第三章位置与坐标（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

第三章 位置与坐标　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 确定位置 1.1 确定位置需要的数据 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。 示例：电影票上的”3 排 6 座”与”6 排 3 座”中，“6”的含义不同：“3 排 6 座”中的”6”表示第 6 座，“6 排 3 座”中的”6”表示第 6 排。 1.2 确定位置的方法 在平面内，常见确定物体位置的方法如下： 方法 所需数据 示例 方向角 距离 一个表示方向的角、一个距离 蓝方战舰 在红方潜艇北偏东 方向、距离 海里处 经纬度定位 纬度、经度 中国文昌航天发射场位于北纬 、东经 左右 行、列定位 行、列两个数 电影票”3 排 6 座”；郑州市区街道用”经几纬几”表示位置 两个方向的距离 东西、南北两个方向的距离 点 在点 东面多少海里、南面多少海里 两个表示方向的角 两个角 从 、 两点观测船只 ，两条射线 、 的交点即船只的位置 注意：无论采用哪种方法，在平面内确定一个物体的位置一般都需要两个数据。 2. 平面直角坐标系 2.1 平面直角坐标系的定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴称为 轴或横轴，竖直的数轴称为 轴或纵轴， 轴和 轴统称坐标轴，它们的公共原点 称为平面直角坐标系的原点。 示例：两条数轴互相垂直、交于原点 ；水平的为 轴（向右为正），竖直的为 轴（向上为正）。 2.2 点的坐标 建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有序实数对来表示了。对于平面内任意一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ， 分别称为点 的横坐标、纵坐标，有序实数对 称为点 的坐标。 示例：多边形 各个顶点的坐标分别是 ，，，，，。 注意：写点的坐标时，先写横坐标（ 轴上的数），后写纵坐标（ 轴上的数），中间用逗号隔开、外加括号，顺序不能颠倒。 2.3 象限 在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分。右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 示例：点 在第一象限，点 在第二象限，点 在第三象限，点 在第四象限，点 在 轴上，不属于任何象限。 2.4 点与有序实数对的一一对应 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。 示例：有序实数对 对应平面上唯一的一点 ；反过来，点 也唯一对应坐标 。 2.5 坐标轴上点的坐标特点 轴上的点的纵坐标为 ，可表示为 ； 轴上的点的横坐标为 ，可表示为 。 示例：点 在 轴上；点 在 轴上；原点 的坐标为 。 2.6 与坐标轴平行的直线上点的坐标特点 与 轴平行的直线上的点，纵坐标相同；与 轴平行的直线上的点，横坐标相同。 示例：点 与点 的纵坐标都是 ，所以线段 与 轴平行；点 与点 的横坐标都是 ，所以线段 与 轴平行。 2.7 各象限内点的坐标符号特点 位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 示例：不描点即可判断： 在第一象限， 在第三象限， 在第四象限， 在第二象限。 2.8 建立适当的平面直角坐标系 对于给定的图形，选取适当的点作原点、适当的直线作坐标轴，建立平面直角坐标系，可以求出图形各顶点的坐标。 示例：长方形 的长、宽分别是 ，，以点 为原点，分别以 、 所在直线为 轴、 轴建立坐标系，则 ，，。 注意：建系的方法不唯一，选取合适的原点与坐标轴，可以使各顶点坐标简单（如尽量让点落在坐标轴上、坐标为整数）。 3. 轴对称与坐标变化 3.1 关于 轴对称的点的坐标 关于 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于 轴对称。 示例：点 关于 轴对称的点是 。 3.2 关于 轴对称的点的坐标 关于 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数；反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于 轴对称。 示例：点 关于 轴对称的点是 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 关于原点对称的点的坐标 点 关于原点对称的点是 ，即横、纵坐标都变为原来的相反数。它可看作点 先关于 轴对称、再关于 轴对称（或先关于 轴、再关于 轴）的结果。 1.2 两点间的距离公式 已知 ，，由勾股定理得 。当 时 ；当 时 。 1.3 与坐标轴平行的线段的长 若线段 平行于 轴（两端点纵坐标相同），则 ；若 平行于 轴（两端点横坐标相同），则 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 由点写坐标 过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足对应的数依次是横坐标、纵坐标，写成 。如过点 作垂线， 轴上的垂足在 ， 轴上的垂足在 ，则 。 2.2 由坐标描点 在 轴上找出横坐标 的位置，在 轴上找出纵坐标 的位置，过这两点分别作 轴、 轴的平行线，交点即为点 。如描点 ：在 轴上找 、 轴上找 ，分别作平行线，交点即 。 2.3 判断点所在象限或坐标轴 先看横坐标或纵坐标是否为 ：有一个为 则点在坐标轴上，不在任何象限；都不为 ，再按横、纵坐标的正负判断象限。如 横负纵正，在第二象限； 横坐标为 ，在 轴上。 2.4 建立适当的平面直角坐标系求顶点坐标 选取原点与坐标轴，使图形顶点尽量落在坐标轴上、坐标为整数；再利用图形的边长、垂直、对称等条件写出各顶点坐标。如长方形以左下角顶点为原点、两邻边所在直线为坐标轴，各顶点坐标最简。 2.5 关于坐标轴对称的点的坐标变化规律的应用 已知点 ，关于 轴对称得 ，关于 轴对称得 ；对称图形的各顶点坐标按同一规律变化。如点 关于 轴对称得 ，关于 轴对称得 。 3. 运算 / 判断小技巧 技巧 要点 示例 象限符号口诀 一全正、二负正、三负负、四正负（前一字为横坐标符号，后一字为纵坐标符号） 横负纵正，在第二象限 坐标轴上点的设法 轴上点设 ， 轴上点设 ，用字母表示便于列式求解 轴上一点到 的距离为 ，设该点为 对称坐标速记 关于 轴对称只改纵坐标符号；关于 轴对称只改横坐标符号 关于 轴得 ，关于 轴得 割补法求图形面积 坐标系中不规则图形用矩形（或梯形）框住，用外包面积减去周围三角形面积 求四边形 面积：外包矩形减 个三角形面积 平行于轴的线段定值 平行于 轴的点纵坐标相等；平行于 轴的点横坐标相等 、 连成的线段平行于 轴 4. 常见考试模型 4.1 建立坐标系求图形顶点坐标模型 公式：以图形某顶点为原点、相邻两边所在直线为坐标轴，或利用对称轴、垂直平分线建系，再按边长写出各顶点坐标。 限定：坐标系选取与图形的边长、位置条件必须一致，坐标要回代验证满足图形条件。 示例：如边长为 的等边三角形 ，以 所在直线为 轴、 的垂直平分线为 轴建系，则 ，，。 4.2 轴对称与坐标变化模型 公式：图形各顶点坐标，关于 轴对称：；关于 轴对称：。 限定：只改变对应坐标的符号，另一坐标不变，横、纵不要弄混。 示例：如点 关于 轴对称得 ，所得图形与原图形关于 轴对称，形状、大小都不变。 4.3 坐标系中图形面积模型 公式：面积 外包矩形面积 周围三角形（或梯形）面积之和（割补法）；平行于坐标轴的底可用 1.3 求长。 限定：各矩形、三角形的边长须由对应坐标差（取绝对值）求出，不能直接用坐标值相减不看符号。 示例：如求四边形 （顶点 ，，，）的面积，用割补法：外包矩形减 个三角形面积。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把点的横坐标、纵坐标写反 典例：在平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，且点 在第一象限，求点 的坐标。 错解：点 到 轴的距离就是横坐标，到 轴的距离就是纵坐标，所以 。 正解：点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到 轴的距离等于横坐标的绝对值，所以 ，。又点 在第一象限，故 ，，点 的坐标是 。 原因：概念理解错误。横坐标是点向 轴作垂线、垂足在 轴上对应的数，它刻画的是点到 轴的距离；纵坐标才是点到 轴的距离。学生凭”先 后 “的直觉，误把”到 轴的距离”对接到横坐标上。要牢记：横坐标对应 轴（竖），纵坐标对应 轴（横），两者交叉对应。 易错点 2：坐标轴上的点不在任何象限，误判其所在象限 典例：点 位于第几象限？ 错解：横坐标为 、纵坐标为负，所以点 在第四象限（或答”在 轴与 轴之间的象限”）。 正解：点 的横坐标为 ，所以它在 轴上；坐标轴上的点不属于任何一个象限，故点 不在任何象限内。 原因：概念遗漏。学生只记得”按横、纵坐标的正负判断象限”，忘了”坐标轴上的点不属于任何象限”这一规定。凡横坐标或纵坐标为 的点，必在坐标轴上，先按”轴上点”处理，不能再套用象限的符号规律。 易错点 3：关于 轴、 轴对称时，横、纵坐标变化张冠李戴 典例：点 关于 轴对称的点的坐标是（　）。 错解：关于 轴对称就是横坐标变化，所以对称点的坐标是 。 正解：关于 轴对称，横坐标相同、纵坐标互为相反数，所以对称点为 。 原因：规律记忆错乱。学生把”关于 轴对称”误理解成”改 （横坐标）“，实际上关于哪条轴对称，就改变与那条轴”垂直方向”上的坐标：关于 轴对称改纵坐标，关于 轴对称改横坐标。可记为”关于 轴改 ，关于 轴改 “。 易错点 4：确定位置时遗漏数据，误以为一个数据就够 典例：已知红方潜艇在正北方向 海里处有一艘蓝方战舰，能否用”正北方向”一个数据确定它的位置？ 错解：能。只要知道方向”正北”就能确定它的位置。 正解：不能。“正北方向”只确定了方向，同方向上不同距离处有无数个点；还必须知道距离（ 海里）这个数据。在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据（一个表示方向的角、一个距离）。 原因：条件遗漏。学生把”确定方向”等同于”确定位置”，忽略了方向相同但距离不同的点有无数多个。由”方向角 距离”定位时，两个数据缺一不可；同理，用”行 + 列”定位时，只说”第 3 排”或只说”6 座”都无法唯一确定座位。 易错点 5：第二、第四象限的符号规律记错 典例：判断点 所在象限。 错解：横坐标为负、纵坐标为正，横负纵正，所以点 在第四象限（或答”第三象限”）。 正解：横坐标为负、纵坐标为正，点 在第二象限。四个象限符号为：第一象限 、第二象限 、第三象限 、第四象限 。 原因：记忆缺失。学生混淆了第二象限 与第四象限 的符号。可借助逆时针顺序记忆：从第一象限 开始，沿逆时针方向依次为第二象限 、第三象限 、第四象限 ；也可以想象点的实际位置——横坐标为负说明点在 轴左侧，纵坐标为正说明点在 轴上方，合起来就是左上方的第二象限。 学科网（北京）股份有限公司 $