专题02 实数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02实数(4知识&12题型&3易错&2方法清单) 知识图谱 算术平方根的概念和性质 平方根的概念和性质 平方与立方根 立方根的概念和性质 实数的分类 实数的性质 无理数与实数 实数的运算 实数比较大小 实数 二次根式 二次根式的性质 二次根式的相关概念和性质 最简二次根式 同类二次根式 乘除 加减 次根式的运算 混合运算 知识清单 【清单01】平方根和立方根 类型 平方根 立方根 项目 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 ±va a 个正数有两个平方根，且互为 个正数有一个正的立方 性质 相反数； 根； 1/11 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方 负数没有平方根： 根； 零的立方根是零： (a)2=a(a≥0) (a)3=a 重要结论 va"=a= a(a≥0) Na =a -a(a<0) -a=-Va 【清单02】无理数与实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 正有理数 有理数{零 有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2.实数与数轴上的点一一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数的三个非负性及性质 在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们己经学习过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0： (2)任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0： (3)任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0(a≥0). 非负数具有以下性质： (1)非负数有最小值零； (2)有限个非负数之和仍是非负数； (3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算 数α的相反数是一a;一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值 是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除， 2/11 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。 5.实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大 法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小： 法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法 【清单O3】二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 形V石a之0的武了明发二次保太复5，及602石等式子，都到微次式 2.二次根式的性质 (1)Va≥0(a≥0)； (2)a) =a(a20); 「e(a20) -a(a<0) 3.最简二次根式 (1)被开方数是整数或整式； (2)被开方数中不含能开方的因数或因式。 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如√2，√ab,3√，Va2+b2等都是最简二次根式。 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。 【清单04】二次根式的运算 1.乘除法 (1)乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 √a×Vb=√ab(a≥0，b≥0) Vab=Va×Vb(a≥0，b≥0) 3/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 商的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 Va a V a≥0，b>0 aa (a≥0，b>0) b 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二 次根式。 期中常考题型清单 【题型一】无理数 【例1】在实数5,0， 子31415,03，号5,3141414…无理数的个数有（) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 个 22 131 【变式1-1】在下列各数2,0,0.2,7,6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），11， 27,3.14中，无理数的个数是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式12】在7,32，写4这五个数中，无理数的个数为《） A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1-3】在数1、2号、-、0、8、020202、 22 √中无理数的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【题型二】无理数的估算 【例2】估算8-√8的值，下列结论正确的是() A.3和4之间B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 【变式2-1】估计√26+2的值在() A.4和5之间B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 【变式2-2】估计2+√3的值在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 【变式2-3】估算√13-2的值在() A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型三】实数与数轴 【例3】小明学习了使用科学计算器后，给同学小华出了一道题目：如图，依次按键，所得的结果在数轴上 对应的点可能是() D C -☐W□5 321023→ A.点A B.点B C.点C D.点D 【变式3-1】如图，在数轴上表示√5的点可能是() M N 01234 A.点P B.点Q C.点M D.点N 【变式3-2】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是() 0 12 3Y) 4 A.√6 B.万 C.10 D.17 【变式3-3】如图，己知数轴上的点A、B、C、D分别表示数-2、-1、1、2，则表示1-√万的点P应落在线 段() A BO C D -3-2-101234 A.AB上 B.OB上 C.0C上 D.CD上 【题型四】比较无理数的大小 【例4】·比较三个数：-3，-π，-√0的大小，下列结论正确的是（) A.-元>-3>-V10 B.-V10>-π>-3 C.-10>-3>-元 D.-3>-π>-10 【变式41】下列实数比较大小，正确的是() A.√7<2.5 B.V16>22 c.5+2,5 2 【变式4-2】比较2,6，√5的大小，正确的是（) A.2<5<6B.6<5<2 C.6<2<5 D.5<6<2 【变式44】把314、、号按从小到大的顺挂列《） 5/11 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 22 22 22 A.3.14<π< B.3.14< 7 <π C.π< <3.14 D.元<3.14< 【题型五】勾股定理与实数 【例5】如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是() A.1 B.1.3 C.5 D.√2 【变式5-1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是() A -3-2-10 12345 A.V10-2 B.10 C.1 D.√10-3 【变式5-2】如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上.若以点A为圆心，对角线AC的长为 半径作弧交数轴的正半轴于点M,则点M表示的数为() D -1 0 A.5 B.√5-1 C.10 D.0-1 【变式5-3】如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的数为() B A -3-2-10 1C2 3→ A.V5+1 B.5-1 C.-5+1 D.-5-1 【题型六】平方根与算术平方根 【例6】·9的平方根是() A.±9 B.9 C.±3 D.3 【变式6-1】√16的平方根是() A.-2 B.±2 C.±4 D.-4 【变式6-2】下列各式正确的是() 6/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 A.±V5=3 B. =5 C.√-4y=-4 D.16=4 V25 【变式6-3】下面的说法中，正确的是() A.一个数的算术平方根一定是正数 B.√16的算术平方根是2 C.-7是(-72的算术平方根 D.如果a<0,那么√-a没有意义 【题型七】立方根 【例7】.已知一个数的立方根是-子 那么这个数是() A B c.g D.1 8 【变式71】若一个数的立方限是子则这个载是() A得 B得 C.-27 8 D.±27 8 【变式7-2】已知5x+4的立方根是4，则2x+1的平方根是() A.5 B.±5 C.5 D.±5 【变式7-3】已知2a的平方根是±2,3是3a+b的立方根，则a-2b的值是() A.-20 B.-25 C.-30 D.-40 【题型八】二次根式有意义的条件 【例8】.29.式子√x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x≥0 B.x>1 C.x≤1 D.x≥1 【变式8-1】当x=3时，下列二次根式没有意义的是() A.√-x B.√2x-6 c. 3 Vx-2 D.x2+3 【变式8-2】二次根式√a2中，字母a的取值范围是() A.全体实数B.a≤0 C.a20 D.以上答案都不对 【变式8-3】下列各式中，一定是二次根式的是() A.√R B.√-x+2 C.x2+1 D.√x2-2 【题型九】二次根式的乘除 7/11 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【例】.计算：25×2 【变式9.1】计算：3+5×万的结果为 【变式9-2】计算： s 【变式9-3】计算：√6÷√5x√2= 【题型十】二次根式的加减 【例10】.计算：√27-√5= 【变式10】第：2+65-3- 【变式10-2】计算：327+2√75-312= 【变式10-3】.计算38+2√18-3√32-√72= 【题型十一】分母有理化 【例1】.比较大小：2-5 1 1 —-2 ，(填“>“<”或“=” 【变式111】分母有理化：2+5 1 1,b=1 【变式2】已知Q5-25+2则2+的值为 a b 变式3】化简：32-有 【题型十二】二次根式化简求值 【例12】.已知x+y=8,xy=8, 【变式12】化简：-侣4如，侣：并将自己客攻的a值代入化简结果进行计算， 【变式12-2】已知x=5-1,求代数式4+25x2+253+1x+35的值. 1 1 11 【变式123】已y=-2+V3+8,求=++2西，后5的值. 十 x-2y x+x 8/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高频易错归因清单 【题型一】忘记化简直接求平方根或立方根 【例1】64的平方根是一，16的算术平方根是一， 125的立方根是 【变式1-1】(-4)2的平方根是 √36的算术平方根是」 【变式1-2】 25 196 的平方根是 【变式1-2】√16的负的平方根是 【题型二】不会求小数部分导致做错 【例2】.若5-√10的整数部分为a,小数部分为b,则a=一，b= 【变式2-1】若9+√3与9-√3的小数部分分别为a与b,则a+b= 【变式2-2】已知x,y分别是10-2√2的整数部分和小数部分，则xy-y2=_ 【变式2-3】如果a,b分别是6-√2的整数部分和小数部分，那么ab2-ab= 【题型三】因平方根与算数平方根混淆而漏解 【例3】若(x+1)2=64,则x= 【变式3-1】已知：（x+5)2=9,则x的值是 【变式3-2】若5(x-32=20,则x=一 【变式3-3】满足方程(2x-1)2-16=9的x的值为 方法技巧速通清单 【题型一】特殊二次根式比较大小 逆用分母有理化比较大小 :(n+i+nn+i-同 =(n+1-(nm)i =n+1-n =1, ∴m+1-n 9/11 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 n+1+/n (n+1-m)(n+1+m _Vn+l+√n 1 =√n+I+√n 【例1】已知：a=√6-5，b=√万-√6，c=2√2-√万，则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 【变式1-1】已知a=V2023-√2022，b=√2024-2023，c=V2025-V2024,则下列结论正确的是() A.axb>c B.c>b>a C.bxaxc D.b>c>a 【变式1-2】比较大小：V7-V6 6-5 【变式1-3】比较大小4-3 √13-√12 【题型二】复合二次根式化简 利用完全平方公式化简 形如Vm±2的化简，只要我们找到两个数a,b使a+b=m,ab=n,这样(a+(=m, G万=厅，那么便有Vm±2=a±b)=a± 【例1】计算2V3-2√2+V7-125=() A.5-42B.42-1 C.5 D.1 【变式1一1】化简2√4+25-V21-125的结果为 1 1 【变式1-2】5+2后7+45 【变式1一3】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2W2=2+2W2+1=(W②+22+12=(1+2).善于思考的小明进行了以下探索： 形如Vm±2n的化简，只要我们找到两个数a,b使a+b=m,ab=n,这样(Va'+(万)=m, 后万-顶，那么便有m±2=a±'=a±. 例如：化简V6+4W2,首先把V6+4W2化为V6+2V⑧，这里m=6,n=8; 由于4+2=6,4x2=8,即(4+2=6,42=⑧ 10/11 专题02 实数（4知识&12题型&3易错&2方法清单） 【清单01】平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【清单02】无理数与实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【清单03】二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【清单04】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【题型一】无理数 【例1】在实数，0，，3.1415，，，，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可，解题的关键是掌握无理数的定义． 【详解】解：在实数，0，，3.1415，，，，，是无理数的有：， ，共个， 故选：A． 【变式1-1】在下列各数，0，，，……（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，中，无理数的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无理数就是无限不循环小数是解题的关键．初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如，等；②开方开不尽的数，如、等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）等，据此即可解答此题． 【详解】0是整数，不是无理数； ，，，是分数，不是无理数； ，……（相邻两个1之间0的个数逐次加1），是无理数， 故无理数一共有3个， 故选：B． 【变式1-2】在，，，，这五个数中，无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各数即可求解． 【详解】解：在，，，，这五个数中，， ，是无理数，共2个， 故选：A． 【变式1-3】在数1、、、0、、0.202002、中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数． 利用无理数的概念即可判定选择项． 【详解】解：， 在数1、、、0、、0.202002、中， 在这一组数据中无理数有，共两个． 故选：B． 【题型二】无理数的估算 【例2】估算的值，下列结论正确的是（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，由估算方法得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【变式2-1】估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算． 求出，即可估算的值． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D 【变式2-2】估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．直接利用估算无理数的大小的方法得出，进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-3】估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再估算的范围即可得解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型三】实数与数轴 【例3】小明学习了使用科学计算器后，给同学小华出了一道题目：如图，依次按键，所得的结果在数轴上对应的点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，无理数的估算． 由计算器可知小明求的是的值，估算出的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：由计算器可知小明求的是的值， ∵， ∴， ∴， 即结果在数轴上对应的点可能是点D． 故选：D． 【变式3-1】如图，在数轴上表示的点可能是（   ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 利用无理数的估算得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即在数轴上表示的点在3和4之间， ∴在数轴上表示的点可能是点M． 故选：C． 【变式3-2】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系、无理数的估算．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数大于小于，且更靠近， A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项符合题意； D、，，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴上点的关系．关键是根据的取值范围来确定的取值范围．估算出的取值范围，即可确定点P在数轴上应落在的线段． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即表示的点P落在线段上． 故选：A． 【题型四】比较无理数的大小 【例4】．比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 【变式4-1】下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D． 【变式4-2】比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的大小比较，利用即可判断． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式4-4】把、、按从小到大的顺序排列（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的近似数，解题关键是通过取近似值再比较实数的大小． 先将、取近似值，再把、、按从小到大的顺序排列． 【详解】解：，， 所以把、、按从小到大的顺序排列为， 故选：A． 【题型五】勾股定理与实数 【例5】如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；根据勾股定理可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴点A表示的数是； 故选D． 【变式5-1】如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵ 该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 故答案为：． 【变式5-2】如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 【变式5-3】如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 【题型六】平方根与算术平方根 【例6】．9的平方根是（   ） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了求平方根，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 根据平方根的定义计算即可得解． 【详解】解：， 故9的平方根是， 故选：C． 【变式6-1】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，先计算，再计算该值的平方根． 【详解】， 的平方根是， 故选：B． 【变式6-2】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，利用平方根和算术平方根逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-3】下面的说法中，正确的是（    ） A．一个数的算术平方根一定是正数 B．的算术平方根是2 C．是的算术平方根 D．如果，那么没有意义 【答案】B 【分析】本题考查了对算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据算术平方根的意义，求出各个数，再判断即可． 【详解】A．0的算术平方根是0，故本选项不符合题意； B．，4的算术平方根是2，正确，故本选项符合题意； C．是的平方根中负的那一个，7才是的算术平方根，故本选项不符合题意； D．如果，则，那么有意义，故本选项不符合题意． 【题型七】立方根 【例7】．已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 【变式7-1】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式7-2】已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 【变式7-3】已知的平方根是，是的立方根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用平方根及立方根的定义求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， 则． 故选：D． 【题型八】二次根式有意义的条件 【例8】．29．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：D． 【变式8-1】当时，下列二次根式没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义即被开方数为非负数，当被开方数为负数时无意义，由此判断即可． 【详解】解：A、当时，，二次根式没有意义，故此选项符合题意； B、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； C、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式8-2】二次根式中，字母的取值范围是（    ） A．全体实数 B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次根式中，字母的取值范围是全体实数． 故选A． 【变式8-3】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，进行判断即可． 【详解】解：A、对于，被开方数是，当时，在实数范围内无意义，不满足被开方数是非负数这一条件，所以不一定是二次根式，不符合题意； B、对于，被开方数是，当，即时，在实数范围内无意义，不满足被开方数是非负数这一条件，所以不一定是二次根式，不符合题意； C、对于，被开方数是，因为任何实数的平方都大于等于，即，所以，无论取何实数，被开方数都为正数，满足二次根式被开方数是非负数的定义，所以一定是二次根式，符合题意； D、对于，被开方数是，当，即时，在实数范围内无意义，不满足被开方数是非负数这一条件，所以不一定是二次根式，不符合题意． 故选：C． 【题型九】二次根式的乘除 【例9】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题关键是掌握二次根式的乘除混合运算． 先将化为，再约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式9-1】计算：的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘除，把二次根式的除法转化成乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【变式9-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法，先计算括号里面二次根式的除法，再计算括号外二次根式的乘法． 【详解】解： 故答案为： 【变式9-3】计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：2． 【题型十】二次根式的加减 【例10】．计算： . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式10-1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式10-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式10-3】．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型十一】分母有理化 【例11】．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式11-1】分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化，利用分母有理化进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为： 【变式11-2】已知，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，利用平方差公式和完全平方公式求解，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化． 先进行二次根式的分母有理化，再整理分式，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：18． 【变式11-3】化简： ＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先化简可得原式，再合并同类二次根式. 【详解】解：原式. 故答案为：. 【题型十二】二次根式化简求值 【例12】．已知，，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 【变式12-1】化简：；并将自己喜欢的a值代入化简结果进行计算． 【答案】，当时，值为6 【分析】本题考查二次根式的化简求值．根据二次根式的运算法则化简，代入使原式有意义的a的值即可计算． 【详解】解：原式， 取，则原式． 【变式12-2】已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据求得，后代入代数式计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，平方差公式和代数式求值，把要求的代数式进行正确变形化简是解题的关键． 【详解】解：由得， 故 ． 【变式12-3】已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，首先需要根据二次根式有意义的条件确定的值，进而确定y的值，再把所求式子约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：， 和， 解得， 将代入的表达式中，， 把和代入需要求值的表达式中， ． 【题型一】忘记化简直接求平方根或立方根 【例1】64的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，求算术平方根， 根据定义解答即可. 【详解】解：64的平方根是，的算术平方根是，的立方根是. 故答案为：. 【变式1-1】的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 /4和 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键； 根据平方根，算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 16的平方根是：， 6的算术平方根是：， 故答案为：，． 【变式1-2】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．先求出算术平方根，再求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是 故答案为：． 【变式1-2】的负的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，可得，求出的负的平方根即可． 【详解】解：， ， 的负的平方根是， 故答案为：． 【题型二】不会求小数部分导致做错 【例2】．若 的整数部分为a，小数部分为b，则 ， 【答案】 1 【分析】本题重点考查​无理数的估算和实数的整数部分与小数部分的确定​，​准确估算无理数的大小并正确计算表达式的值是解题的关键​． 先估算出整数部分，再利用无理数减去整数部分即得小数部分，即得答案． 【详解】因为， 所以， 所以整数部分，小数部分， 故答案为：1；． 【变式2-1】若与的小数部分分别为与，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算；根据可得与的小数部分，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】已知分别是的整数部分和小数部分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法可得，即得，得到，，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴， ∵分别是的整数部分和小数部分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-3】如果a，b分别是的整数部分和小数部分，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查的是二次根式的混合运算及估算无理数大小，解答此类题目的关键是先对无理数进行估算，再代入分解因式后式子计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三】因平方根与算数平方根混淆而漏解 【例3】若，则 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 或． 故答案为：7或． 【变式3-1】已知：，则x的值是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用平方根解方程，等号两边分别开平方，得到两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 或， 解得或， 故答案为：或． 【变式3-2】若，则 ． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查利用平方根的概念解方程，方程两边同时除以5，再根据平方根的概念即可转化为两个一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】 ， ∴或， 故答案为：5或1． 【变式3-3】满足方程的x的值为 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查了利用平方根解方程． 先整理得到，则或，计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 故答案为：或3． 【题型一】特殊二次根式比较大小————逆用分母有理化比较大小 ∵ ， ∴ 【例1】已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 【变式1—1】已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 【变式1—2】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1—3】比较大小 ． 【答案】< 【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案． 【详解】解：左边求倒数为， 右边求倒数为， ， ． 故答案为：< 【题型二】复合二次根式化简————利用完全平方公式化简 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有． 【例1】计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式1—1】化简的结果为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 【变式1—2】 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1—3】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有． 例如：化简，首先把化为，这里，； 由于，即， 原式 由上述例题的方法，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：中，，， 由于，即，， ∴， （2）在中，这里，， 由于，即，， ； （3）中，这里，， 由于，即，， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $