例 9】（2025·江苏徐州期末）如图，在 3×3 的方格纸中，点 A、B 均为格点，且 A、B 在同一条格线上、相距 2 格。若点 C 也是格点，且 △ABC 是等腰三角形，则满足条件的点 C 共有（　　） A. 4 个　B. 6 个　C. 8 个　D. 10 个 图 8 A、B 为格点，C 为格点的等腰三角形 解：选 B。 设每个小方格边长为 1，A、B 相距 2 格，分类讨论（不重不漏）： ① AB 为腰、A 为顶角顶点（AB = AC）：满足条件的格点 C 有 1 个； ② AB 为腰、B 为顶角顶点（AB = BC）：满足条件的格点 C 有 1 个； ③ AB 为底边（AC = BC）：点 C 在 AB 的垂直平分线上，共有 4 个。 三部分互不重复，合计 1 + 1 + 4 = 6 个，所以选 B。 【例 10】（2025·广西柳州期末）如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 AB = BD = AD = DC。图中等腰三角形和等边三角形的个数分别是（　　） A. 2 个、1 个　B. 1 个、2 个　C. 2 个、2 个　D. 3 个、1 个 图 9 △ABC 中点 D 在 BC 上，AB = BD = AD = DC 解：选 A。 因为 AB = BD = AD，所以 △ABD 三边相等，是等边三角形（也是等腰三角形），这是 1 个等边三角形。 又因为 AD = DC，所以 △ADC 有两边相等，是等腰三角形。 所以图中的等腰三角形有 △ABD、△ADC，共 2 个；等边三角形有 △ABD，共 1 个。 六、易错清单 易错点 1. 漏掉定义中的关键条件：说“三条线段组成的图形是三角形”（错，还须“不在同一直线上”“首尾顺次相接”）。 2. 把“三要素”的个数记错：三角形有 3 条边、3 个顶点、3 个内角，各为 3 个。 3. 按边分类时并列成三类：把“等腰三角形”和“等边三角形”并列（错，等边三角形属于等腰三角形）。 4. 混淆两种分类标准：按角分与按边分是两套不同标准，同一三角形可以有两种“身份”（如等腰直角三角形）。 5. 数三角形时重复或遗漏：没有按顺序数（如先数单个、再数组合），导致结果偏多或偏少。 6. 写三角形符号时顶点乱序对应错：△ABC 的边 a 应对应顶点 A 所对的边 BC，边与顶点的对应关系不能错。 七、方法总结与知识结构 13.1 的核心是“一辨、二记、三分类”： 主题 关键内容 方法 / 提示 辨定义 三条线段、不在同一条直线上、首尾顺次相接 三个条件缺一不可，用来判断图形是否为三角形 记要素 边（3 条）、顶点（3 个）、内角（3 个） 看图逐一对照，不重不漏 会表示 记作 △ABC；边 a = BC、b = AC、c = AB 顶点与对边的小写字母一一对应 按角分类 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 看“最大的角”是锐角、直角还是钝角 按边分类 不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 看“有几条边相等”，等边是特殊的等腰 数三角形 按“单个 → 组合”的顺序数 先数单个，再数拼接，最后求和 一句话小结：三角形是“不共线的三条线段首尾顺次相接”围成的封闭图形；按角分三类、按边分两类（等腰三角形包含等边三角形）。本节只解决“是什么、怎么分、怎么数”，线段（高、中线、角平分线）与三边关系、内角和留到后续课时学习。 学科网（北京）股份有限公司 $