四川南充高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

南充高中高2026级高一上学期第一次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D C B A D C AD ACD ABD 1．【答案】B 【详解】由，可得. 2．【答案】C 【详解】由题集合，故的真子集个数为. 3．【答案】D 【详解】命题“”的否定是“”. 4．【答案】C 【详解】若，则，所以或.即或. 5．【答案】B 【详解】由可得，但是当，取a=3,b=0,得不到 6．【答案】A 【详解】设天平左臂长为a，右臂长为b（其中），先称的的黄金为x克，后称的的黄金为y克，则有，故有 所以（由于，故不能取等号） 7．【答案】D 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为：故选：D 8．【答案】C 【详解】若时，，则，则， 这与题意矛盾，故不满足题意；故. 设A中元素的个数为， 则B中元素的个数为，且， 由且，得，. ①当时，则，又，所以，满足题意； ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则；以上情况都满足题意； ③当时，即，则，， 但此时，故产生矛盾，所以不满足题意； ④当时，则由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有个，即不同集合的个数有个； ⑤当时，则由，得， 又，所以，满足题意； 综上，满足条件的所有不同集合A的个数为.故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且. 9．【答案】AD 10．【答案】ACD 【详解】易知，故，所以，，. 故，中元素个数为，，故A正确，B错误，C正确，D正确. 11．【答案】ABD 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B正确； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 12．【答案】 【详解】因为，则，所以.故答案为：. 13．【答案】 【详解】由题意，集合，， 因为“”是“”的必要条件，可得， 所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：. 14．【答案】40 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得 . 当且仅当，即时取等号. 15．【详解】（1）若为真命题，则，解得. 为真命题时，实数的取值范围为...............................................................6分 （2）若q为真命题，则，即. 所以当q为假命题时，...........9分 当为真命题，为假命题时，则，解得； 所以实数a的取值范围为. .................................................................................. 13分 16．【详解】（1）当时，，因为， 则；. ............................................................................ 5分 （2）若时， 当时，即，可得；................................................................................ 7分 当时，需满足或， 解得（舍）或，即，.................................................................................. 9分 时，实数的取值范围为或．......................................................10分 （3）若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得；................................................................................12分 当时，，即， 又，解得， 又，故．..............................................................................................................14分 综上，实数的取值范围为．..................................................................................15分 17．【详解】（1）因且，两边同除以，可得，........................... 2分 ， ........................................................... 5分 ，当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为9. ........................................................................................................... 7分 （2）由题意，，设总造价为， 则 .............................................................. 10分 ............................... 13分 由解得，即当时，上式等号成立， 所以当展房正面长为12米，侧面长为9米时，总造价最低为92200元...............................15分 18．(1)是“完美集合”．..........................................................................................2分 理由如下： 因为， 所以集合是“完美集合”. ..........................................................................................5分 (2)因为集合为“完美集合”， 所以，即. .................................................................................................7分 ，解得或. 又因为，所以的取值范围为. ...............................................................11分 (3)因为，所以........................................................12分 因为， ............................................14分 当且仅当时，等号成立， 所以，即，.......................................................16分 根据集合元素的互异性， 不全相等，则， 所以集合为“完美集合”. .................................................................................................17分 19．(1)证明： 由图可知，外接矩形的长、宽分别为 ，，缺口矩形的长、宽分别为 ，，因此.............................................................................................2分 令 ，，则 又因为 均为正整数，所以 ，从而 因此即 ．.................................................................................................5分 (2)（2）当 时， 由恒等变形， 若 ，由于 均为正整数，有 ，所以... 7分 当 时，，于是 当 时，上式等于． 当 时，； 当 时，． 因此上式在 时取得最小值． 此时，故的最小值为 ........................................................ 11分 (3)证明：存在多边形使得对于任意正整数 ，取 即可得到满足题设角度条件的六边形，且 下面对任意正整数 构造相应的 ． 当时，取 此时，，所以 ．.............................................................................................12分 当，其中k为整数且时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此...........................................................................................................15分 当，其中k为整数且时，取 其中故 均为正整数． 又所以 因此 综上，对任意正整数，均存在满足的六边形．.................................... 17分 答案第8页（共8页） 答案第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2026级高一上学期第一次月考数学试卷 命审题人：高2026级中心命题组 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列的4个备选项中，只有1个符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若集合，则的真子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 3．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．已知集合，，若，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 5．已知，，则“”是“且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里要购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金一起交给顾客，记顾客实际购得的黄金为克，则与10的大小关系为（ ） A． B． C． D．与10的大小关系不确定 7．已知，为正实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设有限集所含元素的个数用表示，并规定．已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为（ ） A．3 B．6 C．10 D．64 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，为实数且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知集合，，，则（ ） A． B．中元素个数为2 C． D． 11．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为 B．的最小值为7 C．的最小值为12 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题满分5分，共15分．） 12．设，，集合，，若，则________． 13．已知，．“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是________． 14．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元．（第一空2分，第二空3分） 四、解答与证明题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知命题：，，命题：，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围． 16．（15分）已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（15分）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙（墙足够长），其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计．设展房正面长为米，侧面长为米． （1）若，满足，求的最小值？ （2）已知展房占地面积为108平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 18．（17分）有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由： （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知集合，其中，，均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 19．（17分）在六边形中，，．设，，，．记六边形的周长为，面积为．其中上述四条边长均为正整数． （1）求证：； （2）若，求的最小值； （3）求证：对任意正整数，存在满足题设条件的六边形，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $