专题01 勾股定理（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题01 勾股定理（5知识&8题型&3易错） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【题型一】利用勾股定理求线段长 【例1】在中，，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【变式1-2】已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【变式1-3】如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型二】直角三角形三边为边长的正方形面积关系 【例2】如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【变式2-1】以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（    ） A．9 B．11 C．36 D．41 【变式2-3】如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【题型三】直角三角形斜边上的高 【例3】若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【变式3-1】如图，在中，，为斜边上的高．如果，4，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，，，是斜边上的高，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【变式3-3】如图，在中，，则边上的高为（    ） A．0.6 B． C．1.2 D． 【题型四】勾股定理在网格中的应用 【例4】如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 【变式4-2】如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 【变式4-3】如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【题型五】线段的平方关系 【例5】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【变式5-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【变式5-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【变式5-3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【题型六】水上航行 【例6】一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，） 【变式6-1】如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 【变式6-2】如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 【变式6-3】如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【题型7】勾股定理逆定理 【例7】．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 【变式7-1】木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 【变式7-2】在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． 【题型8】选址问题 【例8】．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【变式8-1】如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 【变式8-2】如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米． 【变式8-3】如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. 【题型一】折叠问题中找不到等量关系建立方程致错 【例1】如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式1-2】如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【变式1-3】如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【题型二】求第三边是未分情况讨论漏解致错 【例2】直角三角形两边分别为和，则第三边为（    ） A．3 B．4 C． D．4或 【变式2-1】在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 【变式2-2】若直角三角形的两小边为、，则第三边为 ． 【变式2-3】直角三角形有两边长分别为5，9，则该直角三角形第三边为 ． 【题型三】弦图为背景求解未找到图形面积关系致错 【例3】如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【变式3-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【变式3-2】如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【变式3-3】“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理（5知识&8题型&3易错） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【题型一】利用勾股定理求线段长 【例1】在中，，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形等面积法，由勾股定理得：，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-1】如图，在中，，，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理． 由等腰三角形的性质，结合已知可得为的中点，从而可得的长度，根据勾股定理即可得的长． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， ∴为的中点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的长为． 故选：A． 【变式1-2】已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 【变式1-3】如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用直角三角形的性质和面积公式来求解的长度．首先，利用三角形的面积公式求出的长度；然后，利用直角三角形BCD的勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 即 ， 解得：(负值舍去)， ∴． 故选：B． 【题型二】直角三角形三边为边长的正方形面积关系 【例2】如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理计算即可． 【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形， ∴图中字母M所代表的正方形面积是， 故选A． 【变式2-1】以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴由勾股定理得，， 即正方形的面积为， 故选：． 【变式2-2】如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（    ） A．9 B．11 C．36 D．41 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为：， 由题意得：， ∴， 即正方形的面积为9． 故选：A． 【变式2-3】如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 故选：C． 【题型三】直角三角形斜边上的高 【例3】若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为（   ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求解． 先利用勾股定理求出斜边长度，再通过等面积法计算即可． 【详解】解：根据勾股定理可知，斜边长为 设斜边上的高为h， 根据等面积法可知： 解得： 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，，为斜边上的高．如果，4，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ∴， 即． 故选：C． 【变式3-2】如图，在中，，，，是斜边上的高，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由得， 故选：D． 【变式3-3】如图，在中，，则边上的高为（    ） A．0.6 B． C．1.2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形的高；根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，结合，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵是的斜边上的高， ∴ ∴， 故选：B． 【题型四】勾股定理在网格中的应用 【例4】如图，在正方形网格中，点均在格点上，则下列线段长为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格图．根据勾股定理解答，即可解答． 【详解】解：根据题意得：． 即线段长为的是． 故选：D． 【变式4-1】如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为． 故选：D． 【变式4-2】如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：， 故选：A． 【变式4-3】如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作于点，得到，，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意得：，， ， ， ， 点到线段的距离为， 故答案为：C． 【题型五】线段的平方关系 【例5】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 【变式5-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：34． 【变式5-2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 【变式5-3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【题型六】水上航行 【例6】一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东的方向上．若继续沿正北方向航行，航行过程中船距灯塔S的最近距离为 海里．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，） 【答案】10.4 【分析】过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，由锐角三角函数的定义求出SC的长即可． 【详解】解：过S作SC⊥AB于C． ∵∠SBC=60°，∠A=30°， ∴∠BSA=∠SBC-∠A=30°， 即∠BSA=∠A=30°． ∴SB=AB=12（海里）， Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°， ∴SC=SB•sin60°=12×=6≈10.4（海里）． 故答案为：10.4． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形求出SC的长是解题的关键． 【变式6-1】如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）． 【答案】． 【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C， 在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°， ∴海里，海里， 在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°， ∴PC=BC=海里， ∴海里， 故答案为：． 【变式6-2】如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 【答案】60 【分析】本题考查了勾股定理的应用， 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了48海里和36海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 【变式6-3】如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 【题型7】勾股定理逆定理 【例7】．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 【变式7-1】木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格． 【详解】解：不合格， 理由：∵802+1002=16400≠1302， 即：AB2+BC2≠AC2， ∴∠B≠90°， ∴四边形ABCD不是矩形， ∴这个桌面不合格． 故答案为：不合格． 【变式7-2】在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． 【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 【题型8】选址问题 【例8】．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 【答案】// 【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，则， ∵，，，， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解． 【变式8-2】如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米． 【答案】10 【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设千米，则千米， ∵B、C两村到P站的距离相等， ∴． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键． 【变式8-3】如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走 m. 【答案】1000 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′EB中， A′B===1000（m）． 即牧童最少要走1000米． 故答案为1000． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 【题型一】折叠问题中找不到等量关系建立方程致错 【例1】如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，通过设，利用和勾股定理构建等式，进而解得． 【详解】解： 设， ， ， 沿翻折，点A与点B重合， ， 在中，，， ，即， 解得． 故选：B． 【变式1-1】．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 【变式1-2】如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定．过点N作，垂足为H，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，再证明，故此可知，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点N作，垂足为H， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵对称轴的性质可得知， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，由翻折的性质可知，则. 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ∴． 故选：D． 【变式1-3】如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，，，， 由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 【题型二】求第三边是未分情况讨论漏解致错 【例2】直角三角形两边分别为和，则第三边为（    ） A．3 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据勾股定理分类讨论即可求解． 【详解】解：当直角三角形两直角边分别为和时，斜边，即第三边为； 当直角三角形斜边长为5，一直角边为3，则第三边长为， 综上所述，第三边长为或， 故选：D ． 【变式2-1】在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得，，解得：； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得，，解得． 所以第三边长为10或． 故答案为：10或． 【变式2-2】若直角三角形的两小边为、，则第三边为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理直接计算，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两小边为、， ∴第三边， 故答案为：． 【变式2-3】直角三角形有两边长分别为5，9，则该直角三角形第三边为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可分当边长为9为直角边时和斜边时进行分类求解即可． 【详解】解：当边长为9为斜边时，则第三边长为； 当边长为9为直角边时，则第三边长为； 故答案为或． 【题型三】弦图为背景求解未找到图形面积关系致错 【例3】如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 【变式3-1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 【变式3-2】如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】675 【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键． 【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为， ， ， ， ，， ． 故答案为：675． 【变式3-3】“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ． 【答案】 【详解】解：∵风车的外围周长（虚线部分）为76， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $