第二章实数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

第二章 实数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识实数 1.1 无理数的引入 面积为 的正方形的边长 满足 ，这样的 既不是整数，也不是分数，所以 不是有理数。 事实上，，，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 示例：等边三角形的边长为 时，高 ，不是有理数，而是无限不循环小数。 1.2 无理数的定义 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 无限不循环小数称为无理数。 示例： 是无理数；（相邻两个 之间 的个数逐次加 ）也是无理数； 是无限循环小数，不是无理数。 1.3 实数的定义 有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。无理数和有理数一样，也有正、负之分。 示例：、、 是有理数，也是实数；、 是无理数，也是实数。 1.4 实数的性质与运算 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数代替无理数进行计算。 示例：求 与 的和（结果保留小数点后两位），可取 ，，则 。 注意：取近似值时”四舍五入”要一次到位，不能中途取近似值再继续参与运算，以免误差累积。 1.5 实数与数轴 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 示例：数轴上表示 的点位于表示 和 的点之间，因为 。 2. 平方根与立方根 2.1 算术平方根的定义 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫作 的算术平方根，记作 ，读作”根号 “。 特别地，我们规定： 的算术平方根是 ，即 。 示例：因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ；因为 ，所以 的算术平方根是 。 注意：算术平方根是非负数，被开方数也必须是非负数，即 中必须 。 2.2 算术平方根的性质 当 时，，；当 时，。 示例：；；。 2.3 平方根的定义 一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的平方根（也叫作二次方根）。 示例：因为 ，所以 的平方根是 ，即 。 2.4 平方根的个数与表示 一个正数有两个平方根； 只有一个平方根，它是 本身；负数没有平方根。 正数 有两个平方根，一个是 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作 ，读作”正、负根号 “。 示例： 的平方根是 ； 的平方根是 ； 没有平方根。 2.5 开平方 求一个数 的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 示例：开平方与平方互为逆运算，如 与 互为逆运算。 2.6 立方根的定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫作 的立方根（也叫作三次方根）。 每个数 都有一个立方根，记作 ，读作”三次根号 “。 示例：因为 ，所以 是 的立方根，记作 ；因为 ，所以 。 2.7 立方根的性质 正数的立方根是正数， 的立方根是 ，负数的立方根是负数。 示例：，，，即负数也有立方根，且其立方根是负数。 2.8 开立方 求一个数 的立方根的运算叫作开立方， 叫作被开方数。 示例：开立方与立方互为逆运算，如 与 互为逆运算。 3. 二次根式 3.1 二次根式的定义 一般地，形如 的式子叫作二次根式， 叫作被开方数。 示例：、、 都是二次根式； 不是二次根式，因为被开方数 。 3.2 二次根式的乘法法则与除法法则 （，）；（，）。 将上面两个等式等号的左边与右边交换，就得到（用于化简）： （，）；（，）。 示例：；。 注意：乘法法则要求每个被开方数都非负，如 ，因为 、 本身无意义。 3.3 最简二次根式 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 示例：；，二者都是最简二次根式。 3.4 二次根式的加减 二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。 示例：，即把被开方数相同的二次根式合并（类似于合并同类项）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 立方根的两个恒等式 ，，对任意实数 都成立，不受 正负的限制。 1.2 算术平方根的非负性与 （）；对任意实数 ，。平方、绝对值、算术平方根统称”非负数”。 1.3 无理数的三种常见形态 ① 开方开不尽的数，如 、；② 圆周率 及含 的数，如 、；③ 人为构造的无限不循环小数，如 。 1.4 “带根号的数”不一定是无理数 、、 都是有理数。判断一个数是否无理数，要看化简后的结果，不能只看”有没有根号”。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平方根、算术平方根、立方根 求平方根看”哪个数的平方等于它”，结果必须带 ；求算术平方根只取其中非负的那一个；求立方根看”哪个数的立方等于它”，结果不带 （符号跟着被开方数走）。如 ， 的平方根是 ，。 2.2 化简二次根式 先把被开方数分解因数（式），把能开得尽方的因数（式）开到根号外，再把分母中的根号化去（分母有理化）。如 ，。 2.3 二次根式的混合运算 先乘除、后加减，有括号先算括号；先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的项。如 。 2.4 比较无理数的大小 方法一平方法：两边同为正数时，同时平方再比较；方法二作差或作商；方法三夹逼估算：先确定整数部分再逐位比较；方法四数轴法：数轴上右边的点表示的数大。如比较 与 ： 等价于 ，不成立，故 。 2.5 估算无理数的近似值 用”夹逼法”：把被开方数夹在两个平方数（或立方数）之间，逐步缩小区间确定范围。如 ，得 ；，得 。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 夹逼估算 把被开方数夹在两个平方数（立方数）之间定范围 ，得 常见平方数速记 牢记 的值，帮助快速开方 化简二次根式口诀 先分解因数、开出尽方因数、再去掉分母中的根号 分母有理化 分子、分母同乘一个含根号的适当式子，使分母不含根号 4. 常见考试模型 4.1 非负数之和为 公式：若 （），则 ，，；推广为几个非负数之和等于 ，则每个非负数都等于 。 限定：每个加数都必须是”非负数”（平方、绝对值、算术平方根均不小于 ）。 示例：如 ，则 ，，，即 ，，。 4.2 实数与数轴 公式：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；数轴上两点间的距离等于右边点对应的数减去左边点对应的数。 限定：实数与数轴上的点一一对应，比较大小先看两点的左右位置。 示例：如点 表示 ，点 表示 ，则点 在点 右侧，，两点距离为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆平方根与算术平方根 典例：求 的平方根。 错解：，所以 的平方根是 。 正解：，即先算算术平方根得 ，再求 的平方根为 。所以 的平方根是 。 原因：概念理解错误。 本身已表示” 的算术平方根”，它的值是 （非负）；“求 的平方根”是在求 的平方根，是两个不同层次。学生把”求一个数的平方根”与”求算术平方根”两件事混为一谈，一看到根号就习惯性写成 ，忽略了算术平方根只取非负值的本质。凡”先求值、再求平方根”的题目，都要分清两步的先后与对象。 易错点 2：化简 时忽略被开方数的符号 典例：当 时，化简 。 错解：。 正解：因为 ，所以 ，。 原因：忽略隐含条件。学生默认”开方就能把平方和根号抵消”，直接写 ，忘记了当 时 。根源是没把 这一性质记牢，只记了 的情形。凡被开方数是”含未知数的完全平方”且未知数范围不确定时，都要先加绝对值再根据符号去绝对值。 易错点 3：把”带根号的数”“无限小数”都误判为无理数 典例：判断下列说法是否正确：① 是无理数；② 是无理数。 错解：①正确，因为 带根号；②正确，因为 是无限小数。 正解：①错误， 是有理数；②错误， 是无限循环小数，可化为 ，是有理数。 原因：概念理解错误。学生把”带根号”当作无理数的标志，把”无限小数”直接等同”无限不循环小数”，忽略了无理数的本质是”无限不循环”。判断一个数是否为无理数，要看化简后的结果：能写成有限小数或无限循环小数（即可化成分数）的都是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 易错点 4：二次根式加减时误当乘除，误用 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：运算法则混淆。学生把乘法法则 错误地”推广”到加法上，误以为 。二次根式只有乘除才有 、 这样的合并法则，加减只能先化简为最简二次根式，再合并被开方数相同的项，绝不能把被开方数直接相加。 易错点 5：误认为负数有平方根（与立方根混淆） 典例：求 的平方根。 错解： 的平方根是 （或 ）。 正解： 没有平方根，因为任何实数的平方都不小于 ，不存在平方等于 的实数。 原因：忽略”负数没有平方根”这一性质，并与立方根混淆——负数的立方根是存在的（如 ）。学生把”负数也有奇次方根”的经验错误迁移到偶次方根上。要记住：平方根（二次方根）只对非负数有意义，而立方根（三次方根）对一切实数都有意义。 易错点 6：二次根式化简不彻底，漏掉能开得尽方的因式 典例：化简 ，并计算 。 错解：，所以 。 正解：，所以 。 原因：运算错误。学生把”能开得尽方的因数”开错， 中能开得尽方的因数是 ，应开出 ，却误写成 。根源是化简二次根式的步骤不熟：应先找被开方数中”最大的完全平方因数”，再开出去。化简要彻底，结果必须是最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）。 学科网（北京）股份有限公司 $