第四章一次函数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

第四章 一次函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 函数 1.1 函数的定义 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，并且对于变量 的每一个值，变量 都有唯一的值与它对应，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量。 示例：摩天轮旋转中，高度 随旋转时间 的变化而变化，对于每个确定的 ， 都有唯一的值与它对应，所以 是 的函数。 1.2 函数的三种表示方式 表格、关系式、图象是函数的三种表示方式。 示例：一次实验中弹簧长度 随质量 的变化，既可用表格列出，也可写成 的关系式，还可用图象表示。 1.3 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 ，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 时的函数值。 示例：在 中，当 时，， 就是当自变量等于 时的函数值。 2. 认识一次函数 2.1 一次函数的定义 如果两个变量 ， 之间的对应关系可以表示成 （， 为常数，）的形式，那么称 是 的一次函数。 示例：、、 都是一次函数。 注意：一次函数中自变量每增加 ，函数值就增加 ，函数值的变化是“均匀”的。 示例：在 中， 每增加 ， 就增加 。 2.2 正比例函数 特别地，当 时，称 是 的正比例函数。 示例：、 都是正比例函数； 是一次函数但不是正比例函数。 3. 一次函数的图象 3.1 函数图象的定义 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。 图1：摩天轮上某点离地面的高度 与旋转时间 的关系图象 示例：把 中各组对应值作为点的坐标描点连线，就得到 的图象。 3.2 正比例函数的图象 正比例函数 的图象是一条经过原点（0，0）的直线。因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。 图2：正比例函数 的图象 示例：画 的图象，先描出点（1，2），再过点（1，2）与原点（0，0）画直线即可。 3.3 正比例函数的增减性 在正比例函数 中，当 时， 的值随着 值的增大而增大；当 时， 的值随着 值的增大而减小。 图3：正比例函数 的图象 示例： 中 ， 随 增大而增大； 中 ， 随 增大而减小。 3.4 一次函数的图象 一次函数 的图象是一条直线，它与正比例函数 的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。一次函数 的图象也称为直线 。 图4：一次函数 与正比例函数 的图象 示例：画 的图象，分别取 、 得两点（0，1）、（1，3），过这两点画直线即可。 3.5 一次函数的增减性 一次函数 的图象经过点（0，），与函数 的图象平行。 值相同的两个一次函数图象平行。在一次函数 中，当 时， 的值随着 值的增大而增大；当 时， 的值随着 值的增大而减小。 示例：、 中 值相同，图象互相平行； 中 ， 随 增大而增大。 4. 一次函数的应用 4.1 一次函数与一元一次方程的联系 一般地，当一次函数 的函数值为 时，相应的自变量的值就是方程 的解。从图象上看，一次函数 的图象与 轴交点的横坐标就是方程 的解。 示例：方程 的解为 ，直线 与 轴交点的横坐标也是 。 4.2 用待定系数法确定一次函数的表达式 先设出函数表达式 ，再根据已知条件列出关于 、 的方程（组），解出 、，从而写出表达式，这种方法叫作待定系数法。 示例：弹簧不挂物体时长 ，挂 物体时长 ，设 ，由题意得 ，，解得 ，故 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 一次函数与正比例函数的图象关系 一次函数 的图象可由正比例函数 的图象向上（）或向下（）平移 个单位长度得到，因此两者图象始终平行。 1.2 相同则两直线平行， 相同则交于同一点 两个一次函数 、：若 ，则两图象平行；若 ，则两图象都经过点（0，），即与 轴相交于同一点。 1.3 增减性的快慢由 决定 越大，直线越“陡”， 随 增大而增大（或减小）得越快。如 比 增大得更快， 比 减小得更快。 1.4 由两点求 若一次函数 的图象经过 、（），则 ；在图象上， 每增加 ， 就增加 。 【使用提醒】两点横坐标相同时斜率不存在，此时图象不是一次函数（是垂直于 轴的直线）。 1.5 直线与坐标轴围成的三角形 直线 （）与两坐标轴围成直角三角形的面积等于 。 【使用提醒】 时直线过原点，不构成三角形，公式不适用。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断函数关系与自变量的取值范围 判断某变量是否为另一变量的函数，看“给定一个自变量值，因变量是否有唯一确定的值与之对应”；自变量取值范围要使关系式与实际情境都有意义。如邮资问题中信件质量 满足 。 2.2 用待定系数法求一次函数表达式 设 → 代入已知的两组对应值（或两个点）列方程组 → 解出 、 → 写回表达式。已知“ 每增加 ， 增加 ”类条件时，直接得斜率 再求 。如过点（0，2）且与 平行，则 ，，得 。 2.3 由图象读取信息 先看横、纵轴各表示什么量，再读关键点：图象与 轴交点表示初始量（ 的实际意义），与 轴交点对应方程 的解，两图象交点表示两函数值相等。如蓄水量图象中，直线与 轴交点横坐标表示水库干涸时间。 2.4 分档计费问题的解法 明确各档的计费标准与分段区间 → 判断所求值落在哪一档 → 用该档关系式求解。如 时水费 。 3. 判断 / 求值 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 快速判正比例 形如 （）且无常数项才是正比例函数 是， 不是 一次函数双条件 既是一次函数又要二次项系数为 时，先看系数再排除 为一次函数须 且 ，得 平移定直线 由 平移 个单位得到，方向看 符号 由 向上平移 个单位 交点求值 求两函数值相等时的自变量，令两表达式相等解方程 与 相等时 待定系数凑整点 列表画图时取易算的整点，再连线 画 取 、 得（0，-1）、（2，0） 4. 常见考试模型 4.1 行程问题模型（匀速运动） 公式：路程 速度 时间 ，即 ；有起始路程 时 。 限定：时间、路程为非负数，实际求解时舍去负值。 示例：如汽车以 匀速行驶，。 4.2 分档计费模型 公式：分段表示，前一段全额计费，超出部分按高档单价累加；如两档水费 。 限定：须先判断 落在哪一档区间再代入。 示例：如 时 ， 代入得 元。 4.3 方案选择 / 收费比较模型 公式：分别写出两个方案的费用表达式 、，令 求临界值，再比较大小。 限定：计费里程、数量常取整数或分段，比较时注意边界。 示例：如甲 ，乙 ，令相等得 ，里程少于 选甲、多于选乙。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽略一次函数定义中“”的条件 典例：当 为何值时，函数 是 的一次函数？ 错解：由 得 ，所以 或 。 正解：由 得 ；又一次项系数 ，即 。所以 。 原因：概念理解不完整。一次函数的定义包含两个缺一不可的条件：自变量的次数为 ，且一次项系数不为 。学生只抓住“次数为 1”列式，忽略了 时 、函数退化为 （不再是 的一次函数）。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为零。 易错点 2：正比例函数与一次函数混淆，忽略常数项 典例：判断 、、 中哪些是正比例函数。 错解： 和 都是正比例函数。 正解： 即 ，是正比例函数； 是一次函数但不是正比例函数（常数项 ）； 既不是一次函数也不是正比例函数。 原因：对“正比例函数是特殊的一次函数”理解不透。正比例函数必须是 （）的形式，不能有常数项；学生看到含“”的一次项就误判为正比例函数，未区分“一次函数”与“正比例函数”的包含关系。 易错点 3：由图象位置判断 、 符号时颠倒条件 典例：一次函数 的图象从左向右下降，且与 轴交于正半轴，判断 、 的符号。 错解：图象下降，所以 ；交 轴正半轴，所以 。 正解： 随 增大而减小，故 ；图象与 轴交于正半轴，交点为（0，），故 。所以 ，。 原因：符号与图象特征的对应关系记反。学生没有把“ 随 增大而增大/减小”与“/”正确挂钩，也把与 轴交点的纵坐标 的正负判断颠倒。牢记： 看升降（左低右高 ，左高右低 ）， 看与 轴交点的上下（交正半轴 ，交负半轴 ）。 易错点 4：函数值随自变量变化的判断漏看 的正负 典例：对于一次函数 ，当 时，比较 与 的大小。 错解：因为 ，所以 。 正解：在 中，， 随 增大而减小。由 ，得 。 原因：思维惯性迁移错误。学生习惯“ 越大 越大”，默认函数值随自变量同向变化，忽略了 时增减性反向。判断函数值大小必须先看 的符号确定增减性，不能想当然地“同增同减”。 易错点 5：求函数表达式时代入点坐标张冠李戴 典例：一次函数图象经过点 （1，2）与点 （-1，0），求该函数表达式。 错解：设 ，把 、 代入得 ，把 、 代入得 ，解得 ，，故 。 正解：设 ，把 （1，2）代入得 ，把 （-1，0）代入得 ，解得 ，，故 。 原因：审题与代入时的横、纵坐标对应关系混乱。学生把两点的横坐标与纵坐标交叉搭配，导致方程组列错。代入时务必保证“同一点的横坐标配同一点的纵坐标”，可先用坐标 标清再代入，避免错位。 易错点 6：忽略自变量取值范围，函数关系失去实际意义 典例：一个周长为 的长方形，写出其面积 与该长方形一边长 之间的关系式，并说明 的取值范围。 错解：另一边长为 ，所以 ， 可取任意实数。 正解：另一边长为 ，所以 。由于两边长都为正，须 ，故 。 原因：忽略隐含条件。列关系式只完成了数量关系的翻译，但边长必须为正这一实际限制被遗忘；学生潜意识认为“式子写出来即可”，缺少“结合实际情境限定自变量取值范围”的意识。凡实际问题，都要根据“各量实际意义”给出自变量范围。 学科网（北京）股份有限公司 $