专题04 一次函数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题04 一次函数（4知识&10题型&3易错&2方法清单） 【清单01】 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 【清单02】认识一次函数 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 【清单03】一次函数的图象 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 【清单04】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 【题型一】正比例函数定义 【例1】下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】利用一次函数定义求参数 【例2】．若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-2】若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2-3】若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 【题型三】已知自变量求函数值 【例3】．当时，函数的值等于（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-1】当时，函数的值是（　　）． A．0 B． C．3 D．4 【变式3-2】当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3-3】一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【题型四】函数图像经过的象限 【例4】．函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】已知点为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型五】一次函数的增减性 【例5】．在平面直角坐标系中，过点的直线l 经过第二、三、四象限．若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】若点，，是一次函数图象上两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】若点和都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【题型六】由增减性求参数范围 【例6】．若关于的函数是，且随着的增大而减小，则的取值范围是 ． 【变式6-1】一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【变式6-2】已知函数是正比例函数，且随的增大而减小，则的值为 ． 【变式6-3】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【题型七】一次函数与坐标轴交点 【例7】．直线与轴的交点坐标为 ． 【变式7-1】直线与x轴交点的坐标是 ． 【变式7-2】一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【变式7-3】若一次函数 的图象与两坐标轴交于A，B两点，则线段的长为 ． 【题型八】函数的平移 【例8】．将正比例函数的图象向左平移1个单位长度，则平移后所得图象的解析式是 ． 【变式8-1】一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 【变式8-2】直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为 ． 【变式8-3】将直线向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 ． 【题型九】一次函数应用行程问题 【例9】A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    【变式9-1】甲和乙在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么下列结论正确的是 ．（填序号）①甲比乙先出发；②甲比乙先到终点；③甲速是乙速的2倍；④甲、乙所行路程一样多． 【变式9-2】如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【变式9-3】A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【题型十】一次函数与几何综合 【例10】如图1，已知：直线与 x，y轴分别交于点A，B， 直线与x，y轴分别交于点C，D，相交于点F， (1)点F的坐标为 （用含m，n 的式子表示）； (2)当时，连接，若，请画出图形，并求m的值； (3)如图2，对于m的某一个确定的值，当n的值发生变化时，点F到直线的距离d总是一个定值，请你求出m的值并直接写出d的值． 【变式10-1】如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-2】如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-3】如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【题型一】未找到规律求不出坐标 【例1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【题型二】找不到几何模型求不出最值 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，点Q是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点E落在第一象限，连接，的最小值为 ． 【变式2-1】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【题型三】求最值时需分情况讨论 【例3】．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【变式3-1】我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？ (3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案． 【变式3-2】某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【变式3-3】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【题型一】待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数的解析式 第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）; 第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组; 第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值; 第四步（写）：写出该函数的解析式。 【例1】已知一次函数的图象经过和两点，求一次函数的解析式． 【变式1—1】已知一次函数的图象经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果点在这个一次函数图像上且它的纵坐标为，求点的坐标． 【变式1—2】已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值． 【变式1—3】如图，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)直线与正比例函数的图象交于点，求的面积． 【题型二】将军饮马在一次函数解最值问题中的应用 1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A’ 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【例2】如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【变式2—1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象为直线，已知两点、． (1)在直线位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为_____． (3)若点P在x轴上，当取最小值时，请求出点P的坐标． 【变式2—2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P． (1)求点A，点P的坐标； (2)已知点D在x轴上，且为等腰直角三角形，求出点D坐标； (3)如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值． 【变式2—3】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数（4知识&10题型&3易错&2方法清单） 【清单01】 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 【清单02】认识一次函数 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 【清单03】一次函数的图象 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 【清单04】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 【题型一】正比例函数定义 【例1】下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数”，熟练掌握正比例函数的定义是解题关键．根据正比例函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是正比例函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，则此项符合题意； C、不是正比例函数，则此项不符合题意； D、不是正比例函数，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做正比例函数”进行排除选项即可． 【详解】解：A、B、D都不符合正比例函数的定义，所以都不是正比例函数；选项C是正比例函数； 故选C． 【变式1-2】下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、，是正比例函数，故本选项符合题意； D、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断：形如（是常数，）的函数叫作正比例函数． 【详解】A．是正比例函数，故本选项符合题意； B．不是正比例函数，故本选项不符合题意； C．是常值函数，故本选项不符合题意； D．，分母含有自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【题型二】利用一次函数定义求参数 【例2】．若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：B． 【变式2-1】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-2】若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 【变式2-3】若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫作一次函数，由一次函数的定义可得，，求解即可． 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴， 故选：B． 【题型三】已知自变量求函数值 【例3】．当时，函数的值等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数的函数值，把自变量的值代入一次函数解析式中即可求解． 【详解】解：当时，； 故选：A． 【变式3-1】当时，函数的值是（　　）． A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查求函数值，把代入计算即可． 【详解】,, 故选：C． 【变式3-2】当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，正确掌握求解方法是解题的关键． 把代入解析式进行计算即可得． 【详解】解：将代入得，． 故选：D． 【变式3-3】一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数，代入选项中点的坐标，满足左右两边相等的即可得出结论． 【详解】解：A、当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； B．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； C．当时，，故一次函数的图象经过这个点；此选项符合题意； D．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； 故选C． 【题型四】函数图像经过的象限 【例4】．函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出的符号是解答此题的关键．根据正比例函数的图象经过第二、四象限可判断出的符号，进而可判定一次函数的图象所经过的象限，从而得出结论． 【详解】解：函数的图象经过第二、四象限， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C ． 【变式4-1】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， 对于一次函数，其中一次项系数， ∴一次函数随的增大而增大， 即函数图象从左到右上升， ∵， ∴一次函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综合以上分析，一次函数的图象过第一、三、四象限． 故选：B． 【变式4-2】一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，y随x的增大而增大时，，由常数项，可得它的图象经过第一、二、三象限，由此可解． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而增大， ， 函数图象与轴的交点坐标为， 图象经过第一、二、三象限， 它的图象不经过的象限是第四象限， 故选：D． 【变式4-3】已知点为第四象限内的点，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了一次函数的图象，首先根据点为第四象限内的点，得出， 然后根据一次函数的图象的性质得出一次函数过一、三、四象限，接下来找出符合条件的选项即可． 【详解】解：∵点为第四象限内的点， ∴， ∴经过一、三、四象限． 只有选项B符合题意， 故选：B． 【题型五】一次函数的增减性 【例5】．在平面直角坐标系中，过点的直线l 经过第二、三、四象限．若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第二、三、四象限且过点，得出y随x的增大而减小，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答． 【详解】解：∵过点的直线l 经过第二、三、四象限， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∴A、B、C均错； ∵点在直线l上，， ∴． ∴D正确． 故选：D． 【变式5-1】若点，，是一次函数图象上两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式5-2】已知在直线上若，下列判断正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线中，推出随的增大而减小，进而根据，即可判断一次函数值的大小． 【详解】解：直线中， 随的增大而减小， 在直线上，且， ； 故选：C． 【变式5-3】若点和都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：对于直线，其属于一次函数（）的形式， ∵， ∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小． 已知点和在该直线上，且， ∴根据函数增减性可得．   故选：B． 【题型六】由增减性求参数范围 【例6】．若关于的函数是，且随着的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数一次项系数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的一次项系数和增减性的关系． 根据一次函数一次项系数和增减性的关系判断即可． 【详解】解：∵关于的函数是，且随着的增大而减小， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式6-1】一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当时，有可得随的增大而减小，则可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有， ∴对于这个一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式6-2】已知函数是正比例函数，且随的增大而减小，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且． 由，得，； 由，得． 又∵随的增大而减小， ∴，即． 综上，． 故答案为：． 【变式6-3】若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，对一次函数，根据当时，随的增大而增大，得出，计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型七】一次函数与坐标轴交点 【例7】．直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，掌握交点特征是解题的关键． 把代入运算即可． 【详解】解：把代入可得： 解得： ∴交点坐标为， 故答案为：． 【变式7-1】直线与x轴交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数与x轴的交点坐标，在x轴上的点，其纵坐标为0，据此求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴直线与x轴交点的坐标是， 故答案为：． 【变式7-2】一次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，代入求解即可． 【详解】解：当时， ， 解得， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． 故答案为：． 【变式7-3】若一次函数 的图象与两坐标轴交于A，B两点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：设一次函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点， 当时，， 所以点A的坐标为，， 当时，，解得：， 所以点的坐标为，， , 故答案为：． 【题型八】函数的平移 【例8】．将正比例函数的图象向左平移1个单位长度，则平移后所得图象的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减”的原则求解即可． 【详解】将正比例函数的图象向左平移1个单位长度，所得的函数解析式为． 故答案为：． 【变式8-1】一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 【变式8-2】直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：直线向左平移3个单位得到直线， 故； 故答案为：0． 【变式8-3】将直线向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图象的平移．熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 根据一次函数图象的平移规律“上加下减”即可得出平移后的直线的表达式． 【详解】解：将直线向下平移4个单位后，所得直线的表达式是，即， 故答案为：． 【题型九】一次函数应用行程问题 【例9】A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    【答案】150 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 【变式9-1】甲和乙在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么下列结论正确的是 ．（填序号）①甲比乙先出发；②甲比乙先到终点；③甲速是乙速的2倍；④甲、乙所行路程一样多． 【答案】②③④ 【详解】解：根据图示可知，甲乙是同时出发的，所以①错； 因为甲到达终点用时，乙到达终点用时，（由题意知），所以甲比乙先到终点，乙用时是甲的2倍，所以甲的速度是乙的2倍，所以②、③对； 由图示可知，甲乙所行路程一样多，所以④对． 答：正确的结论为②③④． 故答案为：②③④． 【变式9-2】如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 【变式9-3】A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 【题型十】一次函数与几何综合 【例10】如图1，已知：直线与 x，y轴分别交于点A，B， 直线与x，y轴分别交于点C，D，相交于点F， (1)点F的坐标为 （用含m，n 的式子表示）； (2)当时，连接，若，请画出图形，并求m的值； (3)如图2，对于m的某一个确定的值，当n的值发生变化时，点F到直线的距离d总是一个定值，请你求出m的值并直接写出d的值． 【答案】(1) (2)见解析， (3)， 【详解】（1）解：∵直线①，直线②， 联立①②解得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：时， ①若，如图1， 令，则 ∴， ∴， ∵， ∴， 又点C在x轴负半轴上， ∴， 把点C的坐标代入， 得到：， 又∵ ∴舍去 ②若，如图2， 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又点C在x轴正半轴上， ∴, 把点C的坐标代入， 得到：， 综上所述：； （3）解：由（1）知，，， ∴， 当m为一个确定的值时，是的正比例函数， 即：点F在直线上， ∵点F到直线 的距离d总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 设直线与x，y轴的交点为M，N， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，在轴上找一点，当的值最小时，求出的面积； (3)如图2，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴； （2）解：∵点E是线段的中点，， ∴， 如图，过F点作轴交于点W， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴， 当、D、P三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴当的值最小时，，的面积为； （3）解：存在， ∵， ∴直线， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， ①如图，当点M在点O的右侧时，过点O作于H，延长交的延长线于N，作轴于P，轴于Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 当点M在点O的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点M的坐标为或． 【变式10-2】如图①，已知的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且．点A的坐标为，点B的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)如图②，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E． ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【详解】（1）由题知，， ， 过作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在第二象限， 所以点C的坐标为． （2）①由（1）知， 轴交于点D， 点D的纵坐标为1，将代入，得， ， ； ②存在，点M、C、D为顶点的三角形与全等，则M与B对应， 有如下三种情况：当时， 则点和点B关于直线对称， 则M的坐标为； 当时， 则点和点B关于的中垂线对称， 故的坐标为； 当时， 则点和点关于对称， 故的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 【变式10-3】如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)点D的坐标为___________ (3)如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； （2）解：由（1）可知：， 如图，    设长为，则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，    由（2）知：， 点，关于对称， ， ， ∴当三点共线，且轴时，的值最小， 即到轴距离为最小值， 由（2）知：， 的最小值为． 【题型一】未找到规律求不出坐标 【例1】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 当时，； 当时，； 可得，， ； ； ； 即，，； ， 可得． 故选：D． 【变式1-2】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：A． 【题型二】找不到几何模型求不出最值 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，点Q是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点E落在第一象限，连接，的最小值为 ． 【答案】 【详解】设点Q的坐标为（因Q在直线上，横纵坐标相等）． ∵点D的坐标为， ∴， 过Q作轴于M，过E作轴于N，则． ∵是等腰直角三角形且， ∴，． 又(的锐角互余)，，则． 又，， ∴， ∴， ， 故E的横坐标为，纵坐标为，即． 由，设，，消去t得，即E在直线上（第一象限部分）． 问题转化为：直线上找一点E，使最小． 作原点关于直线的对称点， [对称点计算：直线的垂线为，交点为，中点为，故]． 则，因此，最小值为的长度．（如下图） 由和，由勾股定理得： ． 故答案为：． 【变式2-1】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．C，D分别为线段上的两个动点，点P的坐标为，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】由直线的函数表达式，得点，， ， 则． 点P的坐标为， ，， 如图， 作点P关于y轴的对称点，点P关于直线的对称点N，则， 连接，交于点C，交y轴于点D， 此时，的周长最小， 的周长． 连接，由对称可知， ， ，， ∴点N的坐标为． ， 的周长的最小值为． 故答案为． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点A在直线上，且点A的横坐标为4， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴点C以的直径的圆上， 如图，取的中点D， ∴当圆D与x轴相切时，最小， 设切点C，连接，过点A作轴于点M过点D作于点E，则， ∴， ∴， ∴， 设圆D的半径为a，则， ∴， 解得：， ∴， 即线段的最小值为． 故答案为： 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，    ∵点关于轴的对称点， ∴，， ∵A点关于直线的对称点，， ∴，， ∴， 此时，值最小，最小值， ∵，， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 【题型三】求最值时需分情况讨论 【例3】．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【答案】(1) (2)从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台 (3)①当时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台；②当时，各种方案费用一样多；③当时，从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 【详解】（1）解：设城运往乡台，则城运往乡台，城运往乡台，城运往乡台， ∴ =； （2）解：∵中， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，取最小值， 此时从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台． （3）解： =， ①当时，， ∴随x的增大而增大， 又， 当时，取最小值，即总费用最小， 此时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台； ②当时，元， ∴各种方案费用一样多， ③当时，， ∴随x的增大而减小， 又， ∴ 当时，取最小值，即总费用最小， 此时从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 【变式3-1】我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元． (1)求W与x之间的函数解析式； (2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？ (3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案． 【答案】(1)W＝2x+800 (2)该公司有3种建房方案：①建A种户型30套，B种户型50套；②建A种户型31套，B种户型49套；三建A种户型32套，B种户型48套 (3)当0＜a≤2时，按（2）中第三种方案；当a＝2时，按（2）中三种方案均可；当2＜a≤3时，按（2）中第一种方案 【详解】（1）∵A、B两种户型的住房共80套，A户型x套，则B户型有（80﹣x）套， 根据题意得，W＝（102﹣90）x+（70﹣60）（80﹣x）＝12x+10（80﹣x）＝2x+800， ∴W与x之间的函数解析式为W＝2x+800； （2）由题意得：90x+60（80﹣x）≥5700， 解得：x≥30， ∵x≤32， ∴30≤x≤32（x为正整数）， ∴x取30，31，32， ∴该公司有3种建房方案： 第一种：建A种户型30套，B种户型50套； 第二种：建A种户型31套，B种户型49套； 第三种：建A种户型32套，B种户型48套； （3）由题意得：W＝（12﹣a）x+10（80﹣x）＝（2﹣a）x+800， 当0＜a≤2时，W随x的增大而增大， ∴x＝32时，W最大， 此时按（2）中第三种方案； 当a＝2时，W＝800， 此时按（2）中三种方案均可； 当2＜a≤3时，W随x的增大而减小， ∴当x＝30时，W最大， 此时按（2）中第一种方案． 【变式3-2】某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：           总计/      ______ ______ 200           ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)，，； (2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； (3)见详解 【详解】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨，           总计/      200           300 总计/ 240 260 500 故答案为：，，； （2）解：与之间的函数关系式为， 由题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，总运费最小， 此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； （3）解：由题意得， 当时，（2）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元； 当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小， 其调运方案如下：调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨． 【变式3-3】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【题型一】待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数的解析式 第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）; 第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组; 第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值; 第四步（写）：写出该函数的解析式。 【例1】已知一次函数的图象经过和两点，求一次函数的解析式． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．根据待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设一次函数解析式，将点，代入得 ， 解得， 所以，一次函数解析式为：． 【变式1—1】已知一次函数的图象经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果点在这个一次函数图像上且它的纵坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设一次函数解析式为 把，分别代入后得： 解得 ∴所求一次函数解析式为； （2）解：设 把代入： ， ∴点坐标是． 【变式1—2】已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征； （1）先由题意将点和点代入，从而得到进而写出函数解析式； （2）由点的平移特征知点向右平移3个单位后坐标为，再代入表达式即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：点向右平移3个单位后坐标为， 点在直线上， ． 【变式1—3】如图，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)直线与正比例函数的图象交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：联立，解得， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴． 【题型二】将军饮马在一次函数解最值问题中的应用 1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： A、A’ 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【例2】如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【详解】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 【变式2—1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象为直线，已知两点、． (1)在直线位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为_____． (3)若点P在x轴上，当取最小值时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）作线段的垂直平分线交直线l于点C即为所求， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴点D是线段的中点，轴， ∵,, ∴， 将代入，得， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴要使最小，即最小， ∴当、，三点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，有，解得：， ∴． 【变式2—2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P． (1)求点A，点P的坐标； (2)已知点D在x轴上，且为等腰直角三角形，求出点D坐标； (3)如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1) (2)D点坐标为或 (3)，周长的最小值为 【详解】（1）解：令，解得， ∴直线与x轴的交点， ∵四边形是矩形，矩形的边在x轴上，且， ∴， ∴点P的纵坐标为， 令时，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，则为等腰直角三角形， 此时，D点与A点关于直线对称， ∴， 当时，则为等腰直角三角形， 此时，； 综上所述：D点坐标为或； （3）解：作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F， ∵， ∴， ∴F点在上， ∴， ∵， ∴当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值， ∴， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴． 【变式2—3】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $