第三章图形的相似（期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

第三章 图形的相似　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 相似多边形 1.1 线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段 ， 的长度分别是 ，，那么这两条线段的比（ratio）就是它们长度的比，即 ，或写成 。其中，线段 ， 分别叫作这个线段比的前项和后项。如果把 表示成比值 ，那么 ，或 。两条线段的比实际上就是两个数的比。 示例：线段 ，，则 ，比值 。 注意：求两条线段的比必须选用同一个长度单位；比值是一个数，与所选单位无关。 1.2 成比例线段 在四条线段 ，，， 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这四条线段 ，，， 叫作成比例的线段，简称比例线段（proportional segments）。 示例：若 ，，，，则 ，所以 ，，， 是比例线段。 1.3 比例的基本性质 如果 ，那么 。 如果 （，，， 都不等于 ），那么 。 示例：由 得 ；由 得 。 注意：比例的基本性质说明比例式与等积式可以互相转化，这是处理比例问题的基本工具。 1.4 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形（similar polygons）。 在两个相似多边形中，分别相等的角称为对应角，比相等的边称为对应边。例如，五边形 与五边形 相似，记作 五边形 五边形 ，“”读作”相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 示例：任意两个正方形各角都是直角（对应角相等）、各边成比例，所以两个正方形相似。 注意：相似多边形必须同时满足”各角分别相等”和”各边成比例”两个条件，缺一不可。 示例：任意两个菱形各边成比例，但各角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似。 1.5 相似比 相似多边形对应边的比叫作相似比（similarity ratio）。 示例：若五边形 五边形 ，且 ，则五边形 与五边形 的相似比 ，五边形 与五边形 的相似比 。 注意：相似比具有方向性， 与 互为倒数。 1.6 等比性质 如果 （），那么 。 示例：若 ，则 。 注意：应用等比性质时，必须满足各后项之和不为 这一前提。 2. 探索三角形相似的条件 2.1 相似三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形（similar triangles）。 示例：若 与 中，，，，且 ，则 。 2.2 两角分别相等的两个三角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似。 示例：在 中，， 分别是边 ， 上的点，且 ，则 ，，所以 （两角分别相等的两个三角形相似）。 注意：由三角形内角和定理，只要两三角形有两组角分别相等，第三组角也必然相等，所以只须验证”两角分别相等”即可。 2.3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：在 和 中，，且 ，则 （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 注意：必须是两边及其夹角对应成比例、相等；若相等的角不是两边的夹角，则不能判定相似。 2.4 三边成比例的两个三角形相似 定理：三边成比例的两个三角形相似。 示例：在 和 中，，则 （三边成比例的两个三角形相似）。 2.5 黄金分割 点 把线段 分成两条线段 和 ，如果 ，那么称线段 被点 黄金分割（golden section），点 叫作线段 的黄金分割点， 与 的比叫作黄金比。 示例：计算黄金比：设 ，，则 ，由 得 ，即 ，解得 （负值舍去），所以黄金比 。 注意：宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。 3. 相似三角形判定定理的证明 3.1 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 示例：如图，直线 分别交直线 ， 于点 ，， 与 ，，，则 。 3.2 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 示例：在 中，， 分别是边 和 上的点，且 ，则 。 注意：本课时判定定理的证明过程是选学内容，不作考试要求；但平行线分线段成比例的基本事实与推论是解决比例线段问题的重要依据。 4. 相似三角形的性质 4.1 相似三角形对应线段的关系 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 示例：，相似比为 ，， 分别是对应高，则 。 4.2 相似三角形的周长比与面积比 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 示例：，相似比为 ，则 ，。 注意：面积比是相似比的平方，不要误写成等于相似比；此结论可推广到任意两个相似多边形。 5. 图形的位似 5.1 位似图形 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 ， 所在的直线都经过同一点 ，且有 （），那么这样的两个多边形叫作位似多边形（homothetic polygons），点 叫作位似中心（homothetic center）。实际上， 就是这两个相似多边形的相似比。 示例：以点 为位似中心，画 的位似图形 ，使相似比为 ：在射线 ，， 上分别取点 ，，，使 ，，，则 与 位似，相似比为 。 注意：位似图形是相似图形的特殊情况，对应点连线都经过位似中心；以位似中心为界，位似图形可以在同侧，也可以在异侧。 5.2 平面直角坐标系中的位似 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 （），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 。 示例：将点 ，， 的横、纵坐标都乘 ，得 ，，，则 与 位似，位似中心是坐标原点，相似比为 。 注意： 时对应点位于原点同侧， 时位于原点异侧；相似比是 ，与 的符号无关。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相似关系具有传递性 若 ，，则 。如先证得 ，，则 。 1.2 相似多边形的周长比与面积比 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。如两个相似多边形的相似比为 ，则周长比为 ，面积比为 。 1.3 黄金分割的比例中项关系 点 是线段 的黄金分割点（）时，较长段 满足 ，即 是 与 的比例中项；黄金比 ，其倒数为 。 1.4 相似三角形”对应比”统一记忆 相似三角形中，对应边的比、对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都相等，都等于相似比；只有面积比等于相似比的平方。如相似比为 时，上述各比均为 ，面积比为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定三角形相似的思路 先找”两角分别相等”（最常用，只要有平行线、对顶角或公共角即可）；再找”两边成比例且夹角相等”；最后考虑”三边成比例”。如 时，由 ， 为公共角，直接得 。 2.2 求线段长：找相似、列比例 由”相似三角形对应边成比例”或”平行线分线段成比例”列比例式，交叉相乘解未知线段。如 得 ，代入已知三量求第四量。 2.3 利用相似三角形测高、测距 利用相似三角形对应边成比例，测量不可直接测量的高度、距离。如利用阳光下的影长（同一时刻物高与影长成比例）、标杆、小孔成像等，列出比例式求解。 2.4 位似图形的作法 连接位似中心与各顶点，在连线（或其反向延长线）上按相似比 取对应点，依次连接即得位似图形。如以点 为位似中心放大为 倍：在射线 ，， 上取 ，，。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 比例式与等积式互化 与 等价，交叉相乘是处理比例的基本操作 由 得 ， 设比例系数 由 设 ，，把比例问题化为含 的方程 若 ，设其值为 ，则 ，， 合比、分比变形 由 可推出 由 得 黄金分割近似值 黄金比 ，其倒数约为 长约 的线段，较长段约 位似比取绝对值 坐标乘 时，相似比是 ，与 的正负无关 乘 与乘 的相似比都是 4. 常见考试模型 4.1 “A字型”模型 公式： 时，，得 （对应边成比例）。 限定：点 ， 分别在边 ， 上（或其延长线上），且 。 示例：如 ，，，求 ：由 得 ，。 4.2 “8字型”模型 公式：，直线 ， 交于点 时，，得 。 限定：，点 为 与 的交点。 示例：如 ，，，则 ，。 4.3 双垂直模型 公式： 中，， 于点 ，则 （三对相似三角形）。 限定：直角三角形及其斜边上的高。 示例：如 ，，则 ，，得三对相似。 4.4 一线三等角模型（“K字型”） 公式：点 ，， 共线，且 时，，得对应边成比例。 限定：，， 三个角相等，且 ，， 在同一直线上。 示例：如 （或相等的锐角），则有 。 4.5 位似图形模型 公式：以点 为位似中心、相似比为 时，对应点连线都过点 ，且 ；对应点在 同侧时 ，异侧时 。 限定：位似中心可在图形外、图形上或图形内。 示例：如以原点为位似中心、相似比 放大：各顶点坐标乘 （同侧）；乘 （异侧）。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：面积比忘记是相似比的平方 典例：，对应边的比为 ， 的面积为 ，求 的面积。 错解：设 的面积为 ，则 ，解得 。 正解：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即 ，所以 ，解得 。 原因：概念理解错误。学生把”面积比等于相似比”与”周长比等于相似比”混为一谈。面积是二维量，边长扩大 倍时面积扩大 倍。牢记：对应边、对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比，只有面积比等于相似比的平方。 易错点 2：判定相似漏了”夹角”，误用”两边成比例且一角相等” 典例：在 和 中，，，这两个三角形一定相似吗？ 错解：两边成比例且有一角相等，所以 。 正解：不一定相似。判定定理是”两边成比例且夹角相等”，而题中成比例的两边分别是 、 与 、，其夹角是 与 ，题给的 、 不是这两边的夹角，位置不对应，故不能判定相似。 原因：条件遗漏。学生把”两边成比例且夹角相等”记成了”两边成比例且任意一角相等”，忽略了”夹角”这一关键限定。相等的角必须恰好是两组成比例边的夹角，否则不能作为判定依据。 易错点 3：相似比的方向（顺序）搞反 典例：已知 ，且 ， 的周长为 ，求 的周长。 错解：因为 ，相似比为 ，所以 的周长 。 正解：，即 与 的相似比是 ，则 与 的相似比是 。由周长比等于相似比，得 。 原因：方向把握错误。相似比具有方向性，“ 的相似比”是指 的边比 的对应边，即 。学生没有先确认”谁的边更长、谁乘谁”，机械地把 乘给了 。关键是：相似比为”前∶后 “时，后者的边长是前者的 倍。 易错点 4：位似图形漏掉异侧的情形 典例：在平面直角坐标系中，以原点 为位似中心，画出 （其中 ，）的位似图形，使它与 的相似比为 。 错解：把点 ， 的横、纵坐标都乘 ，得 ，，画 即可。 正解：相似比为 的位似图形有两个：一个与原图形在原点同侧（横、纵坐标都乘 ，得 ，）；另一个在原点异侧（横、纵坐标都乘 ，得 ，）。两个都要画出。 原因：漏分类讨论。位似图形以位似中心为界可位于两侧，坐标乘 （）与乘 都对应相似比 的位似图形。学生只想到同侧放大，忽略了异侧的情形。 易错点 5：混淆全等与相似的关系 典例：判断题：两个全等三角形是否相似？ 错解：不相似。因为”全等”和”相似”是两个不同的概念，全等要求大小、形状都相同，相似只要求形状相同。 正解：相似。全等三角形是相似比为 的相似三角形（各角分别相等、各边成比例且比值为 ），所以全等三角形一定相似；反过来，相似三角形不一定全等。 原因：概念关系不清。学生把”全等”与”相似”看作互斥关系，忽略了相似三角形定义中”各边成比例”允许比例为 ，此时即为全等。全等是相似的特殊情形，相似是全等的推广，两者是包含关系而非并列关系。 易错点 6：对应关系搞错，列错比例式 典例：如图，（点 在边 上，点 在边 上），，，，求 。 错解：由 得 ，即 ，无法求（或误把 写成 ，得 ）。 正解：由 ，对应顶点依次为 、、 与 、、，所以对应边为 ，即 ，。 原因：对应关系不清。相似三角形的对应边必须按对应顶点确定，学生不先梳理”哪个顶点对应哪个顶点”，凭感觉乱配边，导致比例式列错。书写相似关系时务必把对应顶点按顺序对齐，再按”对应顶点连成的边”确定对应边。 学科网（北京）股份有限公司 $