精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高一上学期第二次考试数学试题

东北育才高中2025—2026学年度上学期 高一年级数学科第二次月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 8. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若样本，，…，的平均值为8，则，，…，的平均值为15 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 10. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是偶函数 11. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 函数的定义域为______. 13. 已知，，，则的最小值为________． 14. 函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 16. 用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度． （1）求出函数的解析式； （2）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位） 17. 已知函数.记：使函数的定义域为的实数a的所有取值的集合为A，使函数的值域为的实数a的所有取值的集合为B，使函数在上单调递增的实数a的所有取值的集合为M，求. 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 19. 设函数（且），当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点. （1）写出函数的解析式； （2）把的图象向左平移个单位得到的图象，函数，是否存在实数，使函数的定义域为，值域为.如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由； （3）若当时，恒有，试确定的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才高中2025—2026学年度上学期 高一年级数学科第二次月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，由补集、交集的定义求解即可. 【详解】集合，所以，所以， 故选：D． 2. 函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的解析式解出的点，结合函数的奇偶性，运用排除法求解． 【详解】令，则，解得或， ，分析各选项中图像，排除选项A和B； 又， 为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项C． 函数的大致图像可能为选项D． 故选：D． 3. 若关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析不等式的解集，可得，将其代入不等式，最后求解不等式可得. 【详解】已知不等式的解集是， 由此可知且，即， 则不等式可化为， 由，可得，解得或. 故不等式的解集为 . 因此，关于的不等式的解集为. 故选：A. 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，可得出，利用基本不等式可求得函数的值域. 【详解】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， 因为， 且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，当且仅当或时，等号成立， 所以，又因为，故，故原函数的值域为. 故选：C. 5. 下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，将函数写成分段函数，即可判断；对于B，求出定义域，根据对数的基本运算及奇函数、零点的定义判断即可；对于C，由，可得函数没有零点，即可判断；对于D，求出定义域，化简得，即可判断. 【详解】解：对于A，，是奇函数，但无零点，不符题意； 对于B，因为， 所以， 所以函数是奇函数，且， 所以函数具有零点，满足题意； 对于C，因为，又因为， 所以函数不具有零点，不满足题意； 对于D，因为， 所以， 易知函数为偶函数，不满足题意. 故选:B. 6. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，找到二次函数的对称轴，讨论对称轴在题中区间内，由对称轴求得函数最小值，由最小值建立不等式，解得实数的取值范围.讨论对称轴不在题中区间内，由单调性求得函数最小值，由最小值建立不等式，求得实数的取值范围,从而求得实数取值范围. 【详解】令， 则函数关于对称， 当时，即时， 则， 即，则，即 ∴. 当时，即时， 函数在上单调递增， 即恒成立， ∴. 综上所述. 故选：A. 7. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知：，，，， ∴，，∴，又， ∴，∴，∴的最小值为. 考点：函数零点. 8. 设函数，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出函数为奇函数，再结合单调性将题意转化为存在使不等式成立，结合含参二次函数的性质解题即可. 【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称， 由于， 所以函数为奇函数， 又因为函数和均为上的减函数， 所以为上的减函数， 所以存在使不等式成立， 即成立，等价于存在使不等式成立， 当时显然满足； 当时，则，即， 综上可得实数的取值范围是， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若样本，，…，的平均值为8，则，，…，的平均值为15 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，根据平均数公式求的值并计算方差；B项，按步骤求解第70百分位数即可；C项，利用平均数的性质求新数据的平均数；D项，根据抽样比求解可得. 【详解】A选项，由平均数公式得，，解得， 根据方差公式得， ，故A项错误； B选项，将数据从小到大排序可得， 由不是整数， 所以第70百分位数是排序后第6个数，即，故B项正确； C选项，已知样本的平均值为， 即， 则的平均数为： ， 故，所以C项正确； D选项，由题意知，抽样比为， 则从高二年级抽取人数为， 设高三年级学生中抽取的人数为， 则由，解得，故D项正确； 故选：BCD. 10. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得，判断A，再令求得，从而令，可得，判断B，已知等式变形为，令，则，由赋值法得是奇函数，判断C，再计算出，判断D． 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，令，可得，则，故B正确； 由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C正确； 因为，所以不是偶函数，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设求的解析式，进而可得的解析式，并画出其函数图象，将问题转化为与有4个交点，应用数形结合判断的范围，即知的可能值. 【详解】由题设，， ∴， ∴，可得函数图象如下： 要使有四个不相等的实根，即与有4个交点， 由图知：. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域的概念，以及对数函数的性质，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】由题意可得， 对于①，由，解得； 对于②，当时，由，可得，此时无解； 当时，由，可得，解得，故有； 对于③ ，当时，解得， 综上，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，又，所以，时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为：. 14. 函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的概念，列出一元二次不等式，根据正方形的几何性质，列出方程，求出参数值，求出结果. 【详解】由题意可知函数定义域为一个闭区间，可得， 设二次函数， 可知二次函数开口向下，与轴两个交点设为，且； 当时，，二次函数最大值为， 则函数定义域为，值域为， 由表示一个正方形区域，可得， 即，得，解得或（舍）； 所以正方形边长为，面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立，可转化为恒成立，求解即可； （2）先求出为真命题时，实数的取值范围，再根据命题与命题一真一假，结合（1），即可求解. 【小问1详解】 因为为真命题，即对任意，不等式恒成立， 令，，所以在时恒成立， 所以即可， 又，，为增函数，所以， 所以，即，整理得，即， 结合二次方程和二次函数的性质，可得不等式的解集为， 所以为真命题，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 若为真命题，则存在，使得不等式成立， 令，则对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，所以时，函数取得最小值， 所以成立即可，即，解不等式得， 所以为真命题时，实数的取值范围是. ①若为真命题，为假命题， 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 因为为真命题时，实数的取值范围是， 所以为假命题时，实数的取值范围是， 所以当为真命题，且为假命题时，实数的取值范围是； ②若为假命题，为真命题， 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 所以当为假命题时，可得实数的取值范围是， 又为真命题时，实数的取值范围是， 所以当为假命题，且为真命题时，实数的取值范围是. 综上所述，若命题与命题一真一假，则实数的取值范围是. 16. 用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度． （1）求出函数的解析式； （2）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位） 【答案】（1） （2）最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可； （2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由图象可知，图象经过，两点，将两点代入， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间， 所以浓度为15时为最迟停止注射时间， 故，解得， 浓度从15降到4为最长间隔时间， 故，即， 两边同时取以2为底的对数，则， 即 ， 所以， 所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果， 最多再隔7.7小时开始进行第二次注射． 17. 已知函数.记：使函数的定义域为的实数a的所有取值的集合为A，使函数的值域为的实数a的所有取值的集合为B，使函数在上单调递增的实数a的所有取值的集合为M，求. 【答案】 【解析】 【分析】若函数的定义域为，可得对于恒成立，进而求出，若函数的值域为，可得函数的值域包含，进而求出，若函数在上单调递增，可得函数在上单调递增，且对于恒成立，进而求出，再根据并集、补集、交集的定义求解即可. 【详解】若函数的定义域为， 则对于恒成立， 当时，不等式为不恒成立； 当时，由，解得. 综上所述，. 若函数的值域为，则函数的值域包含， 当时，函数的值域为，包含； 当时，由，解得. 综上所述，. 若函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，且对于恒成立， 当时，函数在上单调递减，不符合题意； 当时，由，解得. 综上所述，. 而，， 则. 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1）0.030，84 （2）75，74 （3）62，37 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，以及由频率分布直方图求第百分位数的方法，求出结果即可. （2）由频率分布直方图求中位数和平均数的方法，求出结果即可. （3）根据平均数和方差的性质，由给出两组各自的均值和方差，求出合并后得均值和方差即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为，可得， 解得； 成绩在的频率为， 则第75百分位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知成绩在的频率为， 则样本成绩的中位数为； 由频率分布直方图可得样本平均数为. 【小问3详解】 可知成绩落在的人数为人， 成绩落在的人数为人， 则两组总体成绩平均数为， 则总体方差为. 19. 设函数（且），当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点. （1）写出函数的解析式； （2）把的图象向左平移个单位得到的图象，函数，是否存在实数，使函数的定义域为，值域为.如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由； （3）若当时，恒有，试确定的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【详解】试题分析：（1）设点Q的坐标为，利用=x-2a，=-y，转化x=+2a，y=-．通过点P（x，y）在函数y=loga（x-3a）图象上，代入即可得到函数y=g（x）的解析式； (2)，因为，故，在上单调递增，，即为的两相异的非负的实数，解方程即得的值； (3) 通过，求出的最大值，利用最大值≤1，即可确定的取值范围； 试题解析： （1）解：设点的坐标为， 则，即. 点在函数图象上， ，即, . （2）， ，故 在上单调递增，，即为的两相异的非负的实数 即，解得. （3）函数， 由题意，则， 又，且 ， ， 又对称轴为， ，则在上为增函数， 函数在上为减函数， 从而， 又，则， . 点睛：本题考查利用相关点法求函数的解析式，二次函数利用单调性求值域及函数恒成立问题，综合知识点多，难度较大，注意计算的准确性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $