专题01 相似三角形的十大重要模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题01 相似三角形的十大重要模型 模型一（双）A字模型 模型二（双）8字模型 模型三 AX模型 模型四 母子型（共边共角模型） 模型五 一线三等角（K字）模型 模型六 手拉手模型 模型七 半角模型 模型八 对角互补模型 模型九 十字架模型 模型十 梅涅劳斯、塞瓦（定理）模型 模型一（双）A字模型 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴四边形是平行四边形 ∴∴∴ 由折叠得，，， ∵∴， ∴∴∴∴ ∵∴，∴ ∴∴． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作于点， ，，∴，，， ，，， 设， ∵∴，即， ， ∵，∴，即，， ，解得 ，，∴，， 在中， ． 3.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：，． ，．，．． ．，故答案为：． 4.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【详解】解：当时，∵，∴，∴， 当时，∵，∴，∴， 综上，或，故答案为：3或． 5．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：过点A作于点H，如图所示： ∵D，E分别为，的中点，∴是的中位线，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， 在中，，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴，，∴， ∴． 模型二（双）8字模型 6.（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵，∴∴，， ∴，则，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，，故选：B． 7．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：，，，，， ，， ，是的中点，，， ，，故选：B． 8.（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【答案】20 【详解】解：如图，延长交延长线于点，点是边的中点，， 四边形是菱形，，，， 在和中，，，， ，，又点是中点， ，，， 的面积为1，的面积为5，菱形的面积为20，故答案为：20． 9．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】如图，过点作，延长交于点， 在中，，，，， ，，，，， ，，，， ，，，，故选：A． 10．（25-26九年级上·吉林·专题练习）【问题提出】如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程：解：分别延长交于点M， 四边形是平行四边形，． ，，，， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程 【问题拓展】（1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为__________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为__________． 【详解】解：[问题解决]分别延长、交于点， 四边形是平行四边形，．，，， ，，， 点是边的中点，，， ，； [问题拓展]（1）分别延长、交于点，四边形是平行四边形，． ，设，则，则，， ，，， 点是边的中点，，， ，；故答案为：； （2）如图，过作，交延长线于点，交延长线于点， ，，四边形是平行四边形，，， 设，，，，，，， ，，即，， ，，，；故答案为：． 模型三 AX模型 11．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，，，． ，，，，． 点是的中点，是的中位线，． ，，，． ，，，，，故选C． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：，，，，，， ∴，，， ，，，，，， ，，，，故①符合题意； 由得，与不一定相等，不一定等于， 与不一定相等，故②不符合题意； ，且，，故③符合题意，故选：B． 13．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：；(2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，∴，， ∵，∴，∴． （2）解：∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴．∴，∴，∴． 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【答案】（1）证明：，， ，同理，，； （2）解：∵恰好将三等分，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∴，由（1）知，，设则， 由得，，∴（负值舍去），∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，由（1）中结论知，， 设， ∵，∴， ∴为等边三角形，∴，∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴． 15.（2026·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 模型四 母子型（共边共角模型） 16．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，，，， ，，，， 在中，，，解得， ，，，， ，，设，，则，， ，即，等式两边同时除以 ， 得：，解得 （负值舍去）， 与 在 边上的高相等， ，．故选 B． 17.（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 【答案】(1)见解析；(2)6． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由作图可知，，∴四边形是平行四边形， ∵是高．∴，∴四边形是菱形； （2）∵，是高．∴， ∵，∴，∴ ∴， 解得或（不合题意，舍去）∴， ∴,即菱形的边长为， ∵四边形是菱形 ∴， 设菱形的高为h，则，即，解得， 即菱形的高为．故答案为： 18.（24-25九年级上·广东·期末）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． (1)求证：；(2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：∵平分，，∴， ∵，∴，∵，， ∴，又∵，∴； （2）解：设，则，， ∵，∴，∴，∴（负值舍去），∴，故答案为： 19.（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【详解】解：（1）选①证明：，，， ，，，； 选②证明：，，， ，，，； 选③证明：，，， ，， ，，； （2）是直角三角形；理由如下：，，， ，，，，， ，，， ，，，是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下：是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于，， ，，，， ，，，，，， ，，， ，，， ，，，，解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动，当时，取得最小值，此时与重合，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 20．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】(1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】(3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】(4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴； (2)证明：∵，，∴，∴，∴； （3）解：由（2）可知，，，∴， 又∵点D为的中点，即，∴， ∴，即，∵，∴，∴； （4）解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点，∴是的中位线，∴，，∴， ∵，∴，， ∴，， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，在中，，， 即，∴（负值已舍），∴． 