奥数培优专题14 百分数综合——假设法与单位“1”转化（讲义）2026-2027学年六年级上册数学人教版

本讲义聚焦小学数学百分数综合应用核心知识点，系统梳理未知原价假设法、先折后涨变化幅度、促销方案比较、浓度问题入门及标准制定五大考点，通过知识体系梳理与解题方法图表搭建学习支架，从基础方法到综合应用层层递进。 资料特色在于分层设计与素养融合，假设法设数培养抽象能力（数学眼光），分步计算单位“1”转化强化推理意识（数学思维），促销比较、浓度问题等体现应用意识（数学语言）。典型例题分层解析，易错点精准避坑，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题十四 百分数综合-假设法与单位“1”转化 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点1：未知原价假设法 3 考点2：先打折再涨价综合变化 4 考点3：不同促销方案比较 5 考点4：浓度问题入门 6 考点5：用百分数制定标准 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点1：假设法不敢设数 8 易错点2：买几送几错算折扣 8 易错点3：浓度错除以溶剂 8 易错点4：连续变化幅度加减 9 易错点5：返现错按原价算 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 ◎ 基础夯实篇 10 ◎ 能力进阶篇 10 ◎ 思维跃迁篇 11 第五部分 精准解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版六年级上册百分数综合应用，围绕未知原价假设法、先打折再涨价综合变化幅度、不同促销方案比较、浓度问题入门、用百分数制定标准五大考点展开，掌握假设法解决无具体数量的百分数问题，会比较复杂促销方案，了解浓度问题基本方法，用百分数制定达标标准，培养假设思想和综合应用能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 未知原价假设法 题目无具体原价时，设原价为1或100，再计算变化，结果与假设数无关 设数法/假设法 无具体数量时认为无法计算，不敢设数 先折后涨综合变化 连续变化分步计算，每次以变化前为单位1，相同幅度先涨后跌结果低于原价 分步计算法 幅度直接加减，认为涨跌抵消 不同促销方案比较 买几送几、满减、打折等，统一算单价或相同数量总价再比较 统一标准比较法 买二送一错认为五折，不计算直接判断 浓度问题入门 浓度=溶质质量/溶液质量×100%，加水溶质不变，加溶质溶剂不变 抓不变量法 浓度错算成溶质/溶剂，找错不变量 用百分数制定标准 用百分率确定达标线、合格率等，根据数据合理制定标准 数据分析法 标准制定不合理，过高或过低 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 假设法 无具体数量的百分数题 设原价/总量为1或100→分步计算变化→得到结果 无数量，设为1，算变化，得结果 综合变化法 连续折扣/涨跌 第一步以原价为单位1→第二步以新价为单位1→和原价比幅度 分步算，单位变，比原价，看幅度 促销比较法 不同促销方案选优 统一算相同数量总价→或算实际单价→比较价格高低 促销比，算单价，谁便宜，选谁 浓度入门法 简单浓度问题 判断溶质溶剂→找不变量→根据不变量算新溶液 浓度，质除以液，抓不变，好计算 标准制定法 用百分数定达标标准 统计数据→按要求百分率排序→确定达标线 定标准，看数据，百分位，来确定 三、奥数思维提升 1. 假设思想：设数解题 核心要点：题目没有给出具体数量（如原价、总质量）时，可以假设一个方便计算的数（通常设1或100）来计算，结果和假设的数无关，体现假设思想，是小学重要解题策略。 示例：不知道商品原价，设原价为100元，计算先涨后跌后的价格，得到变化幅度，不管设多少，幅度都一样。 2. 单位1转化思想：连续变化 核心要点：连续百分数变化中，每次的单位1都不同，要分步计算，每次都以变化前的量为新的单位1，体现单位1转化思想。 示例：先打八折，再涨价20%，第一次单位1是原价，第二次单位1是八折后的价格，不能直接用原价算。 3. 优化思想：方案选优 核心要点：不同促销方案通过计算比较，选择最优惠的方案，体现优化思想，做聪明的消费者。 示例：买二送一相当于花2份钱得3份，约六七折，和七折相比，买二送一更便宜。 4. 不变量思想：浓度问题 核心要点：浓度问题中，加水时溶质（盐）质量不变，加溶质时溶剂（水）质量不变，抓住不变量解题，体现不变量思想，是解决分数百分数问题的重要思想。 示例：盐水加水稀释，盐的质量不变，先算出盐的质量，再根据新浓度算新的盐水质量。 5. 应用思想：百分数定标准 核心要点：用百分数制定达标线、合格标准等，是百分数在统计、评价中的应用，体现数学在生活、教育评价中的实际应用。 示例：跳绳达标线定在90%同学能达到的成绩，用百分位数确定合理标准。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点1：未知原价假设法 典型例题 1（基础型） 题目：一件商品先涨价20%，再降价20%，现价比原价高还是低？变化幅度是多少？ 思路点拨： ① 设原价为100元，涨价后100×1.2=120元； ② 降价后120×0.8=96元； ③ 现价比原价低，低4%。 【答案】比原价低4% 【知识点睛】没有原价时设100元计算，结果不变。 典型例题 2（提高型） 题目：甲比乙多20%，乙比丙少20%，甲和丙比谁多？多/少百分之几？ 思路点拨： ① 设丙为100，乙=100×0.8=80； ② 甲=80×1.2=96； ③ 甲比丙少，少4%。 【答案】甲比丙少4% 【知识点睛】没有具体数设100，分步计算比较。 典型例题 3（奥数型） 题目：水结成冰体积增加10%，冰化成水体积减少百分之几？（百分号前保留一位小数） 思路点拨： ① 设水体积为100，冰体积=100×1.1=110； ② 减少10，10÷110≈9.1%； ③ 减少约9.1%。 【答案】约9.1% 【知识点睛】增加和减少单位1不同，不是减少10%。 考点2：先打折再涨价综合变化 典型例题 1（基础型） 题目：一件商品先打八折，再涨价20%，现价是原价的百分之几？ 思路点拨： ① 设原价100，八折后80元； ② 涨价后80×1.2=96元； ③ 是原价的96%。 【答案】96% 【知识点睛】先折后涨分步算，结果比原价低。 典型例题 2（提高型） 题目：一件商品先涨价25%，再打几折就回到原价？ 思路点拨： ① 设原价100，涨价后125元； ② 要回到100元，100÷125=0.8，即打八折； ③ 打八折回到原价。 【答案】八折 【知识点睛】涨价后逆推折扣。 典型例题 3（奥数型） 题目：一件商品先打九折，再返还折后价10%的现金，相当于打几折？ 思路点拨： ① 设原价100，九折后90元； ② 返现9元，实付81元； ③ 相当于八一折。 【答案】八一折 【知识点睛】返现是在折后价基础上返，不是原价基础。 考点3：不同促销方案比较 典型例题 1（基础型） 题目：商店“买二送一”，相当于打几折？（保留一位小数） 思路点拨： ① 花2件的钱得到3件商品； ② 折扣=2÷3≈66.7%，即约六七折； ③ 约六七折。 【答案】约六七折 【知识点睛】买二送一得3件付2件钱，不是五折。 典型例题 2（提高型） 题目：A店所有商品打七折，B店“买三送一”，买4件同样商品，哪个店便宜？ 思路点拨： ① 设单价100元，A店4×70=280元； ② B店买3送1，付3×100=300元； ③ A店更便宜。 【答案】A店便宜 【知识点睛】分别算相同数量总价再比较。 典型例题 3（奥数型） 题目：饮料2元一瓶，满5瓶全部打八折，买10瓶最少花多少元？ 思路点拨： ① 直接买10瓶满足满减条件； ② 总价=10×2×80%=16元； ③ 最少花16元。 【答案】16元 【知识点睛】满足优惠条件直接买最划算。 考点4：浓度问题入门 典型例题 1（基础型） 题目：100克水中加入10克盐，这杯盐水的浓度约是多少？（百分号前保留一位小数） 思路点拨： ① 盐水总质量=100+10=110克； ② 浓度=10÷110≈9.1%； ③ 浓度约9.1%。 【答案】约9.1% 【知识点睛】浓度是盐除以盐水，不是除以水。 典型例题 2（提高型） 题目：100克浓度10%的盐水，加多少克水后变成浓度5%的盐水？ 思路点拨： ① 盐质量不变：100×10%=10克； ② 新盐水质量=10÷5%=200克； ③ 加水200-100=100克。 【答案】100克 【知识点睛】加水盐不变，先算盐再算新盐水。 典型例题 3（奥数型） 题目：200克浓度20%的糖水，加多少克糖后变成浓度40%的糖水？（保留一位小数） 思路点拨： ① 水质量不变：200×(1-20%)=160克； ② 新糖水质量=160÷(1-40%)≈266.7克； ③ 加糖≈266.7-200=66.7克。 【答案】约66.7克 【知识点睛】加糖水不变，先算水再算新糖水。 考点5：用百分数制定标准 典型例题 1（基础型） 题目：100人参加考试，80人及格，及格率是多少？ 思路点拨： ① 及格率=及格人数÷总人数×100%； ② 80÷100=80%； ③ 及格率80%。 【答案】80% 【知识点睛】及格率是及格人数除以总人数。 典型例题 2（提高型） 题目：跳绳测试，要让90%的同学达标，100个同学中最多有多少人不达标？ 思路点拨： ① 不达标率=1-90%=10%； ② 不达标人数=100×10%=10人； ③ 最多10人不达标。 【答案】10人 【知识点睛】达标率90%，不达标率10%。 典型例题 3（奥数型） 题目：5名同学跳绳成绩：120、130、140、150、160下，以80%同学能达到为标准，达标线应定为多少下？ 思路点拨： ① 80%同学达标，即5人中4人达标，最多1人不达标； ② 成绩从低到高排，第二低是130下，4人能达到； ③ 达标线定为130下。 【答案】130下 【知识点睛】80%达标就是4/5人达到，选第二低的成绩。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：假设法不敢设数 错误示例：题目没给具体原价，认为“没有原价没法算”。 正确分析：设原价为1或100，计算结果和假设的数无关，得到的幅度是正确的。 修正方法：题目没给具体数量时，大胆设1或100，算出来的变化幅度是对的。 易错点2：买几送几错算折扣 错误示例：认为“买二送一”是打五折。 正确分析：买二送一花2份钱得到3份，折扣=2÷3≈67%，是约六七折，不是五折。 修正方法：算实际折扣，用实际付的钱除以得到商品的总价值，不是除以买的数量。 易错点3：浓度错除以溶剂 错误示例：10克盐放100克水，错算浓度10%。 正确分析：盐水总质量是110克，浓度≈9.1%，浓度是溶质除以溶液（溶质+溶剂）。 修正方法：浓度=溶质÷溶液，溶液是盐加水，不是只有水。 易错点4：连续变化幅度加减 错误示例：认为“先涨20%再跌20%，涨跌抵消价格不变”。 正确分析：两次单位1不同，结果是原价的96%，比原价低，不是不变。 修正方法：连续变化分步算，不要直接把幅度加或减。 易错点5：返现错按原价算 错误示例：认为“九折再返10%现金，相当于八折”。 正确分析：返现是在折后价基础上返10%，实付是折后价的90%，总共是原价的81%，即八一折。 修正方法：返现、折扣都是在之前价格基础上算，不是都以原价为单位1。 第四部分 分层进阶专题精练 ◎ 基础夯实篇 1. 商品先涨10%再跌10%，现价是原价的____% 2. 商店“买三送一”，相当于打____折 3. 100克浓度10%的盐水中，盐有____克 4. 水结成冰体积增加10%，冰化成水体积约减少____%（保留一位小数） 5. 判断：商品先涨20%再打八折，价格不变。（ ） 6. 100克水中加入25克盐，盐水浓度是____% 7. 商品打八折后再涨价20%，现价是原价的____% 8. 100人测试，95人达标，达标率是____% ◎ 能力进阶篇 9. 商品先涨价20%，再打几折可以回到原价？ 10. A店所有商品打八折，B店“买四送一”，买5件同样商品，哪个店更便宜？ 11. 200克浓度15%的盐水，加多少克水后变成浓度10%的盐水？ 12. 商品先打九折，再返还折后价10%的现金，相当于打几折？ 13. 商店“买四送一”，买10件商品实际付几件的钱？相当于打几折？ 14. 300克浓度20%的糖水，加多少克水后变成浓度15%的糖水？ 15. 20人参加考试，要让90%的人及格，最多有几人不及格？ ◎ 思维跃迁篇 16. 商店两件商品各卖100元，一件赚25%，一件亏25%，整体是赚还是亏？赚/亏多少元？ 17. 100克浓度20%的盐水和200克浓度5%的盐水混合，混合后浓度是多少？（保留一位小数） 18. 商品先降价10%，再返还折后价10%的现金，相当于比原价降价百分之几？ 19. 商场促销：A“满100减20”，B“所有商品打八折”，买150元商品，哪个更便宜？ 20. 10名同学考试成绩：80、85、90、90、95、95、95、100、100、100，以90%同学达标为标准，达标线应定为多少分？ 第五部分 精准解析 ◎ 基础夯实篇解析 1. 【答案】99 思路点拨： ① 设原价100，涨后110，跌后99； ② 是原价99%。 【知识点睛】假设法算连续涨跌。 2. 【答案】七五 思路点拨： ① 付3件钱得4件，3÷4=75%； ② 七五折。 【知识点睛】买几送几折扣计算。 3. 【答案】10 思路点拨： ① 100×10%=10克； ② 盐10克。 【知识点睛】求溶质质量。 4. 【答案】9.1 思路点拨： ① 设水100，冰110，减少10÷110≈9.1%； ② 约9.1%。 【知识点睛】单位1变化，减少幅度不是10%。 5. 【答案】× 思路点拨： ① 1.2×0.8=0.96，比原价低； ② 说法错误。 【知识点睛】先涨后折，价格变低。 6. 【答案】20 思路点拨： ① 25÷(100+25)=20%； ② 浓度20%。 【知识点睛】浓度=溶质÷溶液。 7. 【答案】96 思路点拨： ① 0.8×1.2=0.96=96%； ② 是原价96%。 【知识点睛】先折后涨分步算。 8. 【答案】95 思路点拨： ① 95÷100=95%； ② 达标率95%。 【知识点睛】达标率计算。 ◎ 能力进阶篇解析 9. 【答案】约八三折 思路点拨： ① 设原价为 100 元，涨价 20% 后价格 =%)=120元； ② 要回到原价，折扣 =，即约八三折； ③ 约打八三折可以回到原价。 【知识点睛】已知涨价后的价格求折扣，用原价除以涨价后价格。 10. 【答案】一样便宜 思路点拨： ① 设单价100，A店5×80=400； ② B店买4送1，付4×100=400； ③ 一样便宜。 【知识点睛】分别计算比较。 11. 【答案】100克 思路点拨： ① 盐30克，新盐水30÷10%=300克； ② 加水300-200=100克； ③ 加水100克。 【知识点睛】加水盐不变。 12. 【答案】八一折 思路点拨： ① 0.9×0.9=0.81=81%； ② 八一折。 【知识点睛】折后返现，连续乘。 13. 【答案】付8件钱，八折 思路点拨： ① 买10件送2件，付8件钱； ② 8÷10=80%，八折； ③ 付8件钱，八折。 【知识点睛】买几送几计算。 14. 【答案】100克 思路点拨： ① 糖60克，新糖水60÷15%=400克； ② 加水400-300=100克； ③ 加水100克。 【知识点睛】加水糖不变。 15. 【答案】2人 思路点拨： ① 不及格率10%，20×10%=2人； ② 最多2人不及格。 【知识点睛】百分率计算。 ◎ 思维跃迁篇解析 16. 【答案】亏了，亏约13.3元 思路点拨： ① 赚的成本：100÷1.25=80元，赚20元； ② 亏的成本：100÷0.75≈133.3元，亏约33.3元； ③ 整体亏约13.3元。 【知识点睛】两件成本不同，单位1不同，整体亏。 17. 【答案】10.0% 思路点拨： ① 总盐=100×20%+200×5%=20+10=30克； ② 总溶液300克，浓度=30÷300=10%； ③ 浓度10%。 【知识点睛】混合浓度，总溶质除以总溶液。 18. 【答案】19% 思路点拨： ① 0.9×0.9=0.81，是原价81%； ② 降价1-81%=19%； ③ 降价19%。 【知识点睛】连续降价，分步乘。 19. 【答案】打八折（B 店）更便宜 思路点拨： ① A 店满减：150 元满 1 个 100，实际花费 =元； ② B 店打八折：实际花费 =元； ③ 120 元 < 130 元，B 店打八折更便宜。 【知识点睛】分别计算两种促销的实际花费，再对比优劣。 20. 【答案】85分 思路点拨： ① 90%达标，10人中9人达标，最多1人不达标； ② 成绩从低到高，第二低是85分，9人达到； ③ 达标线85分。 【知识点睛】百分位数定标准。 1 学科网（北京）股份有限公司 $