解三角形中的周长面积问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形中的周长面积问题 一、知识点梳理 （一）两个基本量： 与 周长涉及 ，面积涉及 ，余弦定理把它们串在一起：由 与 得 。 已知 与 时，它就是 与 的一个等式，再配不等式即可求周长或面积的最值（范围）。 与 之间还有一层约束：，即 。求出的范围若越过这条界线，说明取值取不到，必须回代检验。 （二）求最值（范围）的两条主路 一是基本不等式：把余弦定理整理成含 或 的形式，用 或 放缩，等号通常取在 。 二是化角：由 、、 把目标化成单角三角函数，再用两角和的正弦公式反用（即辅助角公式）合成 。目标为对称量（、）时用不等式更直接；带锐角约束或目标含 等非对称式时只能化角。 化角的具体步骤：先把 、 代入，再用 把两角并成一角，最后整理成一个正弦型函数。不要一上来就套公式，先把角统一。 （三）先定角，再定范围 先用边角互化把已知条件化成一个确定的角，这一步不做完，后面的最值讨论无从谈起。求角常用：齐次化后换边再逆用余弦定理；含 则两次余弦定理相加化为边；含 先切化弦。 角定下来后 值也定，余弦定理里的系数成为常数，剩下的就是纯代数或纯三角的最值问题。 先定角还有一个好处：角一旦确定， 也确定，、 与 、 成正比，对称量与非对称量之间的换算都随之确定。 （四）锐角约束与端点取舍 出现「锐角三角形」就把它翻译成角的开区间：如 ，由 与 、 得 。 开区间意味着最值往往取不到，答案写开区间；无锐角约束时等号通常能取到，写闭区间或「最大值」。面积还有天然下界（三角形必须存在），写范围时别漏这一端。 收口三步：先把目标写成单角的表达式，再由「锐角」或「内角和」写出该角的区间，最后把区间端点代回表达式得到范围的端点；表达式在区间上单调时，端点值就是最值。 二、方法导语 本讲只用教材的正弦定理、余弦定理与面积公式。周长面积问题可统一成：先把已知条件化成一个确定的角，再用余弦定理把 、 串起来——求最值配基本不等式，求范围就化成一个角的三角函数。对称量（、）走余弦定理加不等式，角的量（、）走正弦定理，再用两角和公式反用合成一个正弦型函数。 下结论前自查三件事：题目给的角求出来了没有；不等式放缩的方向对不对、等号能不能取到；最后一问的答案该写闭区间还是开区间（有没有「锐角」这类约束）。 三、典型例题 例1　对边对角模型：基本不等式求面积最大值 已知 、、 分别为 的三个内角 、、 的对边，且 。（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值。 变式1　已知面积求边：先算 再用余弦定理 在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、， 的面积为 ，，且 ，求 。 例2　对边对角模型：基本不等式求周长最大值 在 中，。（1）求角 的大小；（2）若 ，求 周长的最大值。 变式2　已知两边之和：先放缩求角的范围，再求面积最大值 在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，。（1）求角 的取值范围；（2）求 面积的最大值。 例3　化为单角三角函数求取值范围 在 中，角 、、 的对边分别为 、、，已知 。（1）求角 的大小；（2）求 的取值范围。 变式3　锐角约束下的面积取值范围 已知 的内角 、、 的对边分别为 、、，且 。（1）求角 的大小；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围。 例4　先相加化边求角，再求面积范围 在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，已知 。（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的取值范围。 变式4　平方差求角，再在 最大时求面积 的内角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，，求当 取得最大值时 的面积。 例5　中线条件加基本不等式求面积最大值 在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、，已知 。（1）求角 ；（2）若 为 的中点，且 ，求 面积的最大值。 变式5　对边对角模型：求面积最大值（换一组数据） 已知 的内角 、、 的对边分别为 、、，且 ，，求 面积的最大值。 四、巩固练习 1．在 中，角 、、 的对边分别为 、、，且 ，，求 周长的最大值。 2．在锐角三角形 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且满足 ，，求 面积的最大值。 3．在 中，已知 ，，。（1）求 ；（2）若 为 上一点，且 ，求 的面积。 4．在 中，、、 分别为三个内角 、、 的对边，。若 的外接圆面积为 ，求 周长的最大值。 5．设锐角三角形 的三个内角 、、 的对边分别为 、、，且 ，，求 周长的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形中的周长面积问题 一、知识点梳理 （一）两个基本量： 与 周长涉及 ，面积涉及 ，余弦定理把它们串在一起：由 与 得 。 已知 与 时，它就是 与 的一个等式，再配不等式即可求周长或面积的最值（范围）。 与 之间还有一层约束：，即 。求出的范围若越过这条界线，说明取值取不到，必须回代检验。 （二）求最值（范围）的两条主路 一是基本不等式：把余弦定理整理成含 或 的形式，用 或 放缩，等号通常取在 。 二是化角：由 、、 把目标化成单角三角函数，再用两角和的正弦公式反用（即辅助角公式）合成 。目标为对称量（、）时用不等式更直接；带锐角约束或目标含 等非对称式时只能化角。 化角的具体步骤：先把 、 代入，再用 把两角并成一角，最后整理成一个正弦型函数。不要一上来就套公式，先把角统一。 （三）先定角，再定范围 先用边角互化把已知条件化成一个确定的角，这一步不做完，后面的最值讨论无从谈起。求角常用：齐次化后换边再逆用余弦定理；含 则两次余弦定理相加化为边；含 先切化弦。 角定下来后 值也定，余弦定理里的系数成为常数，剩下的就是纯代数或纯三角的最值问题。 先定角还有一个好处：角一旦确定， 也确定，、 与 、 成正比，对称量与非对称量之间的换算都随之确定。 （四）锐角约束与端点取舍 出现「锐角三角形」就把它翻译成角的开区间：如 ，由 与 、 得 。 开区间意味着最值往往取不到，答案写开区间；无锐角约束时等号通常能取到，写闭区间或「最大值」。面积还有天然下界（三角形必须存在），写范围时别漏这一端。 收口三步：先把目标写成单角的表达式，再由「锐角」或「内角和」写出该角的区间，最后把区间端点代回表达式得到范围的端点；表达式在区间上单调时，端点值就是最值。 二、方法导语 本讲只用教材的正弦定理、余弦定理与面积公式。周长面积问题可统一成：先把已知条件化成一个确定的角，再用余弦定理把 、 串起来——求最值配基本不等式，求范围就化成一个角的三角函数。对称量（、）走余弦定理加不等式，角的量（、）走正弦定理，再用两角和公式反用合成一个正弦型函数。 下结论前自查三件事：题目给的角求出来了没有；不等式放缩的方向对不对、等号能不能取到；最后一问的答案该写闭区间还是开区间（有没有「锐角」这类约束）。 三、典型例题 例1　对边对角模型：基本不等式求面积最大值 已知 、、 分别为 的三个内角 、、 的对边，且 。（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值。 ①化角求 　用正弦定理把 与 换成角，约去 后只剩含 的方程。 ②用余弦定理接上 　写 ，用 把 卡出一个上界。 ③代面积公式收口　面积只与 和 有关，把 的上界代进去即可。 注：已知角与其对边（对边对角模型）时， 是联系 与 的唯一通道，配 就能把 控制住。 【答案】（1）；（2）最大值为 。 （1）由正弦定理， 化为 。 因为 ，所以 ，两边约去 得 ，即 。又 ，所以 。 （2）由余弦定理 ，又 、，得 ， 当且仅当 时取等号，所以 。 所以 ， 即 面积的最大值为 。 变式1　已知面积求边：先算 再用余弦定理 在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、， 的面积为 ，，且 ，求 。 ①用面积求 　由 解出 。 ②用条件求 　把 代进 ，不必分别求出 、。 ③余弦定理求 　 中三项都已知。 【答案】。 由 得 ，所以 。 所以 。 由余弦定理 ，所以 。 例2　对边对角模型：基本不等式求周长最大值 在 中，。（1）求角 的大小；（2）若 ，求 周长的最大值。 ①正弦平方化边　由 等把三个正弦的平方换成边的平方，得到 、、 的二次关系。 ②读出 　把二次关系整理成 的形式，直接对照余弦定理求 。 ③把 单独拎出来　余弦定理写成 ，再用 反解 的上界。 注： 使 ，余弦定理里 变成 ，于是 。这个符号必须算准，它是整道题的枢纽。 【答案】（1）；（2）最大值为 。 （1）由正弦定理 ，，，把已知式两边同除以 得 ，即 。 由余弦定理 。 又 ，所以 。 （2）由余弦定理 。 又 ，所以 。 因为 ，所以 ， 解得 ，当且仅当 时取等号。 所以 的周长 ，最大值为 。 变式2　已知两边之和：先放缩求角的范围，再求面积最大值 在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，。（1）求角 的取值范围；（2）求 面积的最大值。 ①把 换成和与积　余弦定理里用 ，于是等式只含 与 。 ②对 放缩　由 把 的上界代入，得到 的下界，从而定出 的范围。 ③用 求面积最值　把面积化成 ，利用 的单调性求最大值。 【答案】（1）；（2）最大值为 。 （1）由余弦定理 。 把 、 代入得 ，即 ，所以 。 因为 ，所以 ，即 。 又 ，所以 。 （2）由（1）得 ，所以 。 因为 ，而 在 上单调递增， 所以 。 所以 面积的最大值为 。 例3　化为单角三角函数求取值范围 在 中，角 、、 的对边分别为 、、，已知 。（1）求角 的大小；（2）求 的取值范围。 ①降次化正弦　用 把三个二倍角全部降次，整理出 。 ②化边再用余弦定理　三个正弦的平方同次，用正弦定理换成边的平方，再对照余弦定理求 。 ③合成单角三角函数　由 把 也换成 的式子，用辅助角公式合成 。 注：目标式里有 这种非对称结构，基本不等式用不上，只能走化角这条路；化完一定要把 的取值范围写准，它来自 且 、。 【答案】（1）；（2）取值范围为 。 （1）由 、、，已知式化为 ， 整理得 。 由正弦定理得 ，再由余弦定理 。 又 ，所以 。 （2）由 得 ，即 ，所以 。 由 ，得 。 因为 ，所以 ，从而 。 所以 ， 即 的取值范围为 。 变式3　锐角约束下的面积取值范围 已知 的内角 、、 的对边分别为 、、，且 。（1）求角 的大小；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围。 ①切化弦并通分　把左边写成 ，与 合并后分子正好是 。 ②化角约项求 　用正弦定理把 换成 ，约去 、 后解出 。 ③锐角定范围　由 把面积写成只含 的式子，再用「锐角」给出 的开区间。 【答案】（1）；（2）。 （1）由 及切化弦，得 ，即 ， 也就是 。 因为 ，再由正弦定理 ，得 。 因为 ，，所以 ，又 ，所以 。 （2）由（1）得 ，即 。 因为 为锐角三角形，所以 且 ，解得 。 由正弦定理 ，所以 。 又 ，所以 。 因为 ，所以 ，从而 。 所以 面积的取值范围是 。 例4　先相加化边求角，再求面积范围 在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，已知 。（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的取值范围。 ①两次余弦定理相加　 用余弦定理展开相加后 、 相消得 ，已知式立刻化为 。 ②约去 定角　因为 ，约掉 得 ，从而定出 。 ③求 的上界　余弦定理写成 ，用 得 ，再代面积公式。 注：面积的下界不要漏： 是三角形存在的前提，所以面积的取值范围是 而不是 。 【答案】（1）；（2）。 （1）由余弦定理展开相加得 ，已知式化为 。 因为 ，所以 。又 ，所以 。 （2）由余弦定理 及 ，得 ，当且仅当 时取等号，所以 。 所以 ，又 。 所以 面积的取值范围是 。 变式4　平方差求角，再在 最大时求面积 的内角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，，求当 取得最大值时 的面积。 ①用平方差　左边是 ，展开整理出 。 ②余弦定理求角　对照余弦定理得 ，进而得到 。 ③基本不等式求 上界　把 代回，用 解出 的最大值及其取等条件。 【答案】。 由 得 ， 即 ，所以 。 由余弦定理 ，又 ，所以 ，。 由 及 得 。 又 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号。 所以当 取得最大值 时， 。 例5　中线条件加基本不等式求面积最大值 在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、，已知 。（1）求角 ；（2）若 为 的中点，且 ，求 面积的最大值。 ①用正弦定理换掉 　由 把右边的 换掉，再用余弦定理把 换成 ，等式两边都只剩 与角。 ②约项求 　约去 得 ，因为 ，得到 ，定出钝角 。 ③中线向量式接上 、　由 平方，把 化成 、 的等式，再用基本不等式求 上界。 注：中线条件用向量式最省事： 平方后恰好把 、 与 串成一个等式，不必分别在两个小三角形里用余弦定理。 【答案】（1）；（2）最大值为 。 （1）由正弦定理 ，所以 ，已知式化为 ，即 。 由余弦定理 ，所以 。 因为 ，所以 。又 ，所以 。 （2）因为 为 的中点，所以 ，两边平方得 。 把 、 代入，得 ，即 。 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号。 所以 ， 即 面积的最大值为 。 变式5　对边对角模型：求面积最大值（换一组数据） 已知 的内角 、、 的对边分别为 、、，且 ，，求 面积的最大值。 ①化角　用正弦定理把边换成正弦，并用 合并左边。 ②约去 求 　化为 ，约去 得 。 ③不等式求 上界　由 得 ，再代面积公式。 【答案】最大值为 。 由正弦定理， 化为 ， 即 ，所以 。 因为 ，所以 ，从而 。 又 ，所以 ，得 ，。 由余弦定理 及 ，得 ，当且仅当 时取等号，所以 。 所以 ，即面积的最大值为 。 四、巩固练习 1．在 中，角 、、 的对边分别为 、、，且 ，，求 周长的最大值。 【答案】最大值为 。 由正弦定理， 化为 ，即 ， 所以 。 由余弦定理 ，又 ，所以 。 由余弦定理及 ，得 ， 所以 ，当且仅当 时取等号。又三角形两边之和大于第三边给出 。 所以 的周长 ，最大值为 。 2．在锐角三角形 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且满足 ，，求 面积的最大值。 【答案】最大值为 。 由 得 ， 即 。 由余弦定理 ，又 ，所以 。 由余弦定理及 ，得 ，当且仅当 时取等号。 此时 ， 为等边三角形，符合锐角三角形的条件。 所以 ，即面积的最大值为 。 3．在 中，已知 ，，。（1）求 ；（2）若 为 上一点，且 ，求 的面积。 【答案】（1）；（2）。 （1）由余弦定理 ， 所以 。 由正弦定理 ，得 。 （2）由（1）得 ，所以 。 在 中，。 因为 、，所以 。 所以 。 4．在 中，、、 分别为三个内角 、、 的对边，。若 的外接圆面积为 ，求 周长的最大值。 【答案】最大值为 。 由正弦定理， 化为 ， 即 。 因为 ，所以 。又 ，所以 ，得 ，由 得 。 由外接圆面积为 得外接圆半径 ，所以 。 由余弦定理 ，所以 。 因为 ，所以 ，解得 ，即 ，当且仅当 时取等号。 所以 的周长 ，最大值为 。 5．设锐角三角形 的三个内角 、、 的对边分别为 、、，且 ，，求 周长的取值范围。 【答案】。 因为 为锐角三角形，所以 ，，。 由 得 ，即 ；又 满足 ，即 。两式联立得 。 由正弦定理 得 ； 由 得 。 所以周长 。 令 ，则 。函数 在 上单调递增， 所以 ，即 。 所以 周长的取值范围为 。 学科网（北京）股份有限公司 $