模型五 一线三等角（K字）模型 21．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 【答案】2 【详解】解：设的长为，，， ，，，； 由勾股定理得：， 点是边上一动点（不与点重合），， 垂线段最短，当时，取得最小值， ，， ，，，， ，，即，的最大值为2，故答案为：2． 22．（25-26九年级上·上海·阶段检测）【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为________． 【答案】7 【详解】解：如图，延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形． 取的中点，连接，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∴，∴， 又，根据“一线三等角”模型，，， 在中，假设，则，由勾股定理可得，, ，，，． 过点P作的垂线，G为垂足，则是的中点， 是梯形的中位线，，，， ，故答案为：． 23．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求BM的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形，．，， 又，∵， ∴，，，， ．故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ．为等边三角形，， ∵，，∴， ∴，∴，． 设，则，， ，解得（负值已舍去）．∴， 过点M作于点D，在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则，连接并延长交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形， ，，∴，为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ，即，解得，（舍去），． 24.（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 25．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，点是线段上一点，连接，过点作，交于点． 【一般化感知】如图①，易证：； 【特殊化探究】（1）如图②，连接交于点．若，求的长； 【拓展性延伸】（2）如图③，连接，过点作，交的延长线于点．若点是的中点，直接写出的长． 【答案】（一般化感知）证明：∵四边形是矩形，，， ，，，，． （1）解：由（一般化感知）可得，则， ，四边形是矩形，， ，，，如图，过点作， ∵四边形是矩形，，， ，，，， ，，，即， ，． （2）解：如图，过点H作，交的延长线于点N． ，，， ，，， ，，，即， ，设，则，∴由勾股定理可得：， ∵点是的中点，，，，， ，，， ，∴，，即，解得，． 模型六 手拉手模型 26．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，与是具有公共顶点的两个等腰三角形，，，若，则有，可得，又因为，易得． 请你借助旋转变换解决下列问题： (1)如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以，为边构造正方形，连接，，请求出与的数量关系； (2)如图3，四边形中，交于点，若，求证：； (3)如图4，在中，，，，，，求的长． 【详解】（1）解：连接，， 四边形和四边形为正方形，． ．．．∴ (2)证明：在延长线上取点，连接，使， ，． ．．即． 又，．． （3）解：作，截取，连接， ，∵，．， ．． 在Rt中，由勾股定理可知． 作于点，则，， ∴，∴，∴，∴ 27．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】(2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值；②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】(3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：；②直接写出线段长度的最小值． 【详解】（1）解：∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴． （2）解①∵，∴，， ∴，，∴， ∴，∴； ②；证明：记、交于点， 由知，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； (3)①证明：∵，∴，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②由①知，∴点在直线上运动，当时，有最小值，如图， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，即的最小值为． 28．（26-27九年级·成都·暑假作业）探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，∴，，， ∵，，∴， 在和中，∴，∴． （2）解：∵和都是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，，∴， ∵，∴， ∵，， ∴，∴，∴，∴或． （3）解：∵，，∴，∴， ∵，，∴，设，， 在中，根据勾股定理得，设，， 在中，根据勾股定理得， ∴，，∴，∴，∴． 29．（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴，∴，∵，的中点为，，， ∴，，∴，∴； (2)解：，证明如下，由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：由图1可得，，的中点为，， ∴，，∴，∴， ∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，，∴，解得； （4）解：如图，∵在中，，，，∴， ∵分别取，的中点D，E，∴，，，， ∵分别取，的中点M，N，∴，， ∵N到的距离，∴当时，面积最大，此时． 如图，当N在上方时，由旋转的性质可知，∴即点E在线段上， 此时；如图，当N在下方时， 同理可知即点D在线段上，此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． 30．（25-26九年级上·山东·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】（1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为 ； 【问题提出】（2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明； 【问题解决】（3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴；故答案为：； （2）证明：在等腰中，，． 在等腰中，，． ，．．． ，， ，∴，∴； （3）如图③，连接，四边形是正方形，． 点是正方形的对称中心，． ．． ，．． ，．设，则， 在中，，即，解得． ，．正方形的边长为． 模型七 半角模型 31.（2025·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接， ∵四边形是矩形，， ，，∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是正方形， ，， ，， ，，，， ，，，设，， ，， 在中，，，，， ，，，， ，，，故选：D． 32．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）将两个等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内），求证： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)证明∵和是等腰直角三角形，∴ ∵，∴； (2)证明：∵和是等腰直角三角形，∴ ∴由（1）可得，∴， (3)证明：∵，∴，∴， 又∵，∴，∴． 33.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， 在中，，，解得：，； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，， ，， ， 在中，，即，解得：，； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，，，， ，在中，，即， 解得：，；综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ，，，， ， ，，， ，，， ，，，， ，， ， ，，，． 34.（2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴ ∵，，∴， 又∵，∴,∴；∵,   ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴, ∵，∴, ∴，∴，又∵，∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且，∴， ∴，∴，∴，∴ ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴,∵，，∴ ∵,∴，∴∴, ∵菱形的边长为，∴，∵，∴，∴， ∵∴cm， ∴，∴线段的长为． 35.（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 模型八 对角互补模型 36．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵，∴∴四边形是矩形∴， ∵∴，∴∴ ∵设，则∵中，，， ∴，在中，∴∴ 在中，，∴，故答案为：． 37．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3) 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，， 又∵，∴，， ∴，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴；    ②证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等边三角形，， ，根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，，，， 同①可得，， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则，∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵，∴，∴， ∵分别为的中点，∴则 ∴，则 又∵∴∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点， ∴∵是等边三角形，∴， ∴，∴，过点作于点，则， ∴，∴， 即线段扫过的图形的面积为． 38．（2026·河南三门峡·三模）综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 【详解】（1）①证明：如图1，作于，作于，， ，，平分，， ，四边形是矩形，， ∵，，， ，，； ②，理由如下：解：如图2，作于，作于， ，由①知，，四边形是矩形， ，，，，，， ，，， ，，，，，； ③如图2，作于，作于， 由②知，，，，，． （2）解：存在最大值或最小值，理由如下： 且，，由②知，， ，当时，最小， 此时，，， 当最大时，即， 即时，． 39．（2026·山东济南·中考真题）矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时，①写出与的数量关系，并证明；②用等式表示线段，，的数量关系，并证明；(3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，，连接， ∵，∴，即此时矩形是正方形， 又∵为对角线的中点，∴，， 又∵，，∴为中点，为中点， ∴，，∴， ∵，，矩形是正方形，∴， ∵，∴，， （当时，，）∴， 在与中∴，∴； ∵，，∴，，∴， 在与中∴，∴， ∵，∴，即， ∵在中，，∴． (2)①，证明如下：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，，，又∵点为中点，即， ，即为的中点，为的中位线， ，同理可得：，， ∵四边形为矩形，∴又∵，，∴四边形为矩形，即， ，， （当时，，）， 又，，，即． ②，证明如下：如图，延长，交于点，连接， 四边形是矩形，，， 又，，，，， ，即垂直平分，， ∵在中，由勾股定理得，∴． （3）解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，，，， 又∵，∴，设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由（2）得：，∴，，， 当点与点重合时，点落在点的位置，此时，， ，，连接，， ∵，，，，， （当时，）即． ，，， 点在过点并且垂直于的射线上运动，即，∴， 当点与点重合时，点落在点的位置，点的轨迹是线段， 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∴当，，三点共线时，取最小值， ，四边形是矩形， ，，， ，的最小值为． 40.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记.（1）如图3，求证：；（2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 【答案】实验猜想：3；拓展应用：（1）见解析；（2） 【详解】解：实验猜想：∵四边形是正方形，∴，， ∵为的中点，∴，∴， ∵于点，于点，∴， ∴，∴,∴； 拓展运用：（1）证明：过点P作，，垂足分别为点M和点N， ∵点P在正方形的对角线上，∴和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴四边形是矩形，∴，∵四边形是正方形，， ∴，∴， ，∴，∴ （2）过点P作交于点E，于点M，于点N， ，，∴， ∴，即，同理：， ∵，∴，∵，∴，∴， 设，则，设，则， ∵，，则， ∵，，解得：，则，． 模型九 十字架模型 41．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，，连接AE，CD交于点F，则=______，=______． 【答案】 /60度 3 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴，，∴， 在和中，∴，∴， ∵是的外角，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴．故答案为：，3． 42．（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为______ ． 【答案】3 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 43．（2025·浙江湖州·三模）数学课上，小美用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，接着在上取点E，F，连，使． （1）若拼成的四边形如图2所示，则的值为____；（2）若拼成的四边形如图3所示，则的值为______ 【答案】 【详解】解：（1）如图，由题意可得：，，且， 四边形是矩形，，， 又，，，， ，故答案为：； （2）连接，交于点，设与交于点， 由题意，，，垂直平分， 在中，，， ，解得：，， ， ，，， 又，，，， ，，，故答案为：． 44．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】(1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】(2)如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】(3)如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】(4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：如图，设与的交点为， 四边形是正方形，，，， ，，， ，，． （2）解：如图，过点作，与的交点为， 四边形是矩形，，， ，，所以四边形是矩形， ，，， ，，，， 又，，． （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，，，， ，， ，，， ，，， ，，． （4）解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，，，，， ，即， 在和中，，， ，由（2），同理可得，即， ，作点关于的对称点，连接， ，，则，，当三点共线时，有最小值为的长，即有最小值为的长，， 有最小值，有最小值． 45.（24-25九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ，，， ，，，，， （2）解：仍然成立，理由如下：，， ，，， ，，，，， 四边形为平行四边形，，， ，，， ，，，，， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形，， ，，，， ，，，， ，，， 为中点，，，设，则，， ，，，，，， 过点作，交于点，， ，， ，，（舍去），，，故答案为：． 模型十 梅涅劳斯、塞瓦（定理）模型 46．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，， ∴，． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：       （1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， 则．故：．         （2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：． 又，∴，．在等边中，，点为的中点， ．由勾股定理知： ． （3）解：线段是的梅氏线， 由梅涅劳斯定理得，，即，则．如图，连接， ，于是． 47．（25-26九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理． 如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足． 下面是该定理的一部分证明过程： 证明：如图2，过点作，交延长线于点；则有（依据），… (1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整． (3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________； (4)在图1中，若，，则的值为________． 【答案】(1)平行线分线段成比例(2)证明过程补充见解析(3)(4) 【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例 （2）该定理的证明过程补充完整如下：，， 即 （3）点是的中点，，， ，,即， ，，． （4）如图，过点作交的延长线于点， ，，，， ，，， ，，， ，，，， ，，， ． 48．（2026·江苏·校考一模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【初步体验】（1）如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ；（2）已知，如图1，在中，且．求证：． 证明：过点E作的平行线交于点F．……………… 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由； （4）如图3，在中，D为的中点，，则 ． 【答案】（1）3，；（2）见解析（3）是，定值为1；（4） 【详解】(1)∵，，，， ∴，∴，∴，∴，故答案为：3，； (2)过点E作的平行线交于点F，∵，∴，， ∵，∴，∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∴； (3)为定值，作，交于G， ∴，，∴，∴为定值； (4)过点D作，交于Q，交于点P， ∵，∴，∵，∴， ∵点D为的中点，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴，故答案为：． 49．（2026·山西晋中·校考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为 【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，． 由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点； （2）解：∵为等边三角形，，∴ ∵点D是BC边的中点，∴， ∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G， ∴，，∴CG=BC-BG=8， ∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴， ∴，即，∴，∴， ∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴ 又，∴，∴． 50．（25-26·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则．    任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：分别为边的中点， 由塞瓦定理，得点为的中点 解：为等边三角形， 点是的中点 由赛瓦定理，得 故答案为（1）见解析；（2） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形的十大重要模型 模型一（双）A字模型 模型二（双）8字模型 模型三 AX模型 模型四 母子型（共边共角模型） 模型五 一线三等角（K字）模型 模型六 手拉手模型 模型七 半角模型 模型八 对角互补模型 模型九 十字架模型 模型十 梅涅劳斯、塞瓦（定理）模型 模型一（双）A字模型 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 3.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 4.（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 5．（2026·山东东营·中考真题）如图，在中，D，E分别为，的中点，于点，，交的延长线于点．若，，，则的长为__________． 模型二（双）8字模型 6.（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 7．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 8.（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 9．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（    ） A． B． C． D．2 10．（25-26九年级上·吉林·专题练习）【问题提出】如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程：解：分别延长交于点M， 四边形是平行四边形，． ，，，， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程 【问题拓展】（1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为__________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为__________． 模型三 AX模型 11．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：；(2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 14．（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 15.（2026·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 模型四 母子型（共边共角模型） 16．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 17.（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 18.（24-25九年级上·广东·期末）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． (1)求证：；(2)若，，则的长为 ． 19.（2025·河南·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明．（2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 20．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】(1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】(3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】(4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 模型五 一线三等角（K字）模型 21．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________． 22．（25-26九年级上·上海·阶段检测）【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为________． 23．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求BM的值． 24.（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 25．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，，点是线段上一点，连接，过点作，交于点． 【一般化感知】如图①，易证：； 【特殊化探究】（1）如图②，连接交于点．若，求的长； 【拓展性延伸】（2）如图③，连接，过点作，交的延长线于点．若点是的中点，直接写出的长． 模型六 手拉手模型 26．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）旋转是一种基本的几何变换，它在图形的全等和图形的相似中发挥着重要的作用．如图1，与是具有公共顶点的两个等腰三角形，，，若，则有，可得，又因为，易得． 请你借助旋转变换解决下列问题： (1)如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以，为边构造正方形，连接，，请求出与的数量关系； (2)如图3，四边形中，交于点，若，求证：； (3)如图4，在中，，，，，，求的长． 27．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】(2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值；②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】(3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：；②直接写出线段长度的最小值． 28．（26-27九年级·成都·暑假作业）探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 29．（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 30．（25-26九年级上·山东·期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】（1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为 ； 【问题提出】（2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明； 【问题解决】（3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 模型七 半角模型 31.（2025·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）将两个等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内），求证： (1)；(2)；(3)． 33.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 34.（2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 35.（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 模型八 对角互补模型 36．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 37．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 38．（2026·河南三门峡·三模）综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 39．（2026·山东济南·中考真题）矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． (1)如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； (2)如图2，当时，①写出与的数量关系，并证明；②用等式表示线段，，的数量关系，并证明；(3)如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 40.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记.（1）如图3，求证：；（2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 模型九 十字架模型 41．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，，连接AE，CD交于点F，则=______，=______． 42．（2025·广东深圳·三模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为______ ． 43．（2025·浙江湖州·三模）数学课上，小美用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，接着在上取点E，F，连，使． （1）若拼成的四边形如图2所示，则的值为____；（2）若拼成的四边形如图3所示，则的值为______ 44．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】(1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】(2)如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】(3)如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】(4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 45.（24-25九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 模型十 梅涅劳斯、塞瓦（定理）模型 46．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，， ∴，． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：       （1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积． 47．（25-26九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理． 如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足． 下面是该定理的一部分证明过程： 证明：如图2，过点作，交延长线于点；则有（依据），… (1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整． (3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________； (4)在图1中，若，，则的值为________． 48．（2026·江苏·校考一模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【初步体验】（1）如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ；（2）已知，如图1，在中，且．求证：． 证明：过点E作的平行线交于点F．……………… 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由； （4）如图3，在中，D为的中点，，则 ． 49．（2026·山西晋中·校考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积． 50．（25-26·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则．    任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $