4.1 第2课时多项式及整式教学设计2026—2027学年数学人教版七年级上册

4.1 第2课时 多项式及整式 教学设计 课题 4.1 第2课时 多项式及整式 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时（4.1 共2课时） 课型 新授课 教学目标 1. 通过本节课的学习，学生掌握整式、多项式的项及其次数、常数项的概念；2. 知道整式和单项式、多项式的关系；3. 由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新. 教学重点 掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念. 教学难点 多项式的次数. 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 环节一 温故知新 一、温故知新 你能指出下面哪些式子是单项式吗？并指出单项式的系数与次数：3，π，，，，2+b． 答案：单项式有 3，π，，；它们的系数分别是 3，π，1，；次数分别是 0，0，3，1． 【师生活动】学生思考后举手回答；单项式 π 的系数与次数、单独字母的系数 1 比较容易错，教师适当解析. 学生口答单项式的判断与系数、次数，复习单项式的相关概念，为探究、学习多项式的相关概念打下基础. 通过简单的复习单项式的相关概念，为探究、学习多项式的相关概念打下坚实的基础. 环节二 创设情境 二、创设情境 【课堂引入】如图，学校的操场由一个长方形和两个半圆组成．设长方形的长为 a，宽为 b，两端的半圆均以宽 b 为直径． 操场示意图 (1) 两个半圆的面积和是多少？(2) 整个操场的面积是多少？ 答案：(1) 两个半圆恰好拼成一个整圆，面积为 ；　(2) 整个操场的面积为 ． 观察这两个式子之间有哪些区别和联系呢？这就是我们这节课要研究的整式． 【师生活动】从学生身边的情境出发，使学生了解整式的实际背景，既巩固旧知识，又自然引入新课. 学生列出两半圆拼成的整圆面积式与操场总面积式，观察两式的区别与联系，感受“几个单项式的和”的形态. 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对新知识产生好奇，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望. 环节三 实践探究 交流新知 三、实践探究 【观察】v+2.5，v−2.5，3x+5y+2z，，+2x+18，这些式子有什么特点？ 小结：这些式子都可以看作几个单项式的和．例如，v−2.5 可以看作单项式 v 与 −2.5 的和；+2x+18 可以看作单项式 ，2x 与 18 的和． 【探究新知】(1) 什么叫多项式？几个单项式的和叫作多项式． (2) 什么叫多项式的项和次数？多项式 +2x+18 是几次几项式？ 小结：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项；一个多项式含有几项，就叫几项式；多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数．+2x+18 是二次三项式． (3) 下列多项式的项和次数分别是什么？v+2.5，3x+5y+2z，． 小结：v+2.5 的项分别是 v，2.5，次数是 1；3x+5y+2z 的项分别是 3x，5y，2z，次数是 1； 的项分别是 ab，−，次数是 2． (4) 注意：①多项式的项应包括该项的符号；②多项式的次数为最高次项的次数；③常数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉. (5) 什么叫整式？下列式子哪些是整式？①−x；②x+1；③π；④−3；⑤−+25． 小结：单项式与多项式统称整式．①②③④是整式；⑤ 的分母含字母，不是整式. 【师生活动】出示自学提纲，学生独立解决相关问题，教师巡视点拨概念理解不透彻的学生；板书多项式、整式的有关概念，强调项含符号、次数取最高、常数项不漏. 学生按问题串自学并归纳多项式、项、常数项、次数与整式的定义，辨析“−(1/x)+25 不是整式”. 由浅入深，使学生对多项式的有关概念的理解更加透彻，培养他们应用新知识解决问题的能力. 环节四 学以致用 开放训练 四、学以致用 【典型例题】例 1　下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ a，+bx+c，−5，π，，． 解：单项式：a，−5，π； 多项式：+bx+c，； 整式：a，+bx+c，−5，π，； 的分母含字母，不是整式. 例 2　指出下列多项式的次数与项： (1) xy−；　(2) +2+a−；　(3) 2−3+mn． 解：(1) 次数：2，项：xy，−． (2) 次数：3，项：，2，a，−． (3) 次数：6，项：2，−3，mn． 例 3　用多项式填空，并指出它们的项和次数： (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为 a，b，则这个长方形的周长为 2a+2b； (2) 有理数 m 的立方与 2 的差为 −2； (3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 a 辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 b 辆，则到第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 2a−12b； (4) 如图，这是我国南北朝时期的官员独孤信的印章，它由 18 个相同的正方形和 8 个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为 a，等边三角形的高为 b，那么这个印章的表面积为 18+4ab． 独孤信印章 解：(1) 它的项分别为 2a，2b，次数是 1； (2) 它的项分别为 ，−2，次数是 3； (3) 它的项分别为 2a，−12b，次数是 1； (4) 它的项分别为 18，4ab，次数是 2. 【拓展辨析】1．下列说法错误的是（　） A． 是二次三项式　　B．−x+1 不是单项式 C．− 的系数是 −1　　D．− 的次数是 4 答案：C（系数是 −π）. 2．若多项式 +(n−1)+1 是关于 x，y 的三次多项式，则 mn＝　　　　　． 答案：3 或 −1（ 是四次项，必须由 n−1＝0 消去，得 n＝1；再由 1+|m−n|＝3，得 m＝3 或 m＝−1）. 3．下列式子：+2，+4，，，−5x，0，其中整式的个数是（　） A．6　　B．5　　C．4　　D．3 答案：C（整式有 +2，+4，−5x，0，共 4 个）. 【变式训练】1．把下列各式的序号填在相应的集合里：①0；②；③−−2x+5；④；⑤xy；⑥8+；⑦−5；⑧． 答案：整式：{①②③④⑤⑥⑦⑧}；多项式：{③⑥⑧}；单项式：{①②④⑤⑦}． 2．指出下列多项式的项和次数：(1) −+a−；　(2) 3−2+1． 答案：(1) 项：，−，a，−，次数：3；(2) 项：3，−2，1，次数：4． 3．指出下列多项式是几次几项式：(1) −x+1；　(2) −2+3． 答案：(1) 三次三项式；(2) 四次三项式． 4．如图，铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美．设铜钱外部的圆的半径为 a，正方形的边长为 b．(1) 用含 a，b 的代数式表示铜钱阴影部分的面积；(2) 当 a＝1.3 cm，b＝0.4 cm 时，求铜钱的面积（π 取 3）． 铜钱 解：(1) 铜钱阴影部分的面积为 ； (2) 当 a＝1.3，b＝0.4 时，＝3×−＝5.07−0.16＝4.91． 答：这个铜钱的面积为 4.91 平方厘米. 【师生活动】教师引导学生进行交流、讨论，确定出解决问题的方法；在把已知条件代入时，注意运算符号和运算顺序. 学生判断整式、单项式、多项式并准确指出项与次数，用多项式表示实际数量关系，巩固“项含符号、次数取最高、常数项不漏”的要点. 巩固多项式的概念，为学生创造用多项式表示实际问题中数量关系的机会，培养学生的列式能力，使学生体会数学来源于生活、应用于生活的价值美. 环节五 课堂检测 堂堂清 五、课堂检测 1．下列各式中，不属于整式的是（　） A．ab　　B．−2y　　C．−　　D． 答案：D（分母含字母，不是整式）. 2．多项式 3−2x−1 的各项分别是（　） A．3，2x，1　　B．3，−2x，1 C．−3，2x，−1　　D．3，−2x，−1 答案：D（项要包括前面的符号）. 3．多项式 2−−ab 的项数及次数分别是（　） A．3，3　　B．3，2　　C．2，3　　D．2，2 答案：A（三项，最高次项 2 的次数是 3）. 4．如果 +−1 是五次多项式，那么 n 的值是（　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 答案：C（次数最高的项是 ，n＝5）. 5．多项式 3+5+8−2−10xy，次数最高的项是　　　　　；常数项是　　　　；它的次数是　　　　． 答案：−2；8；6． 6．一个关于 x 的二次三项式，它的一次项系数是 1，二次项系数和常数项都是 −，则这个多项式是　　　　　　　　． 答案：． 7．如图，边长为 x 的正方形及它的内切圆，用式子表示图中阴影部分的面积．当 x＝4 时，求阴影部分的面积（π 取 3.14）． 正方形与内切圆 解：图中阴影部分的面积为 ． 当 x＝4，π 取 3.14 时，阴影部分的面积为 16−3.14×4＝16−12.56＝3.44. 【师生活动】学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解；第 2 题强调项包括符号，第 5 题强调最高次项，第 7 题渗透“整体减部分”求阴影面积的方法. 学生限时独立完成检测；第 1~4 题辨析整式、项、次数概念，第 5~6 题落实最高次项与待定系数，第 7 题综合运用面积公式. 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 环节六 课堂小结 布置作业 六、课堂小结 （1）你在本节课中有哪些收获？哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 【归纳】①多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式；②多项式的项和次数：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数；③整式的定义：单项式与多项式统称整式；④三注意：项包括符号、次数取最高、常数项不漏. 【布置作业】教材本节课后练习中与本课时相关的题目. 学生自主归纳多项式、项与次数、整式的定义及三条注意点；课后独立完成作业. 通过小结，学生对本节知识有一个系统的认识. 板书设计 4.1 整式（第2课时） 多项式及整式 一、多项式的定义 几个单项式的和叫作多项式；不含字母的项叫常数项 二、多项式的项和次数 项包括前面的符号；次数＝最高次项的次数 三、整式 单项式与多项式统称整式 学生板演区 学科网（北京）股份有限公司 $