山西太原市第十二中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

初三年级第一次数学练习 一、选择题（每空3分，共30分） 1．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（ ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 3．若（），则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．一元二次方程根的情况为（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．以下列各组数据为长度的线段中，能构成比例线段的一组是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．下列说法正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 7．如图，菱形的对角线，交于点，且，，则菱形的高的长是（ ） A．4.8 B．2.4 C．5 D．以上都不对 8．如图是小丽与的对话截屏，在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A． B． C． D． 9．根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 -15 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29 方程的正数解满足（ ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 10．如图，将两块相同的含有角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每空3分，共15分） 11．某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为5∶2．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为__________． 12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是__________． 13．已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲判断四边形是矩形依据是：_________________________． 14．鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材的文创书签热卖．某商店六月份销售鸟尊书签300枚，八月份销售鸟尊书签432枚．该商店六月至八月鸟尊书签销售量平均每月的增长率为，可列方程为__________． 15．如图，在四边形中，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，相交于点，则的值为__________． 三、解答题 16．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）；（2）；（3）；（4）． 17．（5分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得， ① 两边同除以，得． ② （1）请说明甲同学的解法错误的原因__________； （2）写出正确解答过程． 18．（6分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 19．（8分）如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）如图1，矩形纸片（），将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．（填空） 证明：∵四边形是矩形 ∴， ∵折叠，， ∴四边形是矩形（ ） ∵折叠 ∴（ ） ∴四边形是正方形（ ） （2）如图2，将平行四边形纸片（），沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上．求证：四边形是菱形． 20．（12分）操作与实践 【示范操作】古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 （1）仿例题配方解，先变形为__________，如图2，每个小长方形的长为__________，宽为__________，利用图形的面积关系得配方后的方程为_______________，解为__________． 【深入探究】 （2）模仿例题配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． （3）请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 21．（12分）．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． （1）初步分析：善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； （2）深度探究：好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是，的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $