精品解析：四川省资阳中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

高2026级第一学期10月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四组对象，能构成集合的是（ ） A. 资阳中学所有高个子的学生 B. 中国著名的艺术家 C. 一切很大的数 D. 倒数等于它自身的实数 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，资阳中学所有高个子的学生，因为高个子学生不确定，所以不满足集合的确定性，A错误； 对于B，著名的艺术家，因为著名的艺术家不确定，所以不满足集合的确定性，B错误； 对于C，一切很大的数，因为很大的数不确定，所以不满足集合的确定性，C错误； 对于D，倒数等于它自身的实数为与，满足集合的定义，D正确． 2. 给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 3. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，对已知不等式进行变形、运算，逐步推导目标代数式的取值范围． 【详解】，， ， . 所以的取值范围为. 4. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可得“”“”、“” “”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，由，得， 则“”“”； 当时，由，得， 则“” “”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求变形为，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 设，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【详解】对于①，因为，所以，，所以，①正确； 对于②，不妨取，，满足，但，②错误； 对于③，由，可得，所以，③正确； 对于④，由，得，而， 所以，即，④正确． 7. 已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据必要不充分条件定义可确定集合的包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【详解】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 8. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可得，进而根据根与系数的关系可得，然后逐项判断即得. 【详解】因为的解集是， 所以，且和4是方程等于0的两个解， 所以，即， 所以， 所以AC正确，BD错误. 故选：AC 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用将转化为关于的关系式，代入，利用基本不等式即可求出对应的最小值；对于B，利用基本不等式，并将代入即可求出对应的最小值；对于C，对运用基本不等式，再解不等式即可得求出对应的最大值；对于D，把关于的关系式代入，利用因式分解和基本不等式即可求出对应的最小值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对； ，当且仅当时，即当，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，B错； 因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，C对； ， 当且仅当即，（舍去负值）时取等号，此时取得最小值，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则的值为_________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，， 而集合的元素具有互异性，故，所以， 故答案为：0 13. 若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题的关系，将原命题等价转化成不等式的有解问题进行求解. 【详解】由题意，存在实数使得不等式成立， 所以不等式的解集非空， ①当时，，得，符合题意， ②当时，不等式对应的二次函数开口向下， 故的解集显然非空，符合题意， ③当时，因为不等式的解集非空， 所以，即，解得或， 所以或， 综上或， 故答案为： 14. 若，，成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，求得，构造不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】记题干对应的命题为，则，， 使成立． 若为真命题，设， 则可将问题转化为， 因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 又，所以，解得， 综上可知实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件化简集合，利用集合的基本运算得到结果. （2）根据补集的概念计算，利用集合的基本运算得到结果. 【小问1详解】 由题意得，，，， ∴. 【小问2详解】 由题意得，，， ∴，. 16. 解下列关于的不等式： （1）; （2） 【答案】（1） （2）当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）原不等式可化为，结合一元二次不等式解法可求结论； （2）将所求不等式变形为，对实数 a的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解. 【小问1详解】 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，原不等式为： 当时，则或 ①当时，，或 ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：当时，； 当时，或； 当时，； 当时，； 当时，.  17. 在①，②这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合_________，集合. （1）若集合的子集有2个，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 【答案】（1） （2）选择条件①或②，均能推得 【解析】 【分析】（1）根据子集确定集合元素个数，即可得实数的值； （2）根据集合与集合的关系确定集合中的元素情况，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 集合的子集有2个，集合元素个数为1 ，即解得： 【小问2详解】 选①：集合 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 选②：集合， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数的取值范围是. 18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】（1），从第 3 年开始该设备开始全年盈利； （2）方案①比较合理，理由如下： ①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 【解析】 【分析】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【小问1详解】 ， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； 【小问2详解】 方案①比较合理，理由略. 19. （1）正数满足，求的最小值. （2）借助（1）的解题方法，解决下列问题:若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）， （2），取等号的条件为，或，， （3）时，M取得最小值 【解析】 【分析】（1）由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论， （2）由（1）的方法可得，再结合比差法和的大小即可， （3）令，，可得，结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为，，所以，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以当，时，取最小值，最小值为， （2）， 则 ， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以，取等号的条件为，或，， （3）令，， 所以，即， 因为， 所以，，， 所以， 取等号时，，即，，此时， 所以时，M取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026级第一学期10月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四组对象，能构成集合的是（ ） A. 资阳中学所有高个子的学生 B. 中国著名的艺术家 C. 一切很大的数 D. 倒数等于它自身的实数 2. 给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 设，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 7. 已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则的值为_________. 13. 若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是_________. 14. 若，，成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，. （1）求，； （2）求，. 16. 解下列关于的不等式： （1）; （2） 17. 在①，②这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.设集合_________，集合. （1）若集合的子集有2个，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 19. （1）正数满足，求的最小值. （2）借助（1）的解题方法，解决下列问题:若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $