综合与实践 (一) 旋转相似变换（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案围绕旋转相似变换展开，引导学生在矩形旋转情境中运用相似三角形判定，通过观察图形角的关系联系旧知，搭建从基础证明到综合探究的学习支架，理解旋转中相似的形成过程。 资料以问题链驱动学习，从证明相似到探究定值再到分类讨论，培养学生几何直观和推理能力，通过辅助线构造相似模型发展模型意识，提升用数学思维解决综合问题的创新意识。

综合与实践（一） 旋转相似变换 1. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止. （1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD （2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 （3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似. 综合与实践（一） 旋转相似变换 【1题答案】 【答案】（1）见解析；（2）的值是定值，该定值为 ；（3）当或时，△BPE与△PEF相似 【解析】 【分析】（1）因为在矩形中，所以只要再证明∠BAP=∠CPD即可；（2）证明边比为定值，考虑相似三角形，过点F作FG⊥BC于G，创造△PGF并证明其与△EBP 相似；（3）使△BPE ∽△PFE，那么，算出m值，反证相似. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=∠C=90° ∴∠BAP+∠BPA=90° ∵∠MPN=90° ∴∠CPD+∠BPA=90° ∴∠BAP=∠CPD ∴△ABP ∽△PCD （2）过点F作FG⊥BC于G ∴∠FGP=90° ∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90° 易知四边形ABGF是矩形， ∴FG=AB=2 ∵∠MPN=90° ∴∠EPB+∠FPG=90° ∴∠EPB=∠FPG ∴△EBP ∽△PGF ∴ ∴的值是定值，该定值为 （3）∵AE ∴BE ①当时， ∵∠B=∠EPF=90° ∴△BPE ∽△PFE ∴ ∴ ∴ ②当时， ∵∠B=∠EPF=90° ∴△BPE ∽△PEF ∴ ∴ ∴ 综上，当或时，△BPE与△PEF相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等以及性质定理：对应角相等，对应边成比例. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $