4.2整式的加法与减法（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版七年级上册

4.2整式的加法与减法（第1课时） 年级 七年级 学科 数学 课型 新授课 教材 人教版七年级上册 教学目标 1.理解同类项的概念，能准确识别同类项，掌握合并同类项的法则，能正确地合并同类项。 2.掌握合并同类项的一般步骤，能规范地进行合并同类项的运算。 3.经历类比数的运算探究整式加减运算的过程，体会“数式通性”的数学思想。 教学重点 同类项概念的判断与合并同类项法则的运用。 教学难点 正确识别同类项，尤其是含相同字母但指数不同、字母顺序不同的情况；合并时对系数相加、字母部分不变的理解与规范操作。 教材分析 本节课选自人教版七年级上册第四章《整式的加减》第二节《整式的加法与减法》（第1课时），核心知识为同类项的概念与合并同类项的法则。教学内容包括：通过港珠澳大桥情境引出 72a+120a 的运算需求；类比数的乘法分配律探究同类项合并的算理；归纳同类项“两相同、两无关”的识别方法；总结合并同类项的一般步骤（找、换、合、写）；并运用合并同类项进行多项式化简、求值及解决简单实际问题。 本节课是整式运算的起始课，也是后续学习去括号、整式加减及一元一次方程的基础。概念形成遵循“具体运算—观察共性—抽象定义”的逻辑：先从 72a-120a、3m2+2m2、3xy2-4xy2 等式中发现各项所含字母及相同字母指数相同的特点，概括出同类项定义；再借助乘法分配律将系数相加、字母部分不变，自然得到合并法则。这样设计充分体现“数式通性”的数学思想，让学生感悟整式运算与数的运算在算理上的一致性。 学情分析 学生已学习单项式、多项式、次数等概念，并能用运算律进行数的简便运算，这为类比探究合并同类项奠定了知识与方法基础。学生对“用字母表示数”已有初步体验，但将乘法分配律从数推广到含字母的整式，仍需借助具体例子逐步抽象。 较易掌握：同类项定义的直观判断，如字母相同、指数相同的简单辨析；合并系数为整数的同类项。 较困难：对“两无关”的灵活理解（如 2x2y 与 5yx2 是同类项），合并时易出现符号遗漏或漏项，尤其是含多个不同字母、带分数系数的合并；用合并同类项解决实际问题时，如何正确列出含字母的式子并简化。 因此，教学中应让学生经历完整的运算观察与类比过程，强化“系数相加，字母及指数不变”的法则，并通过对比错例突破符号与步骤规范等难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾，创设情境】 教师提问：什么是单项式？什么是多项式？如何确定单项式和多项式的次数？ 学生回顾并回答：单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式。单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是次数最高项的次数。 教师出示港珠澳大桥情境： 汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛的海底隧道入口，另一段为海底隧道。如果汽车通过海底隧道需要 h，那么从香港口岸到东人工岛的海底隧道入口所需时间是 h，香港口岸到西人工岛的全长是 。 教师问题：如何计算 呢？ 学生类比数的运算： 由“数式通性”类比得到： 教师指出：整式的运算与数的运算具有一致性，从而引入新课。 从学生熟悉的单项式、多项式及次数入手，为整式加减做好知识铺垫；用港珠澳大桥情境激发兴趣，通过“数式通性”类比，让学生感受整式运算与数的运算的一致性，明确本节课的学习方向。 探究点1：同类项的概念 【问题引入】 学生独立完成填空： （1） （2） （3） 利用分配律化简： 教师追问：上述运算中的项有什么共同特点？引导学生观察每组中的两个单项式。 师生活动 教师：演示上述三组化简过程，提问“每组两个项在字母和指数上有何共同点？” 学生：观察、讨论，尝试用自己的语言描述。 教师：结合学生回答，归纳出同类项的概念，并板书。 观察发现： 与 都含有字母 ，且 的指数都是 1； 与 都含有字母 ，且 的指数都是 2； 与 都含有字母 ，且 的指数都是 1， 的指数都是 2。 【归纳概念】 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 判断要点： “两相同”：① 所含字母相同；② 相同字母的指数也相同。 “两无关”：① 与系数无关；② 与字母的顺序无关。 例如： 与 是同类项（字母顺序不同，但仍是同类项）； 与 是同类项（只有系数不同）。 【例题巩固】 例1 下列各组单项式中，哪些是同类项？ ① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 。 【解析】 利用同类项定义，依次检查每组单项式所含字母、相同字母的指数是否一致，常数项与常数项互为同类项。 解：① 与 ：字母不同，不是同类项； ② 与 ：字母相同，但相同字母的指数不同（ 的指数 ， 的指数 ），不是同类项； ③ 与 ：字母相同，相同字母的指数也相同（ 的指数都是 2， 的指数都是 1），是同类项； ④ 与 ：都是常数项，是同类项。 所以是同类项的有③④，共 2 组。 通过“数式通性”的类比计算，让学生经历“观察特征→归纳共性→抽象概念”的过程，自然得出同类项的定义；借助“两相同、两无关”突破概念判断难点，并通过参数求值问题深化对概念本质的理解，培养抽象能力和分类意识。 探究点2：合并同类项的法则与步骤 【问题引入 】 教师出示多项式： 提问：这个多项式中有同类项吗？能否利用运算律将其化简？ 学生观察、尝试，教师引导类比数的运算，利用交换律、结合律、分配律进行合并。 【师生活动】 教师：请学生尝试化简，并说出每一步依据的运算律。 学生：独立尝试，小组交流化简过程。 教师：板书化简过程，并指出“把多项式中的同类项合并成一项”就是合并同类项。 【详细过程】 化简过程： 【归纳合并同类项法则】 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 合并同类项的一般步骤： 找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同的标记； 换：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合； 合：利用分配律，合并同类项； 写：写出合并后的结果，并按某一个字母的降幂（或升幂）排列。 易错提醒 交换位置时，项的符号一起交换；例如 移到前面时，负号也要一起移过去； 没有同类项的项在每一步运算中都不能遗漏，要照写下来； 合并后的结果中不再含有同类项。 【即时练习】 （1）计算： 解： （2）计算： 解： 通过类比数的运算，利用运算律化简多项式，自然形成合并同类项法则；通过“找、换、合、写”四步骤，规范学生的运算过程；例题从纯计算到求值再到实际应用，层层递进，既巩固法则，又让学生体会合并同类项在简化计算和解决现实问题中的作用，培养运算能力和应用意识。 课堂小结 板书设计 4.2整式的加法与减法（第1课时） 1.同类项概念 o所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项 o几个常数项也是同类项 o识别口诀：两相同、两无关（与系数无关、与字母顺序无关） 2.合并同类项 o定义：把多项式中的同类项合并成一项 o法则：系数相加，字母连同它的指数不变 o步骤：找（标记同类项）→ 换（交换律、结合律）→ 合（分配律）→ 写（降幂/升幂排列） o易错提醒：交换位置时连同符号一起交换；无同类项的项照写；结果不含同类项 3.数学思想 o数式通性：整式运算与数的运算具有一致性，利用乘法分配律完成合并 4.典型应用 o化简多项式、先化简后求值、实际生活中的数量变化问题 随堂练习 【教材例题】 1.合并下列各式的同类项。 （1） （2） 解：（1） （2） 2.（1）求多项式 的值，其中 。 （2）求多项式 的值，其中 ，，。 解：（1）先合并同类项，再代入求值： 当 时，原式 。 （2）先合并同类项： 当 ，， 时，=1 3.（1）水库水位第一天连续下降了 h，平均每小时下降 2 cm；第二天连续上升了 h，平均每小时上升 0.5 cm。这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有 5 袋大米，每袋大米为 kg。上午售出 3 袋，下午又购进同样包装的大米 4 袋。进货后这个商店有大米多少千克？ 解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的记为正。第一天变化量是 cm，第二天是 cm。 所以这两天水位总的变化情况是下降了 cm。 （2）把进货的数量记为正，售出的记为负。 原有大米 kg，上午变化量是 kg，下午变化量是 kg。 所以进货后这个商店有大米 kg。 【巩固训练1 同类项的识别】 有下列四对单项式：（1）a2b与ab2；（2）−2xy与6xyz；（3）23与32；（4）x2y 与52x2y．其中所有不是同类项的序号为_______ 解：根据同类项的定义 23与32是同类项 x2y 与52x2y是同类项 故答案为：（1）（2） 【变式1-1】下列各对单项式是同类项的是（    ） A．3ab2与a2b  B．−x与y C．−x3y2与3x3y2  D．3与3a 解：选项A中，3ab2与a2b所含字母相同，但相同字母的指数不同，∴不是同类项； 选项B中，−x与y所含字母不同，∴不是同类项； 选项C中，−x3y2与3x3y2所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项； 选项D中，3是常数项，3a含有字母，所含字母不同，∴不是同类项 【巩固训练2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 若单项式 与 是同类项，则 。 解：由同类项定义，相同字母的指数相同，得 ，，所以 。 【变式2-1】如果单项式 与 是同类项，那么 的值为（ A ） A．1 B．-1 C．0 D．2025 解：由同类项定义，得 ，，解得 ，。 所以 . 【巩固训练3 合并同类项】 合并同类项：。 解：原式 。 【变式3-1】化简代数式 时，小华将 看成了它的相反数，最终他的化简结果不含 项，则正确的化简结果为______。 解：小华的计算过程为 。 因为结果不含 项，所以 ，解得 。 正确化简为 。 教学反思 本节课教学目标基本达成：学生通过类比数的运算理解了同类项的概念，大多数能准确识别同类项，并能规范合并同类项。通过例题辨析和变式训练，学生对“两相同、两无关”的认识较到位，易错点（如系数符号、无同类项项照写）也能在练习中较好规避。但在合并同类项的实际应用环节，部分学生对文字信息转化为代数式仍有一定困难，尤其涉及相反意义量时列式不够顺畅。后续教学中应增加实际情境的读题和列式训练，采用小组合作方式，让学生互讲互评，进一步体会“数式通性”的数学思想，提升整式运算的实际应用能力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $