重庆市南开中学校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（二） 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知的展开式中的系数为80，则实数（ ） A. B. C. 2 D. -2 4. 设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知向量与的夹角为，其中，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 已知角 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，满足条件的三角形有两个 B. 当时，满足条件的三角形有两个 C. 若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是 D. 若满足条件的三角形不存在，则的取值范围是 10. 已知为坐标原点，椭圆为第一象限内椭圆上的动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、，连接，则（ ） A. 存在点，使得 B. 面积的最大值为 C. 重心的轨迹为椭圆的一部分 D. 原点到直线的距离的最大值为 11. 已知定义在上的可导函数的导函数为，且满足：①；②．则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 为常数，且该常数等于 C. 存在常数，使得函数是周期为的周期函数 D. 的图象关于点中心对称 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上） 12. 设一组样本数据的方差为，则数据 的方差为_____． 13. 若曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是_____． 14. 在中，角所对的边分别为，若 ，且，的面积为，则_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． （1）直接写出函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象．若、为锐角三角形中的两个内角，且满足，证明：为等腰三角形． 16. 为备战校运会篮球赛，小明同学晚自习后练习投篮次（，且），当且仅当连续投中2次或投满次时，停止练习．设小明每次投中的概率为，各次投中与否相互独立，记为停止练习时的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）当时，记事件为“第次投篮命中”，若，，求的值． 17. 如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． （1）当时，证明：平面； （2）当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 已知抛物线，为坐标原点，为抛物线上的动点． （1）当过抛物线的焦点时，求的面积的最小值； （2）为圆上一动点，、分别为线段、的中点且都在抛物线上，线段、交于点， （i）证明：、的纵坐标相同； （ii）求的取值范围． 19. 已知定义在区间上的可导函数的导函数为，若，则称为在上的“衡稳函数”，在上的零点为的“衡稳点”．已知函数， 为自然对数的底数． （1）判断，在上是否存在“衡稳点”．若存在，则分别求出该“衡稳点”，若不存在，说明理由； （2）记在上的“衡稳函数”为，若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）令，若在上有且仅有两个“衡稳点”，求实数的取值范围． 重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（二） 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上） 【12题答案】 【答案】20 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2）， 由，得，即， 因为，，，，所以， 化简得，所以为等腰三角形． 【16题答案】 【答案】（1） X 2 3 4 5 6 P （2） 【17题答案】 【答案】（1）取的中点O，连接，，有， 因为平面， 平面，所以， 又， 为平面内两条相交直线，所以平面， 当时，M为的中点，又O为的中点，则是梯形的中位线， 所以，且，又，且， 所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，又平面， 所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i）如图所示，设，，，为的中点，， 在抛物线上，， 整理可得：，同理可得：， 、为方程的两组解，∴直线的方程为， 将直线与抛物线联立可得：，，， 、分别为的两条中线，为的重心， 设，则； （ii） 【19题答案】 【答案】（1）存在“衡稳点”为，存在“衡稳点”为0 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $