专题03 位置与坐标（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03位置与坐标(3知识&8题型&3易错) 知识图谱 确定位置 平面直角坐标系 点的坐标 坐标平面内的点与有序实数对是一对应的 象限 坐标平面内点的位置特点 位置与坐标 平面直角坐标系 点到坐标轴的距离 坐标平面内对称点坐标的特点 平行于坐标轴的直线的表示 象限角平分线的特点 1.关于坐标轴对称的点的坐标关系 轴对称与坐标变化 2.坐标方法的简单应用 知识清单 【知识点01】确定位置 1.有序数对 有顺序的两个数α与b组成的数对叫做有序数对. 【知识点02】平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向： ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点（坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上） 。 2.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，α点对应x轴的数值为横坐标，b点对应 y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作(4，b).书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗 号 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y)(即点M的坐标)的坐标和它对应；反过 来，对于任意一对有序实数(x,y)在坐标平面内都有唯一的一点M,即坐标为(x,y)的点和它对应，也就 是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 4.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第I象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第V象限）· 5.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为(0,0)； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负： ⑥横轴(x轴)上的点，纵坐标为0，即(x,0),所以，横轴也可写作：y=0(表示一条直线) ⑦纵轴(y轴)上的点，横坐标为0，即(0，y),所以，纵横也可写作：x=0(表示一条直线) 6.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴(y轴)的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴(x 轴)的距离」 7.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为A'（a,-b),特点为：x不变，y相反； ②一个点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标为A'(-a,b),特点为：y不变，x相反； ③一个点A(a,b)关于原点对称的点的坐标为A'(-a,-b),特点为：x、y均相反. 8.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴(x轴)的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=α(a为纵 坐标)的形式，α的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝 对值； ②平行于纵轴(y轴)的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b(b为横 坐标)的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝 对值. 9.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为yx的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号) ②第二、四象限的角平分线可表示为yx的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数（异号） 【知]识点03】轴对称与坐标变化 1.关于坐标轴对称的点的坐标关系 位置 特点 示例 原来点的坐标为(a,b), 关于x轴对称的两个 横坐标不变，纵坐标 关于x轴对称后点的坐标 点的坐标 互为相反数 为(a,-b) 原来点的坐标为(a,b), 关于y轴对称的两个 横坐标互为相反数， 关于y轴对称后点的坐标 点的坐标 纵坐标不变 为(-a,b) 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.坐标方法的简单应用 ①己知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形 面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如 矩形或梯形)与一个或几个较小的三角形面积之差. 期中常考题型清单 【题型一】利用有序数对找确定位置 【例1】电影院里，A,B,C,D四位同学的位置如图（横为排，竖为列），A的座位在第2排第2列，B 在第5排第3列，C在第4排第4列，D在第6排第5列，撤去第一列，仍按原方法确定位置() B D A.A的座位在第2排第1列 B.B的座位在第4排第3列 C.C的座位在第3排第4列 D.D的座位在第6排第6列 【变式1-1】根据下列表述，不能确定具体位置的是() A.北纬40°，东经118° B.解放路 C.某港口南偏东60°方向上距港口10 mile D.某电影院2号厅2排3座 3.如图，网格图中的每一格的边长都相等，列和行都用字母标记，按照先列后行的顺序，方格0的位置可 用(d,e表示，则(c,d可表示图中的() ci b D B a b cd e A.方格D B.方格C C.方格B D.方格A 4.王伟坐在教室的第5列、第6排，用数对(5,6表示，李林坐在教室的第7列、第2排，用数对(7,2)表示. 3/10 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是()· A.（7,5 B.(5,5) C.(6,5) 【题型二】方位角问题 【例2】.如图，老虎山在熊猫馆的() 老虎山 北 东 30ò 熊猫馆 比例尺0800m A.北偏西60°方向2400m处 B.北偏东60°方向2400m处 C.北偏西30°方向2400m处 D.北偏东30°方向2400m处 6.为方便日常交通出行“最后一公里”的共享单车，已掀起“绿色出行”的潮流.如图，一辆共享单车在小明 家的具体位置表述正确完整的是() 北 单车 32945米 家 A.北偏东32°方向 B.45米处 C.北偏东32°方向45米处 D.东偏北32°方向45米处 7.如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，AB=10米，BC=8米，下列说法正确的是() 个北 35° 东 A A.小红在小明北偏东65°方向处 B.小红在小明南偏西55°方向处 C.小明在小红南偏西55°方向，距离为10米处 D.小明在小李北偏东35°方向，距离为18米处 4/10 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A,B,C,D,E处均有目标出现.屏幕显示可知 E在雷达探测器的北偏西30°，3海里处，则下列说法正确的是() 330°0° 30° 北 300尺 60° C 270° 2方90 240°40 B,120° 210°180°150 A.A在探测器南偏西30°，1海里处 B.B在探测器南偏东60°，2海里处 C.C在探测器北偏东30°，3海里处 D.D在探测器正北方向，1海里处 【题型三】判断点的所在的象限 【例3】.已知点P(a,2),Q(-1,b)关于x轴对称，则点(a,b)位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.点P(3,-3)在平面直角坐标系中的位置在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.点M(-4,0)的位置在() A.第二象限 B.第三象限 C.x轴上 D.y轴上 12.点A-8,6)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【题型四】点与坐标轴的距离 【例4】，己知点P在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标是(). A.（0,3)或(0，-3)B.(3,0)或(-3,0) C.(0,3或(-3,0) D.3,0)或(0，-3) 14.点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为() A.（-4,3 B.（-3,-4 C.-3,4 D.3,-4 15.点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是() A.（-5,-3 B.（-3,5 C.5,3 D.(3,5 16.点P(3,5)到x轴和y轴的距离分别是(). A.3,5 B.3,-5 C.5,3 D.-5,3 5/10 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型五】点在平面直角坐标系中的平移 【例5】.将点P(m+2,2m+4)向左平移1个单位得到P,且P在y轴上，则P的坐标是 18.点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点B(-2,5),则点P的坐标为」 19.点P(3,2)先向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到的点的坐标是 20.在平面直角坐标系中，已知点A(-5,0)、B(0,3),现将线段AB向右平移，使A与坐标原点O重合， 则B平移后的坐标是一 【题型六】点的对称 【例6】.已知点A(a,1)与点B(1,-3)关于点C(2,-1)对称，则a= 22.点P(-2,3)关于x轴的对称点的坐标是 23.在平面直角坐标系中，己知点A(4,3),点A与点A关于直线x=1对称，则点A的坐标为 24.己知点P(2,3),则它关于y轴的对称点的坐标是 【题型七】棋盘中的坐标问题 【例7】.如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(-2，-2)，“马”位于点(1，-2)，则“兵” 位于点 炮 帅 26.已知白棋A(-2,1,B(-6,0),则黑棋C的坐标为」 B CX() 27.如图，是一局象棋残局，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为-4,2)，棋子“马” 的坐标-1,2)，则表示棋子“炮”的点的坐标为 6/10 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 楚河 汉界 ④（ 炮 28.如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(0，-4)，“马”位于点(3，-4) ,则“兵”位于点 如果“马”再走一步，那么“马”的新位置位于点 (按照象棋规则，棋子 “马”只能沿着棋盘上“ 或 ”的对角线行走) 兵 炮 帅 马 【题型八】坐标轴上的点 【例8】.已知点A-2,2a+1)在坐标轴上，则a的值为一 30.若点P(m-2,m+1)在坐标轴上，则点P的坐标为 31.已知点P(3a+6,2-a)在坐标轴上，则点P的坐标为 32.若点A(2a-5,4-a在x轴上，则点A的坐标为 高频易错归因清单 【题型一】未找到规律无法求出坐标 【例1】如图，在平面直角坐标系中，从点(-1,0)，P-1,-1,P1,-1,P1,1,P(-2,1, P（-2,-2),依次扩展下去，则Po的坐标为() 12 P P P 10 P 7/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.(505,-505)B.(504,504 C.-505,505) D 【变式1-1】如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到(0,1 ,接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即(0,0)→(0,1→1,1→1,0)→(2,0)→…，且每秒 运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为() A.(1,44) B.(5,44 C.44,1 D.（(44,5) 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴，点D,C,P,H在x 轴上，A1,2,B(-1,2),D(-3,0),E-3,-2,G(3,-2),把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细 线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A.的 规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是() VA B D E G A.（-1,1 B.(1,-1 C.(1,1 D.(1,0 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，OA,=1,将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆 放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2s的坐标为() A,A A10A1 As A Ao A A A.(1012,0) B.(1012,1) C.(1013,0) D.(1013,-1) 【题型二】不能用逆向思维解题 8/10 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【例2】如果把点A向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是(1,7)，则可确 定点A的坐标是() A.(-1,-4) B.(-2,4) C.(-1,4) D.(4,4) 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点M向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点 N(3,-4)重合，则点M的坐标为() A.（6,0 B.(0,-8 C.0,0j D.（6,-8 【变式2-2】在平面直角坐标系中，若将点M先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的点 的坐标为1,1)，则点M坐标为() A.(0,2) B.(0,0 C.2,0 D.（2,2 【变式2-3】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点B(-2,5),则点P的坐标为 【题型三】无法在坐标系中建立模型解决最值问题 【例3】.如图，在平面直角坐标系中，A(0,3),B(14,0),C(14,2),M,N是线段OB上的两个动点， 且MN=2,则△AOM与△NCB周长和的最小值为 0 M N B衣 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点A,B在x轴上，AB=2,点C的坐标为(0,2)，点D的坐标 为6，-1)，则CA+AB+BD的最小值为· 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,0),点B(2,3),点P是y轴上的一个动点，则 9/10 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 BP+PA的最小值为一· B OA 衣 【变式3-3】如图在Rt△ABC中，LABC=90,AB=2,BC=4,动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个 单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一 点同时停止运动，连接DE,F为DE中点，连接AF,CF,则AF+CF的最小值为 10/10 专题03 位置与坐标（3知识&8题型&3易错） 【知识点01】确定位置 1.有序数对 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 【知识点02】平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 ①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. ②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向； ③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 2.点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号. 3.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 4.象限 平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限 (或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 5.坐标平面内点的位置特点 ①坐标原点的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线） 6.点到坐标轴的距离 坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离. 7.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反； ②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反. 8.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值. 9.象限角平分线的特点 ①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号） ②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号) 【知识点03】轴对称与坐标变化 1.关于坐标轴对称的点的坐标关系 2.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积 将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差； ②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差. 【题型一】利用有序数对找确定位置 【例1】电影院里，A，B，C，D四位同学的位置如图（横为排，竖为列），A的座位在第2排第2列，B在第5排第3列，C在第4排第4列，D在第6排第5列，撤去第一列，仍按原方法确定位置（　　） A．A的座位在第2排第1列 B．B的座位在第4排第3列 C．C的座位在第3排第4列 D．D的座位在第6排第6列 【答案】A 【分析】本题考查了有序数对确定位置． 根据坐标确定位置，从有序数对的两个数的实际意义考虑解答． 【详解】解：如图，撤去第一列，画图如下： 此时A的座位在第2排第1列； B的座位在第5排第2列； C的座位在第4排第3列； D的座位在第6排第4列； 只有A正确， 故选：A． 【变式1-1】根据下列表述，不能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．解放路 C．某港口南偏东方向上距港口 D．某电影院2号厅2排3座 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置． 根据有序数对表示位置即可得． 【详解】解：A、北纬，东经，能确定具体位置，不符合题意； B、解放路，不能确定具体位置，符合题意； C、某港口南偏东方向上距港口，能确定具体位置，不符合题意； D、某电影院2号厅2排3座，能确定具体位置，不符合题意； 故选：B． 3．如图，网格图中的每一格的边长都相等，列和行都用字母标记，按照先列后行的顺序，方格的位置可用表示，则可表示图中的（　　） A．方格 B．方格 C．方格 D．方格 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与平面，解题的关键是找出坐标中两个数代表的意义，本题属于基础题，只要明白坐标系中点的意义，结合图形即可解决问题． 确定坐标表示的规则由点O的位置在第d列、第e行，可用表示，可知坐标中前面一个数表示列，后一个数表示行． 【详解】解：点O的位置在第d列、第e行，可用表示， ∵第c列、第d行处为点C， ∴可表示图中的点C， 故选：B． 4．王伟坐在教室的第列、第排，用数对表示，李林坐在教室的第列、第排，用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（    ）． A． B． C． 【答案】A 【分析】本题考查用数对表示位置，读懂题意，掌握数对表示位置的规则是解决问题的关键．先理解题中数对表示位置的规则，再由张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，确定张乐位置为第列、第排，即可确定答案． 【详解】解：李林坐在教室的第列，张乐与李林在同一列，则张乐在教室的第列； 王伟坐在教室的第排，张乐在王伟的前一排，则张乐在教室的第排； 张乐的位置用数对表示是第列、第排， 即张乐的位置用数对表示是， 故选：A． 【题型二】方位角问题 【例2】．如图，老虎山在熊猫馆的（   ） A．北偏西方向处 B．北偏东方向处 C．北偏西方向处 D．北偏东方向处 【答案】A 【分析】本题主要考查了用方位角表示位置，根据图形可得答案． 【详解】解：，， 由题意可知，老虎山在熊猫馆的北偏西方向处． 故选：A． 6．为方便日常交通出行“最后一公里”的共享单车，已掀起“绿色出行”的潮流．如图，一辆共享单车在小明家的具体位置表述正确完整的是（    ） A．北偏东方向 B．45米处 C．北偏东方向45米处 D．东偏北方向45米处 【答案】C 【分析】本题考查了用方向角与距离确定物体的位置；根据题意知，方向是北偏东，距离是45米，由此即可求解． 【详解】解：一辆共享单车在小明家的具体位置是在北偏东方向45米处； 故选：C． 7．如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．根据方向角的定义进行判断，即可解答． 【详解】解：∵在的北偏东方向的米处， ∴小红在小明北偏东方向的米处，故A，B错误； ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小红南偏西，距离为10米处，故C正确， ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小李南偏西，距离为18米处，故D错误． 故选：． 8．如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知E在雷达探测器的北偏西，3海里处，则下列说法正确的是（    ）    A．A在探测器南偏西，1海里处 B．B在探测器南偏东，2海里处 C．C在探测器北偏东，3海里处 D．D在探测器正北方向，1海里处 【答案】B 【分析】本题考查的是用坐标系确定位置，理解方位角的意义是解题的关键．根据E在雷达探测器的北偏西，3海里处，结合方位角即可判断点A、B、C、D的位置． 【详解】解：在雷达探测器的北偏西，3海里处， 点A在雷达探测器的南偏西，2海里处， 点B在雷达探测器的南偏东，2海里处， 点C在雷达探测器的北偏东，3海里处， 点D在雷达探测器的正北方向，2海里处， 故选：B． 【题型三】判断点的所在的象限 【例3】．已知点，关于x轴对称，则点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的坐标规律． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出、的值，进而确定点所在象限． 【详解】解：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 已知点关于x轴对称，所以横坐标，纵坐标， 那么点即，在第三象限． 故选：C． 10．点P在平面直角坐标系中的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了象限点的坐标特征：第一象限的点横坐标和纵坐标都是正数；第二象限的点横坐标是负数，纵坐标是正数；第三象限的点横坐标和纵坐标都是负数；第四象限的点横坐标是正数，纵坐标是负数．据此即可求解． 【详解】解：∵点P横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴点P在平面直角坐标系中的位置在第四象限， 故选：D 11．点的位置在（   ） A．第二象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，根据平面直角坐标系中，点的坐标特征判断位置即可． 【详解】解：∵点的横坐标为，纵坐标为0， ∴该点位于x轴上； 故选：C． 12．点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 点在第二象限． 故选：B． 【题型四】点与坐标轴的距离 【例4】．已知点在轴上，且到轴的距离为3，则点的坐标是（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特征及相关知识， 坐标轴上点的坐标特征为：轴上的点纵坐标为零轴上的点横坐标为零，反之亦成立 ．此外点到轴的距离等于的绝对值，点到轴的距离等于的绝对值． 【详解】解：根据题意： 设点坐标为, 点P到轴的距离为, 的绝对值等于． ． 即：点的坐标为或． 故选：． 14．点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，再结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正可得答案． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标的绝对值为3，纵坐标的绝对值为4， ∵点P在第二象限内， ∴点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点P的横坐标为，纵坐标为4，即点P的坐标为， 故选：C． 15．点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握各个知识点的具体意义． 由点在第二象限，可得横纵坐标的符号，再由点到轴、轴的距离是 3 和 5 ，可得纵坐标的绝对值为 3 ，横坐标的绝对值为 5 ，可求出点的坐标，再求出点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ P点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵P点到轴、轴的距离是 3 和 5 ， ∴P点的坐标为， ∴P点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 16．点到x轴和y轴的距离分别是 （  ）． A．3，5 B．3， C．5，3 D．，3 【答案】C 【分析】本题考查了象限内点的坐标的特征，记住各象限内点的特征是解决的关键． 根据点在第一象限，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可． 【详解】由点在第一象限， 所以到x轴和y轴的距离分别为5，3． 故选：C． 【题型五】点在平面直角坐标系中的平移 【例5】．将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，在轴上点的坐标特征，熟知点坐标的平移规律是解题的关键．先根据点坐标平移的规律得到点的坐标，再由轴上点的横坐标为求解即可． 【详解】解：将点向左平移个单位得到， ， 在轴上， ，解得， ， 的坐标是． 故答案为： ． 18．点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 - 平移，熟练掌握点的平移规律（右加左减横坐标，上加下减纵坐标）是解题的关键．根据点平移的逆过程，将点反向平移得到点的坐标． 【详解】解：横坐标： 纵坐标： 故点的坐标为． 故答案为：． 19．点先向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中，点平移时坐标的变化规律，理解该变化规律是解题的关键． 根据平面直角坐标系中，点平移时坐标的变化规律解答即可． 【详解】点先向下平移3个单位，再向左平移4个单位， 得到点的坐标为，即． 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中，已知点、，现将线段向右平移，使A与坐标原点O重合，则B平移后的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵点、，现将线段向右平移，使A与坐标原点O重合， ∴点向右平移5个单位后与原点重合， ∴点也向右平移5个单位，平移后为． 故答案为：． 【题型六】点的对称 【例6】．已知点与点关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 22．点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点关于对称轴对称时，坐标的变化规律问题．点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为，本题根据点关于轴、轴对称时，横纵坐标变化规律解答即可． 【详解】解：∵坐标系中点关于轴对称点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为其相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为： ． 23．在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，根据点与点关于直线对称，则纵坐标不变，点与点的中点的横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵点，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 24．已知点，则它关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 【题型七】棋盘中的坐标问题 【例7】．如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ． 【答案】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．根据“帅”和“马”的坐标，建立平面直角坐标系，由此即可得． 【详解】解：如图，由“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系如下（每一格表示1个单位长度）： 则“兵”位于点， 故答案为：． 26．已知白棋，则黑棋的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．根据白棋的坐标得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：根据坐标可判断直角坐标系如图所示， 由此可得黑棋的坐标为， 故答案为：． 27．如图，是一局象棋残局，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则表示棋子“炮”的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确确定平面直角坐标系是解题关键． 直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 棋子“炮”的坐标为． 故答案为：． 28．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ．如果“马”再走一步，那么“马”的新位置位于点 ．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 【答案】 或或 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则“兵”位于点， 由马的行走规则可知如果“马”再走一步，那么“马”的新位置位于点或或， 故答案为：；或或． 【题型八】坐标轴上的点 【例8】．已知点在坐标轴上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了在坐标轴上点的特点，熟知在坐标轴上的点横纵坐标中至少有一个为0是解题的关键．根据在坐标轴上的点横纵坐标中至少有一个为0进行求解即可． 【详解】解：点在坐标轴上， 则， ∴， 故答案为：． 30．若点P（m﹣2，m+1）在坐标轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】（0，3）或（﹣3，0） 【分析】分点P在x轴上时纵坐标为0，点P在y轴上时横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵点P（m﹣2，m+1）在坐标轴上， ∴m﹣2＝0或m+1＝0， 解得m＝2或m＝﹣1， 则点P的坐标为（0，3）或（﹣3，0）， 故答案为：（0，3）或（﹣3，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 31．已知点P在坐标轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】（12，0）或（0，4）． 【分析】分两种情况讨论，点P在x轴上时，纵坐标为0；在y轴上时，横坐标为0，分别列出方程求出a的值即可． 【详解】当P在x轴上时，， 解得：a＝2， 则3a+6＝12， 故P（12，0）； 当P在y轴上时， ， 解得： ， 故， 则P（0，4）． 所以P（12，0）或（0，4）． 故填：（12，0）或（0，4）． 32．若点在轴上，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查求点的坐标，根据轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型一】未找到规律无法求出坐标 【例1】如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点， ∴点． 故选：D． 【变式1-1】如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D，C，P，H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，， ∴，，，，，，，，， ∴长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20， ∵， ∴细线另一端在上，且与B相距1个单位长度， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是 故选：A． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为； 根据纵坐标的变化规律可知，每 8 个点一次循环， ， ∴点在第 254个循环中的第1个点的位置， ∴故点的纵坐标为0 ， 又 ∵的横坐标为的横坐标为的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 【题型二】不能用逆向思维解题 【例2】如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为， ∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点， ∴点坐标为，即． 故选：A． 【变式2-3】点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：横坐标： 纵坐标： 故点的坐标为． 故答案为：． 【题型三】无法在坐标系中建立模型解决最值问题 【例3】．如图，在平面直角坐标系中，，，，，是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值为 ． 【答案】30 【详解】解：作点C关于的对称点E，作，使得，连接，，．则，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，C关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵与的周长的和为： ， ∴与的周长的和的最小值为． 故答案为：30． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3-3】如图在中，， 动点D从点A 开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B 开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，F为中点，连接则的最小值为 【答案】 【详解】解：如图，以点B为原点，、所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则，，，， ∵F为中点， ， ∴，, ∴， 设，，，则， 作出图形如下： 作出点关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为使取得最小值的点， ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $