广东省珠海市广东实验中学金湾学校2026-2027学年高二上学期数学10月月考模拟试题3

2026-2027学年珠海市广东实验中学金湾学校高二10月月考模拟试题3 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A A C C C BCD CD 题号 11 答案 CD 1． C【解】由题意可得，所以甲付（钱），乙付（钱），丙付（钱），所以选项C中的说法错误.故选：C. 2．A【解】空间两非零向量的充要条件为：存在实数，使得.已知，，代入得： ，横坐标：，解得；纵坐标：； 竖坐标：.因此. 3．D【解】由已知， . 4．A【解】由题图知，阳数为，阴数为，因此从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有（种），满足差的绝对值大于5的有，共4个，所以所求概率. 故选：A 5．A【解】由题意，20组随机数中，小华三次投篮恰有两次投中有6组，即531，191，412 ，271， 932 ，800 ，所以小华三次投篮恰有两次投中的概率为.故选：A 6．C【解】由点四点共面，且，根据共面向量的基本定理，可得，解得． 7．C【解】记零件或系统能正常工作的概率为，该系统正常工作的概率为: ,故选：C. 8．C【解】有放回取次的样本空间共个等可能结果：{红红，红白，白红，白白}， 事件对应{红白，白红}，，事件对应{红白，白红，白白}，； 对应{红白，白红}，，显然，A错误. 事件对应{红红，红白，白红}，故；对应{红白，白红}，， ，B错误； 有放回取次的样本空间共个等可能结果：事件排除全红、全白种结果，， 事件对应红（全白）、红共种结果，；对应红白的种结果，， 恰好满足，故和相互独立，C正确； 事件对应白（全红）、白共种结果，；无对应结果，，显然，D错误. 9．BCD【解】选项：当时，零向量与任意向量都平行，此时即使满足、，和也可能不共线，错误； 选项：由，可知与共线，又是不重合的直线，因此，正确； 选项：对变形可得，即，说明与共线且有公共点，因此、、三点共线，正确； 选项：已知是空间的一个基底，故不共面.假设共面， 则存在实数满足，整理得， 由不共面可得，该方程组无解，说明三个向量不共面，因此也是空间的一个基底，正确. 10．CD【解】由题意可知，样本空间， 事件“得到的点数为奇数”，则，； 事件“得到的点数不大于4”，则，； 事件“得到的点数为质数”，则，. 选项A：因为，所以事件与不互斥，故A错误； 选项B：因为，所以，而， 因为，所以事件与不相互独立，故B错误； 选项C：，包含6个样本点，所以，故C正确； 选项D：，所以，则，故D正确. 11．CD 【解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 对于A选项，，， 设， 依据共线向量设坐标，故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，所以A选项错误； 对于B选项，当时，即，此时，故，而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为，则即， 取，得为平面的一个法向量，故， 故二面角的平面角的正弦值为，所以B选项错误； 对于C选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以为定值，所以C选项正确； 对于D选项，当时，即，故，故， 而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为，所以D选项正确． 12．23.7【解】15名员工的BMI数据由小到大排列为：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8， 22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，由，所以该组数据的第70百分位数是第11个数23.7.故答案为：23.7 13．02【解】从题中随机数表可知，随机数表第1行的第5列和第6列数字为， 从这里开始，依次选取两个数字，其中不在编号内，舍去，有重复，舍掉一个， 从而得到的编号为，所以选出来的第2个个体的编号为.故答案为：. 14．或 【解】异面直线，所成的角为，，，，，； 和的夹角为或，，.；，. 依题意可得； ； 当和的夹角为时，，解得； 当和的夹角为时，，解得； 的长为或. 15．【解】(1)， (2)因为，，，，所以，， 由（1）得 ，所以，即； （3）由（1）得，所以 ， 所以，即的长为． 16．【解】（1）因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 取直线的单位方向向量， 设点到直线的距离为，则． （2）因为，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17．【解】（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ，所以每位员工经过培训合格的概率为. 18．【解】（1）由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63． （2）10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10， 则样本空间 共45个样本点， 记两名面试者成绩都在第五组为事件A， 则事件，故； （3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 19．【解】(1)因为四边形为菱形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面，且平面平面，由线面平行的性质定理知. （2）因为平面平面，交线为，为等边三角形，所以点在平面上的投影为的中点，且到平面的距离为. 以为原点，所在直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. 于是，，. 设平面的法向量为，由，，得，. 取，得平面的一个法向量. 设直线和平面所成的角为，则. （3）由（2）知平面的一个法向量为. 设（），因为，所以. 于是，. 设平面的法向量为，由，，取，得. 于是. 由图可知二面角为锐角，所以，两边平方并整理得. 因为，所以（舍去）. 所以，即存在满足条件的点. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年珠海市广东实验中学金湾学校高二10月月考模拟试题3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱三百六十，乙持钱二百八十，丙持钱二百，凡三人俱出关，关税六十五钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持360钱，乙持280钱，丙持200钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共65钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少钱？下列说法错误的是（    ） A．甲应付钱 B．乙应付钱 C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 2．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 3．如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 4．河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知小华每次投篮投中率都是，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率.先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示投中，4，5，6，7，8，9表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数 531  297  191  925  546  388  230  113  589  663 321  412  396  021  271  932  800  478  507  965 据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为（    ） A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45 6．已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 7．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 8．一个盒子里有大小、质地相同的两个球，一个红球，一个白球，每次从中随机取出一个球，观察球的颜色后再放回盒中，设事件“取到的球既有红球又有白球”，事件“取到的球最多有一个红球”，事件“取到的球最多有一个白球”，则下列说法正确的是（   ） A．若取球两次，事件A和事件B相互独立 B．若取球两次，事件A和事件C相互独立 C．若取球三次，事件A和事件B相互独立 D．若取球三次，事件B和事件C相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．下列说法中正确的是（    ） A．若空间向量，，满足，，则 B．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 C．若空间四个点，，，满足，则，，三点共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件＝“得到的点数为奇数”，记事件＝“得到的点数不大于”，记事件＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（       ） （质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．） A．事件与互斥 B．事件与相互独立 C． D． 11．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.我国成人的BMI数值标准为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1.则该组数据的第70百分位数为______________. 13．嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，重复的跳过.则选出来的第2个个体的编号为______. 45  67  32  12  12  31  02  01  04  52  15  20  01  12  51  29 32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81 14．两条异面直线，所成的角为，点，在直线上，点，在直线上，且，，，，，则_________．（写出所有可能，用，，，表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 16．如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． (1)已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 18．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． (1)若平面平面，证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上（含端点）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $