解三角形周长和面积的取值范围(最值)问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

解三角形周长和面积的取值范围(最值)问题 专题一 解三角形 : 角取值问题 4 专题二 解三角形 : 边取值问题 11 专题三 解三角形 : 三角形周长取值问题 18 专题四 解三角形 : 三角形面积取值问题 25 专题五 解三角形 : 几何应用问题 32 知识点归纳 1、 正余弦定理 在中，、、分别是角、、所对的边，为外接圆的半径 1、正弦定理： （1），，（边化角公式） （2）（角化边公式） （3） 2、余弦定理： ， ， ； ， ， ； 3、三角形面积公式 2、 常见结论: 1. 三角恒等变换公式：和差角公式、二倍角公式、辅助角公式（，其中），是化简三角函数式、求最值的关键手段. 2. 角的约束：△中， 若，则 、、， 3. 边的约束：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 即、. 4. 三角函数值约束：△,由,例如三角形内角A : 若，>0 ,则 A为锐角;若，< 0 , 则A为钝角;若 = 1,= 0,则A为直角. 3、 易错点: 1． 忽略角的取值范围导致最值偏差 易错点：将角的范围简单等同于，未结合题目条件缩小范围.例如，已知，则，若进一步已知，则，故、. 辨析：求与角相关的三角函数最值时，需先根据已知条件（如边的大小关系、角的已知值）确定目标角的准确范围，再结合三角函数单调性求最值.例如，在上单调递增，最大值小于，而非. 2． 误用均值不等式的前提条件:“一正、二定、三相等” 易错点：使用均值不等式求最值时，未验证“一正、二定、三相等”是否成立. 4、 常见思路方法: 1. 函数法（转化为三角函数） 三角函数法：利用正、余弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换将表达式化为或的形式，再根据角的取值范围求最值. 示例：在△中，已知，求的最大值. 解析：由得， 则， 结合，当时，最大值为. 2. 均值不等式法 适用场景：表达式中存在边的乘积或平方和形式，且满足均值不等式的“一正、二定、三相等”条件.核心是利用、、等公式转化求解. 注意：使用时需明确等号成立的条件，且该条件需符合三角形的存在性. 3. 几何法（外接圆或图形直观） 外接圆法：对于已知一边及对角的问题，可利用正弦定理将边与外接圆半径关联，结合圆周角的性质分析角的范围，进而求最值.例如，已知、，则点在以为弦、圆周角为的外接圆上，通过圆的性质可直观判断或的最值. 图形法：通过构造三角形，结合已知条件画出图形，利用图形的直观性分析边或角的取值范围.例如，已知两边之和为定值，分析第三边的取值范围时，可结合三角形三边关系直观判断. 专题一 解三角形 : 角取值问题 【例1】（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由（1）可知，所以，所以将转化为同一个角的三角函数，最后求其值域即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得： ，所以， 由于在中，，所以， 即，又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 由于在锐角中，，所以， 所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 【变式1-1】（2025·湖南益阳·一模）已知锐角三角形中，内角的对边分别为，且 （1）求角的大小． （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域. 【详解】（1）由， 利用正弦定理可得， 可化为， . （2） ， ，， ，. 【变式1-2】（23-24高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数的最小正周期为. (1)求在上的单调递增区间； (2)在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可； （2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得继而得到整体代入求函数值的范围即可. 【详解】（1） . 因为所以 故. 由 解得 当时又 所以在上的单调递增区间为. （2）由 得（ 所以. 因为所以 又所以 又三角形为锐角三角形，则，则，所以， 又，， 则， 所以的取值范围为. 【变式1-3】（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 【变式1-4】（23-24高三上·广东广州·阶段检测）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据已知角化边可得，然后根据余弦定理求出，根据的范围，即可得出答案； （2）化简得出.然后根据两角差的正弦推得.进而由已知得出，即可得出，即可得出答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 整理得， 所以， 且，故. （2） ， 由，可得. 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 则，即，则， 所以的最小值是． 【变式1-5】（2023高三下·湖南·阶段检测）在锐角中，内角所对的边分别为，，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再利用三角恒等变换即可得出证明；（2）根据题意可得，再根据三角形形状可知，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，所以． 又，所以， 所以， 所以， 两边同时除以可得， 所以． （2）因为，所以， 所以，所以，． 又为锐角三角形，所以， 所以，即 ． 令，则， ． 当，即时，，， 的最小值为8． 专题二 解三角形 : 边取值问题 【例1】（23-24高一下·陕西铜川·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用辅助角公式可得； （2）利用正弦定理可得，再由并利用三角函数单调性可求得的取值范围． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，因为， 所以，即， 可得． （2）由正弦定理得， 即，且， 所以． 因为为锐角三角形，，所以， 所以，即． 可得， 即的取值范围为． 【变式1-1】已知在中，、、分别为角、、所对的边，且. （1）求角的值； （2）若，则求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为0求出的值，即可确定出的度数． （2）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简为一个角的一个三角函数的形式，通过角的范围求出三角函数的值的范围即可． 【详解】（1）在中，， ， 利用正弦定理可得， ∴， ∴，即，又， ∴，∴； （2）若，则由正弦定理可得：， ∴ ， 由于，∴， ∴，∴. 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题． 【变式1-2】（25-26高二上·福建·期中）在中，分别是角的对边，且 （1）求角的大小； （2）若，求实数b的取值范围． 【答案】（1）（2） 【知识点】基本（均值）不等式的应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，结合三角恒等变换的公式，化简得到，即可求解； （2）由余弦定理得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得， 即 即， 因为，可得， 所以，即 因为，所以， 又因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理得 ＝，所以， 又因为，所以 ，即的取值范围为． 【变式1-3】（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解； （2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可. 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 【变式1-4】（2024·四川攀枝花·一模）的内角，，的对边分别为，，，且满足=． （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】三角恒等变换的实际应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】(1)先化切为弦，再利用三角恒等变换、正弦定理化简，可得答案. (2)利用余弦定理和均值不等式求解，也可以利用正弦定理和三角函数的性质求解. 【详解】（1）， . . . 由正弦定理得. ，. ，. ，. （2）方法一：，， 由余弦定理得， . 由基本不等式得（当且仅当时“”成立）， ，则，即的最小值为. 方法二：，，， 由正弦定理得， . . ，，则. ，则的最小值为. 【点睛】本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理、最值的求法等，一般需综合利用三角恒等变换和三角函数的性质进行解题. 【变式1-5】（2024高一下·浙江杭州·期中）在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，然后利用同角关系式即得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，结合条件可得，进而即得范围，最后换元应用单调性可解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴（舍），. （2）∵， ∴， ∴ ∵为锐角三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 令， 单调递减，单调递增， 当，当， 专题三 解三角形 : 三角形周长取值问题 【例1】若，，求周长的取值范围．建议使用两种方法来解决： 法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系． 法二：正弦定理＋辅助角公式． 【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果； 方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果. 解：方法一：由余弦定理得：， 又（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号），又， ， 周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理得：， ， ， ，， ，即周长的取值范围为. 【变式1-1】（2024高一下·浙江台州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为,且． (1)求角的⼤小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）对已知条件的边换成角，结合三角公式求出，根据的范围得出角的度数； （2）根据正弦定理，将边用角来表示，转化成三角函数的值域问题的求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 又，， 则， 化简得， 又，所以，则， 因为， 所以； （2）由正弦定理得：， ∴，， ∴， ； 为锐角三角形， ∴， 解得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即△ABC的取值范围为. 【变式1-2】（2024高一下·重庆万州·阶段检测）在锐角中，分别是角所对的边，，且. (1)求； (2)若周长的范围 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和二倍角正弦公式化简已知等式可求得，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式和辅助角公式可得，利用正弦型函数值域的求法可求得的范围. 【详解】（1）由得：， 由正弦定理知：，又，， ，又，，， ，，，则，，解得：. （2）由正弦定理得：，，， ； 为锐角三角形，，解得：， ，，， 即周长的取值范围为. 【变式1-3】（2024高二上·云南楚雄·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本（均值）不等式的应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理可得结果； （2）由余弦定理及均值不等式即可得到结果. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴； （2）由余弦定理， 得， 即． 因为， 所以．即（当且仅当时等号成立）． 所以． 故周长的最大值. 【变式1-4】（2023·陕西·模拟预测）的内角的对边分别为． (1)求； (2)若，求的周长最小值． 【答案】(1) (2)9 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角的值； （2）根据（1）中等式结合基本不等式求周长的最小值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理知， 且，所以． （2）由（1）可知：，整理得， 且，当且仅当时，等号成立， 则，即，可得， 所以的周长最小值. 【变式1-5】（23-24高一下·河南洛阳·阶段检测）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值，即可求出角； （2）法一：根据正弦定理可得，根据三角恒等变换化简可得，再根据的范围求解即可；法二：过点作，垂足为，根据直角三角形性质结合图形分析求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 整理得，所以， 又，所以． （2）法一：由（1）知，即． 因为为锐角三角形，所以解得． 由正弦定理，得， 则 ， 当时，，则． 又， 所以，所以， 所以，即， 所以周长的取值范围是． 法二：（数形结合）过点作，垂足为， 在直线上取一点，使，则与均为直角三角形． 为锐角三角形， 点在线段上（不含端点）． 在中，，易得， ，周长为； 在中，，易得，周长为， 所以周长的范围是． 专题四 解三角形 : 三角形面积取值问题 【例1】若，，求的最大值．建议使用两种方法来解决： 法一：余弦定理＋不等式． 法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式． 【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得最大值； 方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值. 解：方法一：由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， （当且仅当时取等号），的最大值为； 方法二：由正弦定理得：， ； ， ， ， ， ， 的最大值为. 【变式1-1】已知的三个角 的对边分别为 ，已知 ，． (1)求 面积的最大值； (2)求 面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用余弦定理，再结合基本不等式即可求解； （2）利用正弦定理，，，把 的面积转化为三角函数求解取值范围. 【详解】（1）由余弦定理可得 ，即， ，所以（当且仅当时取等号）， 即 面积的最大值为. （2）由正弦定理可得，，，， 所以， 又， ，， 故 ， 所以， 故的取值范围为. 【变式1-2】（2024高二上·河南开封·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：． (1)求角的大小； (2)若时，求面积的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到角度. （2）根据正弦定理得到，，带入面积公式化简得到，根据角度范围得到面积范围. 【详解】（1），即， 整理得到：，故，，故. （2）根据正弦定理：，故，， ，，故，， 故面积范围为：. 【变式1-3】（2023·江西·二模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可； （2）由题知，进而结合正弦定理得，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）解：因为 所以 整理可得， 所以，由正弦定理可得：. 由余弦定理知，， 因为，所以 （2）解：由（1）知，，所以， 又是锐角三角形， 所以，且，解得， 因为，由正弦定理知：，， 所以 所以 因为， 所以，所以 所以，面积的取值范围为. 【变式1-4】（23-24高三上·江苏连云港·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形得内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再结合三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 即， 又，则，所以， 又因，所以； （2）由余弦定理得， 即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 即面积的最大值为． 【变式1-5】（25-26高一下·山东枣庄·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. (1)求角C的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知数量积求模、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）解法一：根据余弦定理结合可求得，进而根据三角形的面积公式求解即可；解法二：根据结合平面向量的数量积的运算律可得，再根据余弦定理求得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）利用等面积法可得，再根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由 根据正弦定理，得， 则， 因为，所以，则，故. （2）解法一：因为，N为的中点，则， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，解得， 故的面积为； 解法二：因为N为的中点，则， 所以， 即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. （3）因为，角C的角平分线交于D点， 所以，又， 则由，得， 所以，由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故面积的最小值为. 专题五 解三角形 : 几何应用 【例1】（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 【例2】（25-26高一下·上海·期中）如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 【答案】(1) (2)，；的最小值为. 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、几何中的三角函数模型 【分析】（1）过点作，垂足为，求得，利用矩形面积公式求解； （2）由题求出，，利用矩形面积公式求出，换元令，得到关于的二次函数，利用二次函数性质求出最小值. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为， 当时，，， 所以，， 所以. （2）因为，，所以，， 所以，， 因为， 令，则，即， 因为，所以，故，即， 所以，， 所以当时，取得最小值. 【变式1-1】（25-26高一上·四川广安·期末）如图，是半径为的半圆的直径，点、在弧上，若，则四边形周长的最大值为_____． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的实际应用、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】连接，分别取、的中点、，连接、，则，，设，求出、关于的表达式，利用二倍角的余弦公式以及二次函数的基本性质可求得四边形周长的最大值. 【详解】连接，分别取、的中点、，连接、，则，， 设，因为，则，所以，故， 因为，为的中点，所以，， 同理可知，， 所以， ， 所以四边形的周长为 ， 由题意可知，可得，所以，则， 令，令，则， 故当时，函数取最大值为，所以四边形周长的最大值为. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、余弦定理解三角形 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 【变式1-3】（2025·浙江温州·一模）△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为. (1)写出的解析式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、三角形面积公式及其应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由题意可得，利用，，求得两边，进而可求得面积； （2）利用三角恒等变换可求得的最小值. 【详解】（1）因为在矩形CDEF中，，，所以， 因为△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，所以， 由，可得，由，得， 所以，； （2）由（1）知， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，. 【变式1-4】（23-24高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【知识点】正、余弦定理的其他应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 【变式1-5】（2026高三上·北京·开学考试）如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角.在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险.已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点. (1)若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； (2)已知高压气旋半径.规定：视为安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行. 【答案】(1) (2) 不能全程安全飞行 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）先在中利用三角形内角和求出，确定为等腰三角形，再结合已知求出，在中利用正弦定理求解的长度，结合无人机速度即可求出的值. （2）将安全飞行条件转化为二次不等式恒成立问题，通过求解二次函数在定义域内的最小值，判断不等式是否恒成立即可得到结论. 【详解】（1）∵ 在中，，， ∴ ，即， ∴为等腰三角形，. ∵ 在航线上，故三点共线，， 又，∴ . 在中，. 由正弦定理得， 代入数值：，，， ∴ . ∵ 无人机速度为，飞行时间为，故， ∴ ，解得. （2）由题意，安全飞行的条件为对任意恒成立，即恒成立. 由余弦定理得， ∴ 不等式化为，即. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 的最小值为， 即存在时，，不满足的安全条件， ∴ 无人机不能在避险航线上全程安全飞行. 1 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形周长和面积的取值范围（最值）问题 专题一解三角形：角取值问题.… .4 专题二解三角形：边取值问题. 7 专题三解三角形：三角形周长取值问题… .10 专题四解三角形：三角形面积取值问题13 专题五解三角形：几何应用问题16 》 知识点归纳 一、正余弦定理 在△MBC中，a、b、C分别是角A、B、C所对的边，R为△MBC外接圆的半径 a b l、正弦定理：sinA sin B sinC a=2Rsin A b=2Rsin B c=2Rsin C (1) (边化角公式) sinA= (2) 2R'sin B=b R,sinc=c 2R(角化边公式) a:b:c=sin A:sin B:sin C (3) 2、余弦定理： a2=b2+c2-2bccos A b2=c2+a2-2cacos B c2=a2+b2-2abcosC 1 COSA=+c-a2 2bc COsB=+c2-b2 2ac, CosC=a+b2-c2 2ab; 3、三角形面积公式 SbesinA csin B absin C 2 二、常见结论： 1.三角恒等变换公式：和差角公式、二倍角公式、辅助角公式( asin0+6cos0=vG+Fsmn0+列.其中m=合 a),是化简三角函数式、求最值 的关键手段 2.角的约束：△ABC中， 若A+B+C=元，0<AB,C<π则 A=x-(B+C)sin 4=sin(B+C)cos A=-cos(B+C) 3.边的约束：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 即a-ckb<a+c、|b-cka<b+c 4.三角函数值约束：△ABC,由0<A,B,C<π，例如三角形内角A: 若sinA>0,cosA>0,则A为锐角；若sinA>0,cosA<0,则A为钝角；若sinA>0 =1,c0sA=0,则A为直角. 三、易错点： y 1.忽略角的取值范围导致最值偏差 π A= 易错点：将角的范围简单等同于(0，π)，未结合题目条件缩小范围例如，已知了， B+C=2π 3,若进一步已知b<c,则B<C,故 0<B<行晋<C<2 3、3 3. 辨析：求与角相关的三角函数最值时，需先根据已知条件（如边的大小关系、角的已知 值)确定目标角的准确范围，再结合三角面数单调性求最值例如，y=$nB在0，了上 πV3 单调递增，最大值小于sin “32，而非 2.误用均值不等式的前提条件：“一正、二定、三相等” 易错点：使用均值不等式a+b之2b求最值时，未验证“一正、二定、三相等”是否成 立 四、常见思路方法： 1.函数法（转化为三角函数） 三角函数法：利用正、余弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换将表达式化为 y=Asin(@0+)+B y=Acos(@0+)+B 或 的形式，再根据角的取值范围求最值. ,A 示例：在△ABC中，已知3，求sinB+sinC的最大值. 、B+C= 2πmC=20-B 解析：由 3得3 B+nC=snB+sn(2子-)=5si(8+ 则 请合0B,当公-否时，限大防5 2.均值不等式法 适用场景：表达式中存在边的乘积或平方和形式，且满足均值不等式的“一正、二定 三相等”条件.核心是利用a2+b2≥2ab、 s生.生 等公式转化求解. 注意：使用时需明确等号成立的条件，且该条件需符合三角形的存在性. 3.儿何法（外接圆或图形直魂） 外接圆法：对于已知一边及对角的问题，可利用正弦定理将边与外接圆半径关联，结 BC=aA=a A 合圆周角的性质分析角的范围，进而求最值.例如，已知 ,则点在以 BC X AB+ACAB·AC 为弦、圆周角为的外接圆上，通过圆的性质可直观判断 或 的最 值. 图形法：通过构造三角形，结合己知条件画出图形，利用图形的直观性分析边或角的 取值范围.例如，己知两边之和为定值，分析第三边的取值范围时，可结合三角形三边关系 直观判断. 4 专题一解三角形：角取值问题 【例1】(2024北京石景山一模)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 2bsinA-3a=0 (1)求角B的大小： (2)求cosA+cosC的取值范围. 【变式1-1】(2025湖南益阳一模)己知锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为 2a-b cosB a,b,c,且e cosC (1)求角C的大小. (2)求函数y=sinA+sinB的值域. J 【变式1-2】(23-24高三上·山东潍坊阶段检测)已知函数 了树-s面ar+号m2ao>0)的量小i调装为红 )求f)在0上的单调递增区间， ②在锐角三角形1C中，内角4B,C的对边分别为a,c日2a-c)eosB=h-cosC求 A的取值范国， 【变式1-3】(2026山东淄博·一模)已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且满足 acosB+bcos4=2 sinc (1)求角C: (2)求sinA+sinB+sinC的取值范围. 6 【变式1-4】(23-24高三上·广东广州阶段检测)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,且(b+c)(sin B+sinC)=asin A+3 bsinC. (1)求角A: 1 1 (2)求anB+anc的最小值. 【变式1-5】(2023高三下湖南阶段检测)在锐角△ABC中，内角4，B,C所对的边分别为 a,b,c. 1+1=2 (I)若2=2 accosB,证明：tand tanc tanB: (2)若a=2 bsinC,求tanAtanBtanC的最小值. > P 专题二解三角形：边取值问题 【例1】(23-24高一下陕西铜川期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,C,且 acosC+3asinC=b+c (1)求A; (2)若△ABC 为锐角三角形，且 b+c=43 3,求“的取值范围. 【变式1-1】已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 (6-2e)-cosA-a-2a-cosR (1)求角A的值： (2)若a=V 3,则求b+C的取值范国， 0 【变式1-2】(25-26高二上福建期中)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 cos B 6 cosC 2a+c (1)求角B的大小： (2)若a+c=1,求实数b的取值范围. 【变式1-3】(2026山东淄博·一模)己知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别 acosB+bcos4= 2 csinC 为a,b,c,且满足 3 (1)求角C: (2)求sinA+sinB+sinC的取值范围， 10 【变式1-4】(2024四川攀枝花·一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C, A tan asin bcos C 且满足 2 2 acos 2 (1)求B: (2)若b=6,求a2+c2的最小值. 【变式1-5】(2024高一下浙江杭州期中)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b, ,S为△1BC S=a2-(b-c)2 的面积，且 (I)求sinA的值： b2+c2 (2)求c的取值范围。 11 个 t 专题三解三角形：三角形周长取值问题 【例1】若4一骨，a=3,求ABC周长的取值范周。建议使用两科方法来解决： 【变式1-1】(2024高一下浙江台州期中)在锐角三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,6c,且V5(b-acosC9)=esind (1)求角A的大小： (2)若a=2,求△ABC周长的取值范围. 13 【变式1-2】(2024高一下重庆万州阶段检测)在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C B+C 所对的边，csin 2 =simC,且a=1 (1)求A: (2)若△ABC周长的范围 【变式1-3】(2024高二上·云南楚雄·阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 sin A-sinC b a,b,c,sin B-sinc a+c (1)求角A的大小： (2)若a=2,求△ABC周长的最大值 14 【变式1-4】(2023陕西模拟预测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a.b.c.c-b sinA a-b sinC+sinB· (1)求C; (2)若a+b=6,求△ABC的周长最小值. 【变式1-5】(23-24高一下河南洛阳阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 sinB a,b,c,且sinA+sinC b+C· (1)求角C的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，且b=4,求△ABC周长的取值范围. 15 9I 专题四解三角形：三角形面积取值问题 【例1】若4-骨，a=3,求Sc的最大值。建议使用两种方法米解决： 【变式1】已知。ABC的三个角么RC的对边分别为a6e,已知4=号， 3’a=2 (I)求△ABC面积的最大值： (2)求△ABC面积的取值范围. 【变式1-2】(2024高二上河南开封·期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别 17 为a,b,C.且满足： 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C (1)求角A的大小： (2)若a=3时，求△ABC面积的范围. 【变式1-3】(2023江西二模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 sinAsinB+cos24+cos2B+sin2C=2 (1)求角C: (2)若△ABC为锐角三角形，且b=2,求△ABC面积的取值范围. 【变式1-4】(23-24高三上：江苏连云港·阶段检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 18 a,b,c,已知b=acosC+csin A. (1)求A: (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 【变式1-5】(25-26高一下山东枣庄期中)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 b、c,满足a cos B+bcos A=2 ccosC (1)求角C的大小： ②考©=4，B边上的中线CN的长为7，求△M8C的面积： (③)若内角C的角平分线交4B于D点，且CD=V5,求△MC 面积的最小值 19 专题五解三角形：几何应用 【例1】(2024：上海高考真题)已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， BC=CD ,存在点A满足 ←MC=16.5P,∠DMC=37,则∠BC1E (精确到0.1度) B 【例2】(25-26高一下·上海·期中)如图，有一块正方形铁皮ABCD,其边长为4米，阴 影部分AMN是一个半径为3米的扇形设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好. 工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在BC与CD上的矩形铁皮POCR,使点P在 ∠MAP=0≤0≤ 弧MW上.设 矩形PQCR的面积为S平方米， D P M B 20 Q)当9-胃时，求矩形PQCR的面积s: (2)写出矩形POCR的面积S关于O的函数表达式，并求出S的最小值， 【变式1-1】(25-26高一上四川广安·期末)如图，AD是半径为2的半圆O的直径，点B、 C在我D上，若M=BC,则四边形BCD0周长的最大值为一 【变式1-2】(2425高三上·上海金山期末)某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中 O是圆心，直径MN为400米，P是弧N的中点.一个急救中心A在栈桥OP中点上，计 划在弧NP上设置一个瞭望台B,并在AB间修建浮桥.己知∠ABO越大，瞭望台B处的视 线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为. 米.（结果精确到1米） 21 【变式1-3】(2025浙江温州一模)△ABC的顶点A,B分别在矩形CDEF的边DE,EF 上运动：且cD=5:DE-1,ACB= 4,记∠ACD=0,△ABC的面积为f(O) B (1)写 f(0) 的解析式： ②求0的最小值 【变式1-4】(23-24高一下·上海奉贤·期中)某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图 ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区 域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB,BC,CD,DA修建观赏步道， 边BD修建隔离防护老，其中CD=100米，BC=200米，4-号 3· D C 烧烤区 花卉观赏区 22 (1)若BD=250米，求角C的余弦值： (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防 护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大 时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【变式1-5】(2026高三上北京·开学考试)如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航 线为折线AOB,先从A飞向航线拐点O,抵达O后转向沿OB继续飞行，两段航线OA, OB夹角乙408-否在实标飞行，无人机飞行至点C时，测得在距离点C0m的点0 处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其 半径逐步扩张为避开危险，无人机立刻在C点转向，临时调整为沿直线飞往航线OB上的 点D降落避险.已知避险航线CD与原航线OA的夹角为0-。，无人机以2m/mim的速度 从点C出发在航线CD上飞行tmin到达点E. B (1)若无人机从E观测O:D两点，测得视角∠0BD=平 4,求1的值： (2)已知高压气旋半径r=1km规定：OE>r视为安全飞行试通过计算判断无人机在避险航 线CD上能否全程安全飞行. 23