广东普宁市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年度第一学期高二第一次月考参考答案 1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．B 9．ABC 10．CD 11．ABD 12． 13． 14． 15．【解】（1）连结交于，连结， 在中，，分别为和的中点，则， 平面，平面， 平面； 6分 （2）取中点为，连结，， ，则， 平面平面，平面平面，且平面， 平面，平面，则， 又，，，面，面 面，， 则，可得． ，面，面，面， ． 13分 16．【解】（1）摸球结果全部可能的结果是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25种， 其中的结果为，，，，共4种，故由古典概型的概率计算公式可得； 7分 （2）这种游戏规则不公平，理由如下： 设甲赢为事件，乙赢为事件，则，为对立事件， 由题意事件包含的基本事件，，，，，，，，，，，，，，，共15个， 由古典概型的概率计算公式可得，， ，故这种游戏规则不公平． 15分 17．【解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； 4分 （2）因为，且， 所以，解得或（舍去）， 所以； 9分 （3）因为，由正弦定理可得， 即，因为，所以，则， 所以或，即或， 当时为等边三角形，所以边上中线长为； 当时，则，所以为直角三角形，又， 由正弦定理，即，所以，， 所以边上中线长为； 综上所述，边上中线长为或． 15分 18．【解】（1）证明：如图，连接，在矩形中，，为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面． 5分 （2）平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， 二面角的余弦值为； 11分 （3）存在，是线段上靠近点的三等分点． 如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 17分 19．【解】（1）①， 故 ， 因为，分别为定义在上的偶函数与奇函数，所以，， 故②， 式子①②得， 故， 所以， 式子②①得，所以； 4分 （2）， （i）当时，， 不等式化为， 令，则需对任意恒成立， 设， 要想对任意恒成立，只需，得； 下证：若，则对任意正整数，不等式不恒成立， ， 若，取，此时，，或， 当为奇数时，，代入不等式得，解得，与矛盾， 当为偶数时，，代入不等式得，解得，与矛盾； 若，取，此时，，， 代入不等式可得，解得，与矛盾， 因此，当时，存在，使得对任意的恒成立； 10分 （ii）对任意的恒有，只需， 令，， 则，设的最大值为， 当时，，此时对任意的恒有， 当时，，且在约束条件下， ， 最大值为，故， 例如，当时，， 故只需，即，，， 其中， 故， 若对任意的恒有，则的最大值为21． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．10个数据1，3，4，5，5，7，9，11，13，16的中位数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A． B． C． D． 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，四面体中，，，，分别是，的中点，若，则与所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 7．在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（ ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，相互独立，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，，两两独立，则 10．已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（ ） A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期 C． D． 11．如图，与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（ ） A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为 B．圆台的全面积为 C．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为 D．从点经过圆台的表面到点的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数满足（为虚数单位），则______． 13．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点，处测得塔顶的仰角分别为45°，60°，若河宽至少12米，则塔高______米． 14．篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点． （1）求证：直线平面；（6分） （2）若，求三棱锥的体积．（7分） 16．（15分）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，记录摸球结果，如果，算甲赢，否则算乙赢． （1）求的概率；（7分） （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由．（8分） 17．（15分）在中，以，，分别为内角，，的对边，且． （1）求；（4分） （2）若，，求的面积；（5分） （3）若，，求边上中线长．（6分） 18．（17分）矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面；（5分） （2）求二面角的余弦值；（6分） （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．（6分） 19．（17分）已知定义在上的偶函数和奇函数，满足． （1）求和；（4分） （2）定义，， （i）若存在正整数，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围；（6分） （ii）若对任意的，恒有，求的最大值．（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $