指数与指数函数题型训练-2027届高三数学一轮复习

第3次补短 指数与指数函数答案 知识结构 知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质 知识点3 底数对指数函数图象的影响 教学目标 1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 4.能结合指数函数比较指数式大小. 题型破译 题型1 根式与指数幂的运算 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 题型3 指数函数的定点问题（重点） 题型4 指数函数的图象问题 题型5 指数函数的单调性（重点） 题型6 指数函数的值域（最值）（重点） 【方法技巧】复合函数单调性的判断方法 题型7 比较指数幂大小 【方法技巧】比较指数幂大小的方法 题型8 解指数不等式（难点） 题型1 根式与指数幂的运算 1.设，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D.【详解】根据幂的运算性质可得：，故A错误； ，故B错误；，故C错误； ，故D正确. 【点睛】本题考查指数幂的基本运算，属简单题 2.（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1【详解】函数，所以. 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 3.函数是指数函数，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 4. 已知指数函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】【详解】由已知且，解得且，所以的范围是. 题型3 指数函数的定点问题 5.函数的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】令，解得，且，故函数的图象恒过定点． 题型4 指数函数的图象问题 6.（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 7.函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】B【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 8.（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 题型5 指数函数的单调性 9. 函数的减区间是____________． 【答案】【详解】令，则函数t的增区间是．而函数在上单调递减，故函数的减区间是． 10.函数f(x)＝,则对任意实数x,下列结论正确的是（ ） A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减 【解析】选B.f(x)的定义域为R,f(x)＝,则f(－x)＝＝－＝－f(x), 故f(x)是奇函数.由于f(x)＝,函数y＝ex＋1单调递增, 故f(x)在R上单调递增. 方法技巧 复合函数的单调性判断方法 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④同增异减 题型6 指数函数的值域（最值） 11.函数（ ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】因为函数，设，当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 12.已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【答案】ABD【详解】根据题意，设     对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 13. 函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 【答案】 ； 【详解】令，当时，u单调递增．而在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．又，所以． 题型7 比较指数幂大小 14.（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以， 15.已知实数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】A：当，则，错；B：当，则，错； C：当，有；当，有；当，有，对； D：由在定义域上单调递减，则，错. 16.设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 方法技巧 比较指数幂大小的方法 （1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）． （2）同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）． （3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）． 题型8 解指数不等式 17.已知不等式成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】 ，即 ，即 ，故不等式的解集为 ， 18. 已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数，是增函数， 因为，，即， 是单调递增函数，，解得．所以的取值范围是. 19. （2026·全国II卷·高考真题）函数有两个零点，则的取值范围为__________. 【答案】【详解】由，当且仅当，即时取等号，记，则，图象关于直线对称，切当时，，在处取唯一的最小值4，所以有两个不同实根，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3次补短 指数与指数函数学案 题型1 根式与指数幂的运算 1.设，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 2.（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 3.函数是指数函数，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．1或 4. 已知指数函数，则实数的取值范围是____________． 题型3 指数函数的定点问题 5.函数的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 题型4 指数函数的图象问题 6.（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 7.函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 8.（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 题型5 指数函数的单调性 9. 函数的减区间是____________． 10.函数f(x)＝,则对任意实数x,下列结论正确的是（ ） A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减 题型6 指数函数的值域（最值） 11.函数（ ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 12.已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 13. 函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 题型7 比较指数幂大小 14.（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 15.已知实数，则（ ） A． B． C． D． 16.设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型8 解指数不等式 17.已知不等式成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 18. 已知函数，若，则的取值范围是___________． 19. （2026·全国II卷·高考真题）函数有两个零点，则的取值范围为__________. 题型1 根式与指数幂的运算答案 1.设，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D.【详解】根据幂的运算性质可得：，故A错误； ，故B错误；，故C错误； ，故D正确. 2.（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1【详解】函数，所以. 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 3.函数是指数函数，则a的值为（ ） B． B．1 C． D．1或 【答案】A【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 5. 已知指数函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】【详解】由已知且，解得且，所以的范围是. 题型3 指数函数的定点问题 5.函数的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】令，解得，且，故函数的图象恒过定点． 题型4 指数函数的图象问题 6.（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（ ） B． B． C． D． 【答案】BD【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 7.函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】B【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 8.（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 题型5 指数函数的单调性 10. 函数的减区间是____________． 【答案】【详解】令，则函数t的增区间是．而函数在上单调递减，故函数的减区间是． 10.函数f(x)＝,则对任意实数x,下列结论正确的是（ ） A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减 【解析】选B.f(x)的定义域为R,f(x)＝,则f(－x)＝＝－＝－f(x), 故f(x)是奇函数.由于f(x)＝,函数y＝ex＋1单调递增, 故f(x)在R上单调递增. 方法技巧 复合函数的单调性判断方法 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④同增异减 题型6 指数函数的值域（最值） 11.函数（ ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】因为函数，设，当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 12.已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【答案】ABD【详解】根据题意，设     对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 14. 函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 【答案】 ； 【详解】令，当时，u单调递增．而在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．又，所以． 题型7 比较指数幂大小 14.（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以， 15.已知实数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】A：当，则，错；B：当，则，错； C：当，有；当，有；当，有，对； D：由在定义域上单调递减，则，错. 16.设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 方法技巧 比较指数幂大小的方法 （1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）． （2）同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）． （3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）． 题型8 解指数不等式 17.已知不等式成立，则的取值范围为（ ） B． B． C． D． 【答案】D【详解】 ，即 ，即 ，故不等式的解集为 ， 18.已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数，是增函数， 因为，，即， 是单调递增函数，，解得．所以的取值范围是. 19.（2026·全国II卷·高考真题）函数有两个零点，则的取值范围为__________. 【答案】【详解】由，当且仅当，即时取等号，记，则，图象关于直线对称，切当时，，在处取唯一的最小值4，所以有两个不同实根，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $