13.2分式的运算（讲义，14大知识点&14大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

第十三章 分式 13.2 分式的运算 课标要点 1.掌握分式的乘除、乘方运算法则，能熟练进行分式的乘除与乘方运算 2.理解最简公分母和通分的概念，掌握分式的加减运算法则 3.理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质。 4.能进行分式的加减乘除混合运算，并能化简求值。 5.能利用分式的运算解决实际问题，能根据分式恒等式确定分子或分母。 学习重难点 重点： 1.分式的乘除、乘方运算法则； 2.分式的加减运算法则（同分母、异分母）； 3.最简公分母与通分； 4.负整数指数幂的运算。 难点： 1.异分母分式的加减运算； 2.分式的混合运算及化简求值； 3.已知分式恒等式确定分子或分母中的参数。 知识点 分式乘法 ◆1、分式乘法的法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 即： 注意： 运算结果要化为最简分式或整式。 易错提醒 1.若分子、分母是多项式，应先因式分解再约分，不要直接展开； 2.运算结果要化为最简分式或整式。 随学随练 1．（25-26七年级上·上海·作业）计算：． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算：________． 3.（24-25七年级上·上海浦东·阶段检测）计算：___________． 知识点 分式除法 ◆1、分式除法的方法： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即： ◆2、注意：除式不能为0。 随学随练易错提醒 1.除法变乘法时，除式的分子分母要颠倒，不要与被除式颠倒； 2.结果要化为最简分式。 1.（24-25七年级上·上海浦东·阶段检测）计算的结果是______． 2.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 3.（25-26七年级上·上海·期末）化简： 知识点 分式乘除混合运算 ◆1、运算顺序： 按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 随学随练易错提醒 1.乘除混合运算中，除法要先转化为乘法，再按乘法法则计算； 2.2.不要先算乘法后算除法。 1.（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 2.（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算：． 3.（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算： 知识点 含乘方的分式乘除混合运算 ◆1、乘方的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。 随学随练易错提醒 1.分式乘方时，分子、分母都要乘方，不要漏掉； 2.负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： (1) ； (2)． 2.（25-26七年级上·上海浦东·阶段检测）计算：． 知识点 分式乘方 ◆1、分式的法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 即：（为正整数） ◆2、分式符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 易错提醒 1. 分式乘方时，分子、分母都要乘方，不能只乘分子或只乘分母； 1. 系数也要乘方，如 。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：_______． 2.（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级上·上海虹口·作业）计算：． 知识点 同分母分式加减法 ◆1、分式的法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 即： 易错提醒 1.分子是多项式时，相减要加括号，再去括号； 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：________． 2.（25-26七年级上·上海长宁·期末）计算：_____． 3.（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：______． 知识点 异分母分式加减法 ◆1、分式的法则： 异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减。 即： ◆2、分式通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ◆3、最简公分母： 通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。 易错提醒 1.通分时，分子、分母要同时乘以同一个整式； 2.确定最简公分母时，系数取最小公倍数，字母取最高次幂。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海青浦·期末）计算：_______． 2.（25-26七年级上·上海浦东·阶段测试）如果，则______． 知识点 整式与分式相加减 ◆1、分式的法则： 将整式看作分母为1的分式，进行通分后再加减。 易错提醒 1.整式与分式相加减时，不要漏掉整式； 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算： 2.（25-26七年级上·上海闵行·阶段测试）计算： 知识点 已知分式恒等式，确定分子或分母 ◆1、分式的方法：将恒等式两边通分，或去分母，得到整式恒等式，再对应项系数相等，列方程求解。 易错提醒 1.去分母时，要注意每一项都要乘； 2.对应项系数相等时，要逐项对照，不要遗漏。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海虹口·期末）若，且A，B均为常数，则________． 2.（25-26七年级上·上海浦东·期末）已知，求的值． 知识点 分式加减乘除混合运算 ◆1、分式加减乘除混合运算顺序：先算乘方，再算加减，有括号的先算括号里面的。 易错提醒 1.混合运算中，运算顺序不能错； 2.每一步都要注意符号和约分。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海长宁·作业）求被遮住部分的代数式，并将其化简． （      ） 2.（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算：． 知识点 分式化简求值 ◆1、分式化简的方法：先化简分式（通分、约分、合并），再代入字母的值计算。 易错提醒 1.化简时要注意运算顺序； 2.代入求值时，要注意分母不能为0。 2.每一步都要注意符号和约分。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海嘉定·阶段测试）先化简，再求值：，其中． 知识点 负整数指数幂 ◆1、负整数指数幂：当 为正整数时，（）。 ◆2、负整数指数幂特别： （）。 易错提醒 1.负整数指数幂的结果是正数（底数不为0）； 2. 与 互为倒数。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海金山·阶段测试）计算： 知识点 最简公分母 ◆1、最简公分母定义：通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。 ◆2、确定方法： 系数取各分母系数的最小公倍数； 字母取各分母中出现的所有字母； 指数取相同字母的最高次幂。 易错提醒 1.若分母是多项式，要先因式分解再确定最简公分母。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东·阶段测试）通分：，，． 知识点 通分 ◆1、通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ◆2、通分的方法： 先确定最简公分母； 将各分式的分子、分母同时乘以适当的整式，化为同分母分式。 易错提醒 1.通分时，分子、分母要同时乘以同一个整式； 2.不要漏乘任何一项。 1. 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东·期末）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 拓展 分式运算中的整体思想 易错提醒 1.当分式中出现相同的多项式时，可将这个多项式看作一个整体； 2.整体代换时要注意加括号。 活学活用 1．先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值； (2)原代数式的值能等于4吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 拓展 分式运算中的拆项技巧 易错提醒 1.形如 的拆项在分式运算中很常用； 2.拆项后要注意相消的规律。 答案往往不唯一，只需写出一个符合条件的即可。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）若，则的值是______． 拓展 分式运算中的化简求值技巧 易错提醒 1.化简求值时，要先化简再代入，不可直接代入； 2.若条件是一个等式，可考虑整体代入。 若只有分子或分母发生变化，分式的值会改变，需具体分析。 活学活用 1.（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 题型 分式乘法 ▌例1 （25-26七年级上·上海虹口·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 解题方法 1.分子与分子相乘，分母与分母相乘。 2.若分子、分母是多项式，先因式分解，再约分。 3.约分时先约系数，再约相同字母（或相同因式），最后化为最简分式。 解题贴士 能约分先约分，再相乘，可简化计算。 多项式相乘前先分解因式，不要直接展开。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·上海青浦·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海·课后作业）计算•的结果是 _____． 题型 分式除法 ▌例2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2) 解题方法 1. 把除式的分子、分母颠倒位置。 2. 将除法转化为乘法，再按乘法法则计算。 3. 结果化为最简分式或整式。 解题贴士 颠倒的是“除式”，不要与被除式混淆。 除式不能为0，即除式的分子不能为0。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海虹口·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 分式乘除混合运算 ▌例3（25-26七年级上·上海松江·期末）计算：   解题方法 1. 按从左到右的顺序进行。 2. 遇到除法先转化为乘法。 3. 将所有除法转化完后，再统一约分计算。 解题贴士 不要先算后面的乘法，必须按顺序进行。 可以先把所有除法变成乘法，再一次性约分。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． ▌对点练3-2（24-25七年级上·上海金山·期末）计算∶=____． 题型 含乘方的分式乘除混合运算 ▌例4（25-26七年级上·上海·期中）计算： 解题方法 1.先算乘方：分子、分母分别乘方，系数也要乘方。 2.再算乘除：除法转化为乘法，然后约分。 3.最后化为最简分式。 解题贴士 乘方时注意负号的奇偶次幂。 乘方后若能与后面的分式约分，先约分再乘。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海普陀·期末）．把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：________（结果不含负指数幂）． 题型 分式乘方 ▌例5（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 解题方法： 1.分子、分母分别乘方。 2.系数也要乘方，不要漏掉。 3.结果化为最简分式。 解题贴士 负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 带分数的分式乘方，可先化为假分数再乘方。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：__________________．（结果只含正整数指数幂） ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·期中）计算：__________________．（结果只含正整数指数幂） 题型 同分母分式加减法 ▌例6 （25-26七年级上·上海·期末）计算：______． 解题方法 1.分母不变，分子相加减。 2.分子是多项式时，相减要加括号，再去括号。 3.结果能约分的要约分。 解题贴士 分子相减时，一定要把后面的分子用括号括起来。 最后结果要化为最简分式。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：_________． 题型 异分母分式加减法 ▌例7 计算：． 解题方法 异分母加减“三步法”： 1. 通分：确定最简公分母； 2. 加减：分子相加减； 3. 化简：化为最简分式。 解题贴士 最简公分母：系数取最小公倍数，字母取最高次幂。 通分时分子、分母同乘同一个整式，不能只乘分母。 ▌对点练7-1 计算：． ▌对点练7-2（24-25七年级上·上海青浦·期中）计算：________． 题型 整式与分式相加减 ▌例8 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：． 解题方法 1. 把整式看作分母为1的分式。 2. 通分：整式乘以最简公分母，化为同分母分式。 3. 分子相加减，最后化简。 解题贴士 不要漏掉整式，整式也要参与通分。 通分后分子相减时注意加括号。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·上海·期末）计算：______． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 题型 已知分式恒等式，确定分子或分母 ▌例9 （25-26七年级上·上海·期末）若，，则用含x的代数式表示y为_____． 解题方法 1.将恒等式右边通分，或两边同时去分母。 2.得到整式恒等式。 3.对应项系数相等，列方程组求解。 解题贴士 去分母时每一项都要乘，不能漏乘。 解出参数后，可代回原式检验。 ▌对点练9-1 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）已知，其中A、B为常数，求的值． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·上海普陀·期末）已知，其中为常数，则______． 题型 分式加减乘除混合运算 ▌例10 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）计算： ▌对点练10-1（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：解题方法 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2. 有括号的先算括号里面的。 3. 除法转化为乘法，异分母加减先通分。 解题贴士 运算顺序不能错，分步计算可减少错误。 每一步都要注意符号和约分。 ▌对点练10-2（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 题型 分式化简求值 ▌例11 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）先化简，再求值：，其中． ▌对点练11-1（25-26七年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中a、b满足．解题方法 1. 先化简：因式分解、约分、合并同类项。 2. 将字母的值代入化简后的式子。 3. 计算求值，注意分母不能为0。 解题贴士 先化简再代入，不可直接代入原式。 代入后注意运算顺序，结果要准确。 ▌对点练11-2（25-26七年级上·上海·阶段测试）先化简，再求值：，其中a、b满足． 题型 负整数指数幂 ▌例12 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）计算：． ▌对点练12-1（25-26七年级上·上海青浦·期中）把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________．解题方法 1.根据 （）计算。 2.（）。 3.负整数指数幂的结果是正数。 解题贴士 底数不能为0。 与 互为倒数。 ▌对点练12-2（25-26七年级上·上海·期中）计算：．（结果只含有正整数指数幂） 题型 分式化简求值 ▌例13 （24-25七年级上·上海浦东·阶段检测）先化简再求值：，其中． ▌对点练13-1（25-26七年级上·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中．解题方法 1.系数取各分母系数的最小公倍数。 2. 字母取各分母中出现的所有字母。 3. 相同字母的指数取最高次幂。 4. 若分母是多项式，先因式分解再确定。 解题贴士 不要漏掉只在一个分母中出现的字母。 多项式分母要先分解因式，再取各因式的最高次幂。 ▌对点练13-2若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有___________个． 题型 通分 ▌例14 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）通分： (1)与； (2)与． ▌对点练14-1（25-26七年级上·上海金山·期中）当时，的值是_______．解题方法 1.先确定最简公分母。 2.将每个分式的分子、分母同时乘以适当的整式，使分母化为最简公分母。 3.分子乘以相同的整式，注意不要漏乘。 解题贴士 通分时，分子和分母必须同乘同一个整式。 每一项都要乘，不能只乘分母或只乘分子中的一部分。 ▌对点练14-2计算： 基础通关 1．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算的结果是______． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：____________________．（结果不含负整数指数幂） 4．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 5．（25-26七年级上·上海·期末）计算∶=____． 6．（25-26七年级上·上海松江·期末）计算：_______． 7．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：_____． 8．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：________（结果不含负指数幂）． 9．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）_______． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 11．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算： 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：______． 素养提升 13．（25-26七年级上·上海·阶段测试）已知：，求的值． 14．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 16．（25-26七年级上·上海·期中）计算________． 17．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：． 18．（25-26七年级上·上海·期中）小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是______． 迁移创新 19．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 20．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； (3)化简：． 21．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 22.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”． (2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求a＋b的值； (3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，请直接写出满足条件的x的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 分式 13.2 分式的运算 课标要点 1.掌握分式的乘除、乘方运算法则，能熟练进行分式的乘除与乘方运算 2.理解最简公分母和通分的概念，掌握分式的加减运算法则 3.理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质。 4.能进行分式的加减乘除混合运算，并能化简求值。 5.能利用分式的运算解决实际问题，能根据分式恒等式确定分子或分母。 学习重难点 重点： 1.分式的乘除、乘方运算法则； 2.分式的加减运算法则（同分母、异分母）； 3.最简公分母与通分； 4.负整数指数幂的运算。 难点： 1.异分母分式的加减运算； 2.分式的混合运算及化简求值； 3.已知分式恒等式确定分子或分母中的参数。 知识点 分式乘法 ◆1、分式乘法的法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 即： 注意： 运算结果要化为最简分式或整式。 易错提醒 1.若分子、分母是多项式，应先因式分解再约分，不要直接展开； 2.运算结果要化为最简分式或整式。 随学随练 1．（25-26七年级上·上海·作业）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算：________． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为；． 3.（24-25七年级上·上海浦东·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 知识点 分式除法 ◆1、分式除法的方法： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即： ◆2、注意：除式不能为0。 随学随练易错提醒 1.除法变乘法时，除式的分子分母要颠倒，不要与被除式颠倒； 2.结果要化为最简分式。 1.（24-25七年级上·上海浦东·阶段检测）计算的结果是______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式除法计算，先分解因式，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 2.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 3.（25-26七年级上·上海·期末）化简： 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： 知识点 分式乘除混合运算 ◆1、运算顺序： 按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 随学随练易错提醒 1.乘除混合运算中，除法要先转化为乘法，再按乘法法则计算； 2.2.不要先算乘法后算除法。 1.（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的乘除混合运算，原式先计算，再把除法转换为乘法，约分后即可得到答案． 【详解】解： ． 2.（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 3.（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘除混合运算、整数指数幂的运算 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 知识点 含乘方的分式乘除混合运算 ◆1、乘方的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。 随学随练易错提醒 1.分式乘方时，分子、分母都要乘方，不要漏掉； 2.负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 2.（25-26七年级上·上海浦东·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 知识点 分式乘方 ◆1、分式的法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 即：（为正整数） ◆2、分式符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 易错提醒 1. 分式乘方时，分子、分母都要乘方，不能只乘分子或只乘分母； 1. 系数也要乘方，如 。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方运算以及分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式的乘方运算法则和乘法运算法则． 先计算，再与相乘并约分即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（24-25七年级上·上海闵行·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘方、分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：． 故选C． 3.（24-25七年级上·上海虹口·作业）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】利用分式的乘方法则计算即可． 【详解】． 【点睛】本题主要考查分式的乘方法则的运用，理解分式的乘方就是分别把分子分母乘方是解题的关键。 知识点 同分母分式加减法 ◆1、分式的法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 即： 易错提醒 1.分子是多项式时，相减要加括号，再去括号； 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：________． 【答案】/ 【知识点】约分、同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法． 原式分母相同，直接合并分子，分子利用平方差公式因式分解后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2.（25-26七年级上·上海长宁·期末）计算：_____． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的减法运算，掌握知识点是解题的关键． 分母相同，直接分子相减，再化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3.（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【答案】/ 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，先把原式变形为，再根据分式的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点 异分母分式加减法 ◆1、分式的法则： 异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减。 即： ◆2、分式通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ◆3、最简公分母： 通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。 易错提醒 1.通分时，分子、分母要同时乘以同一个整式； 2.确定最简公分母时，系数取最小公倍数，字母取最高次幂。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海青浦·期末）计算：_______． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，先通分，然后计算减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2.（25-26七年级上·上海浦东·阶段测试）如果，则______． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、分式的求值 【分析】本题考查了求分式的值． 由得到，即，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点 整式与分式相加减 ◆1、分式的法则： 将整式看作分母为1的分式，进行通分后再加减。 易错提醒 1.整式与分式相加减时，不要漏掉整式； 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海虹口·期末）计算： 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式的减法． 先将分式通分，再按同分母分式的加减法法则计算，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 2.（25-26七年级上·上海闵行·阶段测试）计算： 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的混合运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 知识点 已知分式恒等式，确定分子或分母 ◆1、分式的方法：将恒等式两边通分，或去分母，得到整式恒等式，再对应项系数相等，列方程求解。 易错提醒 1.去分母时，要注意每一项都要乘； 2.对应项系数相等时，要逐项对照，不要遗漏。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海虹口·期末）若，且A，B均为常数，则________． 【答案】 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.（25-26七年级上·上海浦东·期末）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得到关于和的方程组，解方程组求出和，再计算的值． 【详解】解： , ， ， ， ， 解得：， ． 知识点 分式加减乘除混合运算 ◆1、分式加减乘除混合运算顺序：先算乘方，再算加减，有括号的先算括号里面的。 易错提醒 1.混合运算中，运算顺序不能错； 2.每一步都要注意符号和约分。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海长宁·作业）求被遮住部分的代数式，并将其化简． （      ） 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】设被遮住的部分代数式为A，根据题干给出的等量关系列出算式，再按照分式的运算法则化简即可得到结果． 【详解】解：设被遮住部分的代数式为A，则， ∴， 即被手遮住部分的代数式为． 2.（24-25七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、通分、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式加减乘除混合运算，通分，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，然后通分合并进行化简即可． 【详解】解： 知识点 分式化简求值 ◆1、分式化简的方法：先化简分式（通分、约分、合并），再代入字母的值计算。 易错提醒 1.化简时要注意运算顺序； 2.代入求值时，要注意分母不能为0。 2.每一步都要注意符号和约分。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海嘉定·阶段测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【知识点】分式化简求值、负整数指数幂 【分析】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂，先将括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将a的值代入化简后的式子计算即可，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 知识点 负整数指数幂 ◆1、负整数指数幂：当 为正整数时，（）。 ◆2、负整数指数幂特别： （）。 易错提醒 1.负整数指数幂的结果是正数（底数不为0）； 2. 与 互为倒数。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海金山·阶段测试）计算： 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、整数指数幂的运算 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的计算，分解因式，先利用平方差公式把原式分解因式，再合并同类项并计算即可得到答案． 【详解】解： ． 知识点 最简公分母 ◆1、最简公分母定义：通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。 ◆2、确定方法： 系数取各分母系数的最小公倍数； 字母取各分母中出现的所有字母； 指数取相同字母的最高次幂。 易错提醒 1.若分母是多项式，要先因式分解再确定最简公分母。 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东·阶段测试）通分：，，． 【答案】，， 【知识点】通分、最简公分母 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 知识点 通分 ◆1、通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ◆2、通分的方法： 先确定最简公分母； 将各分式的分子、分母同时乘以适当的整式，化为同分母分式。 易错提醒 1.通分时，分子、分母要同时乘以同一个整式； 2.不要漏乘任何一项。 1. 2.通分时，整式也要乘以相应的整式。 2.结果要化为最简分式。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海浦东·期末）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、通分、最简公分母 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键。 拓展 分式运算中的整体思想 易错提醒 1.当分式中出现相同的多项式时，可将这个多项式看作一个整体； 2.整体代换时要注意加括号。 活学活用 1．先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值； (2)原代数式的值能等于4吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)化简为，值为 (2) 解：不能．理由如下： 当， 解得 当时的值为0，除数不能为0， 故原代数式的值不能等于4． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果； （2）当，解得，再结合分式有意义的条件判断即可得出结果． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）略 拓展 分式运算中的拆项技巧 易错提醒 1.形如 的拆项在分式运算中很常用； 2.拆项后要注意相消的规律。 答案往往不唯一，只需写出一个符合条件的即可。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）若，则的值是______． 【答案】6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 拓展 分式运算中的化简求值技巧 易错提醒 1.化简求值时，要先化简再代入，不可直接代入； 2.若条件是一个等式，可考虑整体代入。 若只有分子或分母发生变化，分式的值会改变，需具体分析。 活学活用 1.（24-25七年级上·上海松江·阶段检测）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 【答案】2或8 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，根据题意将分式拆分为整式与“真分式”的和的形式是解题的关键． 首先将分式化为整式与真分式的和，根据真分式为整数确定分母的取值即可． 【详解】解： ∴为整式，为真分式， ∵分式是整数， ∴为整数， ∴当时，；当时，； ∵当时，分式值为； 当时，分式值为；均为整数， ∴正整数的值为2或8， 故答案为：2或8． 题型 分式乘法 ▌例1 （25-26七年级上·上海虹口·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故选D． 解题方法 1.分子与分子相乘，分母与分母相乘。 2.若分子、分母是多项式，先因式分解，再约分。 3.约分时先约系数，再约相同字母（或相同因式），最后化为最简分式。 解题贴士 能约分先约分，再相乘，可简化计算。 多项式相乘前先分解因式，不要直接展开。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·上海青浦·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．根据乘法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海·课后作业）计算•的结果是 _____． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】先将原式进行因式分解，再进行分式的乘法运算，化简求值就可． 【详解】解：原式＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算，本题属于基础题型． 题型 分式除法 ▌例2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式除法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键， （1）利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题方法 1. 把除式的分子、分母颠倒位置。 2. 将除法转化为乘法，再按乘法法则计算。 3. 结果化为最简分式或整式。 解题贴士 颠倒的是“除式”，不要与被除式混淆。 除式不能为0，即除式的分子不能为0。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海虹口·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘法、分式除法 【分析】本题考查了分式的乘除运算． （1）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （2）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解； （3）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （4）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：（可看成．）； （3）解：； （4）解：． 题型 分式乘除混合运算 ▌例3（25-26七年级上·上海松江·期末）计算：   【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解题的关键；先把负整数指数幂变为正整数指数幂，按照运算顺序先计算乘方与乘法，再计算除法即可． 【详解】解：原式 ． 解题方法 1. 按从左到右的顺序进行。 2. 遇到除法先转化为乘法。 3. 将所有除法转化完后，再统一约分计算。 解题贴士 不要先算后面的乘法，必须按顺序进行。 可以先把所有除法变成乘法，再一次性约分。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘除法、完全平方公式，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．根据分式的乘法法则、完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． ▌对点练3-2（24-25七年级上·上海金山·期末）计算∶=____． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型 含乘方的分式乘除混合运算 ▌例4（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，再分子分母进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 解题方法 1.先算乘方：分子、分母分别乘方，系数也要乘方。 2.再算乘除：除法转化为乘法，然后约分。 3.最后化为最简分式。 解题贴士 乘方时注意负号的奇偶次幂。 乘方后若能与后面的分式约分，先约分再乘。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海普陀·期末）．把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、整数指数幂的运算、负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则，分式的除法法则和乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：________（结果不含负指数幂）． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题考查负整数指数幂，分式的乘方运算． 先利用负指数幂法则转化为正指数，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型 分式乘方 ▌例5（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】利用分式的乘方法则计算即可． 【详解】． 【点睛】本题主要考查分式的乘方法则的运用，理解分式的乘方就是分别把分子分母乘方是解题的关键． 解题方法： 1.分子、分母分别乘方。 2.系数也要乘方，不要漏掉。 3.结果化为最简分式。 解题贴士 负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 带分数的分式乘方，可先化为假分数再乘方。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：__________________．（结果只含正整数指数幂） 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的乘方运算，根据负整数指数幂，分式的乘方运算以及除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·期中）计算：__________________．（结果只含正整数指数幂） 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的乘方运算，根据负整数指数幂，分式的乘方运算以及除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型 同分母分式加减法 ▌例6 （25-26七年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】/ 【知识点】分式化简求值、因式分解的应用、同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式减法，因式分解，分式的化简，根据运算法则计算，再利用因式分解，将分子分解，再化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 解题方法 1.分母不变，分子相加减。 2.分子是多项式时，相减要加括号，再去括号。 3.结果能约分的要约分。 解题贴士 分子相减时，一定要把后面的分子用括号括起来。 最后结果要化为最简分式。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：_________． 【答案】/ 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的减法及化简，原式为两个同分母分式的减法运算，直接合并分子后，利用平方差公式因式分解，再约分即可化简． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 题型 异分母分式加减法 ▌例7 计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、异分母分式加减法、整数指数幂的运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂以及同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 解题方法 异分母加减“三步法”： 1. 通分：确定最简公分母； 2. 加减：分子相加减； 3. 化简：化为最简分式。 解题贴士 最简公分母：系数取最小公倍数，字母取最高次幂。 通分时分子、分母同乘同一个整式，不能只乘分母。 ▌对点练7-1 计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练7-2（24-25七年级上·上海青浦·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加减法运算， 先通分，再根据同分母分式加减法计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型 整式与分式相加减 ▌例8 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，再相减即可． 【详解】解： ． 解题方法 1. 把整式看作分母为1的分式。 2. 通分：整式乘以最简公分母，化为同分母分式。 3. 分子相加减，最后化简。 解题贴士 不要漏掉整式，整式也要参与通分。 通分后分子相减时注意加括号。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减，解题的关键是先将两个分式的分母化为相同形式，再进行分子的加减运算，最后化简． 【详解】解： 故答案为：． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再利用分式的减法法则计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型 已知分式恒等式，确定分子或分母 ▌例9 （25-26七年级上·上海·期末）若，，则用含x的代数式表示y为_____． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组的代入消元法，分式的加减混合运算；由求得，代入y的表达式中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 上式代入中，得：； 故答案为：． 解题方法 1.将恒等式右边通分，或两边同时去分母。 2.得到整式恒等式。 3.对应项系数相等，列方程组求解。 解题贴士 去分母时每一项都要乘，不能漏乘。 解出参数后，可代回原式检验。 ▌对点练9-1 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）已知，其中A、B为常数，求的值． 【答案】13 【知识点】构造二元一次方程组求解、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由①②得：， 所以． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·上海普陀·期末）已知，其中为常数，则______． 【答案】 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型 分式加减乘除混合运算 ▌例10 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【详解】解： ． ▌对点练10-1（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：解题方法 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2. 有括号的先算括号里面的。 3. 除法转化为乘法，异分母加减先通分。 解题贴士 运算顺序不能错，分步计算可减少错误。 每一步都要注意符号和约分。 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：原式 ． ▌对点练10-2（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，先对括号内分式进行通分，再把除法运算转换为乘法运算，进行约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 题型 分式化简求值 ▌例11 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是做题的关键．先按照分式的运算法则，对原式进行化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． ▌对点练11-1（25-26七年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中a、b满足．解题方法 1. 先化简：因式分解、约分、合并同类项。 2. 将字母的值代入化简后的式子。 3. 计算求值，注意分母不能为0。 解题贴士 先化简再代入，不可直接代入原式。 代入后注意运算顺序，结果要准确。 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先计算括号内的式子，再算括号外面的除法，然后根据可以得到a、b的值，再代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， 因为，，且， 所以，， 解得：，， 当，时，原式 ▌对点练11-2（25-26七年级上·上海·阶段测试）先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先计算括号内的式子，再算括号外面的除法，然后根据可以得到a、b的值，再代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， 因为，，且， 所以，， 解得：，， 当，时，原式 题型 负整数指数幂 ▌例12 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘除混合运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用、单项式除以单项式及分式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式除以单项式及分式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． ▌对点练12-1（25-26七年级上·上海青浦·期中）把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________．解题方法 1.根据 （）计算。 2.（）。 3.负整数指数幂的结果是正数。 解题贴士 底数不能为0。 与 互为倒数。 【答案】 【知识点】负整数指数幂、含乘方的分式乘除混合运算、整数指数幂的运算 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则，分式的除法法则和乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ▌对点练12-2（25-26七年级上·上海·期中）计算：．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【知识点】负整数指数幂、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了负整数指数幂、分式的乘方与乘除法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先将负整数指数幂转化成正整数指数幂，再计算分式的乘方，然后计算分式的乘除法即可得． 【详解】解：原式 ． 题型 分式化简求值 ▌例13 （24-25七年级上·上海浦东·阶段检测）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，正确计算是解题的关键；先计算除法，再计算减法，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． ▌对点练13-1（25-26七年级上·上海金山·期中）先化简，再求值：，其中．解题方法 1.系数取各分母系数的最小公倍数。 2. 字母取各分母中出现的所有字母。 3. 相同字母的指数取最高次幂。 4. 若分母是多项式，先因式分解再确定。 解题贴士 不要漏掉只在一个分母中出现的字母。 多项式分母要先分解因式，再取各因式的最高次幂。 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确计算是解题的关键． 利用分式的性质进行分式化简，代入求值即可； 【详解】解：原式 ， ， 原式． ▌对点练13-2若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有___________个． 【答案】1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式化简求值 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解：， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 题型 通分 ▌例14 （24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，解题的关键是找出两个分式分母的最小公倍数． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）找出两分母的最简公分母，通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母为， ；． （2）解：最简公分母为， 故；． ▌对点练14-1（25-26七年级上·上海金山·期中）当时，的值是_______．解题方法 1.先确定最简公分母。 2.将每个分式的分子、分母同时乘以适当的整式，使分母化为最简公分母。 3.分子乘以相同的整式，注意不要漏乘。 解题贴士 通分时，分子和分母必须同乘同一个整式。 每一项都要乘，不能只乘分母或只乘分子中的一部分。 【答案】 【知识点】约分、通分 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌对点练14-2计算： 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，涉及因式分解，掌握相关知识是解题关键．先计算小括号内分式化简后计算减法，再结合提公因式因式分解，再计算分式乘法，约分化简即可． 【详解】解： ． 基础通关 1．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式除法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查负指数幂、平方差公式和分数的除法运算，利用分数的除法运算是解题的关键． 首先将负指数化为倒数形式，分子和分母分别通分后，利用分式的除法法则转化为乘法，再结合平方差公式约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算的结果是______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式除法计算，先分解因式，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：____________________．（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘除混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算以及分式的化简知识点，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，并能正确运用平方差公式对式子进行化简。 先将原式中各项的负整数指数幂化为正整数指数幂的形式，再对分子进行变形，利用平方差公式因式分解，然后通过约分消去公因式，将结果化为不含负整数指数幂的形式。 【详解】原式 = 故答案为： 4．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的乘方及除法运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；先算乘方，然后再进行分式的除法运算即可． 【详解】解：原式 ． 5．（25-26七年级上·上海·期末）计算∶=____． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算，先计算乘方运算，然后把除法转化为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海松江·期末）计算：_______． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题考查了负整数指数幂． 根据负整数指数幂的运算法则：计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：_____． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题考查了负整数指数幂，应用负整数指数幂的含义进行计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：________（结果不含负指数幂）． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方 【分析】本题考查负整数指数幂，分式的乘方运算． 先利用负指数幂法则转化为正指数，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）_______． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、分式乘方、分式乘除混合运算、积的乘方运算 【分析】此题考查了积的乘方，分式的乘方和除法，负整数指数幂，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算积的乘方，分式的乘方，然后计算单项式乘以单项式，将除法转化成乘法，然后计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式乘方、分式乘除混合运算 【分析】先算乘方，再算乘除即可． 【详解】． 【点睛】本题是分式乘除的混合运算，在运算时注意运算顺序是解题的关键． 11．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】负整数指数幂、约分、同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，负整数指数幂和约分，先把负整数指数幂化成分式的形式，再把对应分式的分子和分母分解因式后约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】此题考查分式的加减运算，明确同分母分式相加减的方法是解题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分．分式运算时，默认字母的取值范围使分式有意义（即）． 【详解】解：原式． 故答案为：． 素养提升 13．（25-26七年级上·上海·阶段测试）已知：，求的值． 【答案】1 【知识点】异分母分式加减法、加减消元法、同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减，先将右边通分后相加，化成与坐标相同的形式，再根据对应系数和常数项相等得到一个关于m、n的二元一次方程组，从而求出m、n的值，继而得解．掌握分式的加减法则和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 14．（25-26七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，先将分子分母因式分解，再计算乘法，最后计算同分母加法即可． 【详解】解：原式 ． 15．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、通分 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式加减乘除混合运算，通分，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，然后通分合并进行化简即可． 【详解】解： 16．（25-26七年级上·上海·期中）计算________． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母分式加法，通过找到公分母，将两个分式通分后合并，化简分子得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 17．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的运算法则是解答此题的关键．根据异分母分式加减运算法则通分计算即可． 【详解】解： ． 18．（25-26七年级上·上海·期中）小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是______． 【答案】/ 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M为，再根据抄写的M比原来大，得正确的M为，最后代入原式计算正确结果． 【详解】解：抄错时，有， 则， 所以． 由于抄写的M比原来大， 故正确的M为．代入原式， 正确结果为． 故答案为：． 迁移创新 19．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”； （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ； （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中是常数），则________，________； (3)化简：． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题干提供的解题思路分解分式即可； （）仿照题干得，比较分母，得，比较分子，得 ，解得，从而求解； （）分别求出， ，则，然后计算，从而求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴ 比较分母，得 ， 比较分子，得 ，解得 ， 故答案为：，； （3）解：∵ ， ， 原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 21．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 【答案】1 或 2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、异分母分式加减法、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． 根据题意可得，再去分母，整理即可解得；并化简 D，再根据 D 的值为正整数，列出方程求解 x，检验即可． 【详解】解：∵C 是 D 的和整分式，且和整值， ∴． 即 ． 通分得 ． 则 ． 解得 ． 于是 （其中 ）． ∵ D 的值为正整数，x 为正整数， ∴ 或 ． 解得：或． 故答案为：或． 22.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”． (2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求a＋b的值； (3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，请直接写出满足条件的x的值． 【答案】(1)不是，理由如下： ∵，， ∴ ∴C不是D的“差常分式”． (2) (3)或或0或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握并能灵活掌握变形是关键． （1）依据题意，由，从而可以判断得解； （2）依据题意，由，故，且，从而求出a，b即可得解； （3）依据题意，由，可得，从而 ，结合当x为整数，且M的值也为整数，进而可以判断得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，即， ∴，且， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∵x为整数，且M的值也为整数， ∴或． ∴或或0或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $