广东茂名市高州市第一中学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期学情练习（10月） 九年级数学试卷 2 1 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，是的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 4．下列说法正确的是（     ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 5．下列说法不正确的是（     ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 7．用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 8．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程的一个根，则菱形的边长是（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 9．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　） A．2 B．3 C．2 D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 12．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是 ． 13．如右图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是 ；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是 （只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC． 14．已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为 . 15．如右图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是 ． 三、解答题 16．（7分）用公式法解一元二次方程：． 17．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？ 18．（7分）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 19.（9分）阅读例题，解答下题． 范例：解方程：x2+∣x+1∣﹣1=0 解：⑴当x+1≥0，即x≥﹣1时， x2+x+1﹣1=0 x2+x=0 解得x1=0 ，x2=﹣1 ⑵当x+1<0，即x<﹣1时， x2﹣(x+1)﹣1=0 x2﹣x﹣2=0 解得x1=﹣1，x2=2 ∵x<﹣1，∴x1=﹣1，x2=2都舍去. 综上所述，原方程的解是x1=0，x2=﹣1 依照上例解法，解方程： x2﹣2∣x－2∣－4=0 20．（9分）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 21．（9分）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如是常数，的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果： 设一元二次方程的两个实数根为，，计算： 解： 即 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知p，q是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______； (2)已知是多项式的一个因式，则______； (3)请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数 22.（9分）如图1，在RtABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一动点（点D不与点A、B重合），过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE． 观察猜想： （1）在点D的运动过程中，CE与AD是否相等？请说明你的理由． 探究说理： （2）如图2，当D运动到AB中点时，请探究下列问题： ①四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； ②当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 23．（9分）如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F． （1）求证：PA＝PF； （2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律． （3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度第一学期学情练习（10月）九年级数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D D A B D B D 1．C 解： ∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确． ∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误． ∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误． 2．D 解： ∵菱形中，对角线、相交于点， ∴, ∵是的中点， ∴． 3．C 解： 连接， 由作图知，垂直平分， ， 在矩形中，， ， ， ， 则该矩形的周长． 4．D 解： A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确． 5．D 解： 根据菱形、矩形、正方形的判定规则，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故A、B、C说法均正确，不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D说法错误,符合题意． 6．A 解： 将代入，得，解得． 7．B 解： ∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 8．D 【详解】解方程得， 或（舍去）， 即另一条对角线长是6， 菱形的一条对角线长为8， 菱形的边长． 9．B 解： 设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 10．【答案】D 解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2， 连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3， ∴HG＝3﹣2＝1， ∴Rt△BHG中，BG＝＝， ∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短）， ∴PE+PF的最小值是． 11． 解： ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 12． 解： 设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 解得或（舍去）, ． 13． ③     ② 解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成， 连接AC、BD， ∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点， ∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 要使四边形EFGH为矩形， 根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形， 故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形； 要使四边形EFGH为菱形， 根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH， 而EH=BD， ∴AC=BD． 故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形 14．【答案】 解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n ∴ ， ∴ 15．【答案】/0.6 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即．解得． ∴的长是． 16．， 解： 一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 17．解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得： （40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵尽快减少库存， ∴x＝20，∴299﹣x＝279. 答：每件衬衫定价应为279元. 18．(1)， (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴不论m取任何值，该方程总有实数根． 19.【答案】(1)当x﹣2≥0，即x≥2时， x2﹣2（x﹣2）﹣4=0 x2-2x=0 解得x1=0，x2=2 ∵x≥2，∴x1=0 舍去 ⑵当x﹣2<0，即x<2时， x2+2（x﹣2）﹣4=0 x2+2x﹣8=0 解得x1=﹣4 ，x2=2 ∵x<2，∴x2=2舍去. 综上所述，原方程的解是x1=2，x2=﹣4. 20．(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 (2) （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 21．(1)(2) (3) 【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根为，， ； （2）设多项式的另一个因式为， ， 即， ，， 解得，； （3）解方程， ， ， ，， ． 22.解：（1）CE＝AD， ∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴CE＝AD． （2）①四边形BECD是菱形， 理由：∵D为AB中点，∠ACB=90°， ∴AD＝BD＝CD=AB． ∵CE＝AD， ∴BD＝CE． ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD＝CD ∴四边形BECD是菱形； ②当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°， ∴AC＝BC． ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵四边形BECD是菱形； ∴四边形BECD是正方形． 23．解：（1）证明：连接PC，如图所示： ∵ABCD为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，∴； （2）PQ的长不变． 理由：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵四边形ABCD为正方形， ∴，． 在和中， ，∴． ∴； （3）如图所示：过点P作，，垂足分别为M，N． ∵四边形ABCD为正方形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BD平分，，， ∴． 在和中， ，∴． ∴． ∵， ∴． ∴ $