11.3整式的除法（讲义，4大知识点&7大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本初中数学讲义聚焦整式除法核心知识点，以幂的运算体系为基础，构建从同底数幂除法法则、零指数幂规定到单项式除以单项式、整式除以单项式的递进式学习支架，衔接整式乘除运算差异辨析与混合运算顺序把控。 资料通过“随学随练”即时巩固抽象能力，“题型分类”整合上海期中真题强化运算能力与推理意识，分层练习（基础通关、素养提升、迁移创新）助力应用意识培养。课中辅助教师落实分步运算教学，课后帮助学生查漏补缺，提升代数运算与推理能力。

第十一章 整式的乘除 11.3 整式的除法 课标要点 1.结合幂的运算体系理解同底数幂除法的算理，掌握同底数幂除法法则与零指数幂的规定，掌握单项式除以单项式、整式除以单项式的运算法则，能准确完成各类整式除法运算与混合运算。 2. 能辨析整式乘除运算的差异，规范书写运算步骤，建立 “先定运算类型→匹配法则→分步运算→化简结果” 的认知逻辑。 3. 能运用整式除法法则完成代数式化简、求值类问题，结合幂运算性质的逆用简化运算，提升代数运算与推理能力。 学习重难点 重点： 同底数幂除法法则；零指数幂的规定；单项式除以单项式、整式除以单项式的运算法则与基本步骤。 难点： 同底数幂乘除混合运算的顺序把控；零指数幂的底数非零条件；整式除法的符号处理与逐项运算的准确性；乘除乘方混合运算的综合应用。 知识点 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法性质：是正整数且。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 同底数幂的除法运算，可以转化为指数的减法运算 （1）运用性质的前提是底数相同，只有底数相同，才能运用此法则． （2）底数可以是数字、字母，也可以是单项式或整式． （3）指数相减指的是被除式的指数减去除式的指数，且要求被除式的指数大于除式的指数。 2．同底数幂的除法性质的推广及逆用 （1）推广．都是正整数，且． （2）逆用．都是正整数，且． 3．含有乘方的同底数幂的乘除混合运算 在含有乘方的同底数幂的乘除混合运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除。在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 有括号时，先进行括号内的运算，同级运算，要按从左到右的顺序进行运算． 随学随练 1．若，则a等于（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．若，，则=__________． 3．计算________． 知识点 零指数幂 规定：，即任何不等于零的数的零次幂都等于1． 说明：对零指数幂意义的理解注意以下两点。 （1）规定的意义是一个由特殊到一般的归纳过程，当除数和被除数相等时，商是1，而当时，有，为了在数学中讲得通，故。这里条件很重要，不可忽视。如 ． （2） 能否等于1，由底数决定，当时，。当时，无意义。 （1）只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是 1 ． （2）注意底数一定不能为0，如无意义． 随学随练 1．的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 2．计算的结果是（     ） A． B．1 C． D． 3．若，则应满足的条件是________． 知识点 单项式除以单项式 1．单项式除以单项式法则：两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除。 2．单项式除以单项式的步骤 （1）把系数相除，所得的结果作为商的系数（系数相除时注意符号变化）． （2）把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式。 （3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式。 这里显然指的是被除式能被除式整除的情况，所以两个单项式相除，在现阶段仍是一个单项式。 3．单项式混合运算法则 进行单项式的混合运算，通常情况下，应先乘方，再乘除，最后做加减运算。如果有括号，当然要先做括号内的运算。这些都与有理数的运算顺序相同，可以把它们迁移到单项式的混合运算中来． 随学随练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．计算：________． 知识点 整式除以单项式 1．整式除以单项式法则 整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 用式子表示。 2．整式除以单项式是整式乘单项式的逆运算 整式除以单项式，其基本方法与步骤是转化为单项式除以单项式，结果仍是整式，其项数与原整式的项数相同。因此整式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。根据除法是乘法的逆运算可知，整式除以单项式的运算法则的实质是把整式除以单项式的运算转化为单项式的乘法运算。由于，故整式除以单项式的法则也可以看作是乘法对加法的分配律的应用。 （1）商的项数与被除式的项数相同。 （2）每一项的符号由单项式的符号确定，当单项式的符号为负时，商的各项符号与整式的各项符号相反。当单项式的符号为正时，商的各项符号与整式的各项符号相同。 （3）当被除式中有一项与除式相同时，这一项被除以以后得到的商为1而不是0，这个1是商里的一项，与商式里的其他各项是相加的关系． （4）商的次数不高于整式的次数，商的次数＝整式的次数－单项式的次数，如若整式是五次整式，单项式是二次单项式，当这个整式除以这个单项式时，商的次数是三次整式。 （5）某些整式除以整式也可以应用整式除以单项式的法则，如 整式除以单项式转化为单项式除以单项式时，应注意逐项计算，整式的每一项都包括它前面的符号，整式有几项，所得结果就有几项． 随学随练 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为，现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 题型1 同底数幂的除法运算 ▌例1（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． ▌对点练1-1（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）_____________．（结果用幂的形式表示） ▌对点练1-2（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是______． ▌对点练1-3（25-26七年级上·上海·期中）______． 题型2 同底数幂除法的逆用 ▌例2（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，那么________． ▌对点练2-1（25-26七年级上·上海金山·期中）若，则的值是_____． ▌对点练2-2（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，那么__________． ▌对点练2-3（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么_____． 题型3 零指数幂 ▌例3（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是______． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若无意义，则整式的值为__________． ▌对点练3-2（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是___________． ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果，那么x所满足的条件是_____． ▌对点练3-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，则x的值是_________． 题型4 幂的混合运算 ▌例4计算： ▌对点练4-1（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． ▌对点练4-2（24-25七年级上·上海·期中）计算： ▌对点练4-3（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 题型5 计算单项式除以单项式 ▌例5（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：． ▌对点练5-1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： ▌对点练5-2（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：_________． ▌对点练5-3（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算：______． ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 题型6 整式除以单项式 ▌例6（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：______． ▌对点练6-1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：__________． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： ▌对点练6-3计算：． ▌对点练6-4（25-26七年级上·上海·期中）计算： 题型7 整式四则混合运算 ▌例7（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． ▌对点练7-1（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． ▌对点练7-2（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． ▌对点练7-3（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中满足等式． 基础通关 （25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 （25-26七年级上·上海·期中）计算：________． （25-26七年级上·上海松江·阶段检测）已知，，则________． （24-25七年级上·上海·阶段检测）化简：_____． ______． （25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． （25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 素养提升 （25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 （25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． （25-26七年级上·上海·期中）设是一个整式，且，则______． 如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是_____． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ （24-25七年级下·河北张家口·期中）已知：▇． (1)求▇所表示的代数式； (2)求当，时，▇所表示的代数式的值． 迁移创新 （24-25七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：； (3)猜想，并说明理由． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除 11.3 整式的除法 课标要点 1.结合幂的运算体系理解同底数幂除法的算理，掌握同底数幂除法法则与零指数幂的规定，掌握单项式除以单项式、整式除以单项式的运算法则，能准确完成各类整式除法运算与混合运算。 2. 能辨析整式乘除运算的差异，规范书写运算步骤，建立 “先定运算类型→匹配法则→分步运算→化简结果” 的认知逻辑。 3. 能运用整式除法法则完成代数式化简、求值类问题，结合幂运算性质的逆用简化运算，提升代数运算与推理能力。 学习重难点 重点： 同底数幂除法法则；零指数幂的规定；单项式除以单项式、整式除以单项式的运算法则与基本步骤。 难点： 同底数幂乘除混合运算的顺序把控；零指数幂的底数非零条件；整式除法的符号处理与逐项运算的准确性；乘除乘方混合运算的综合应用。 知识点 同底数幂的除法 1．同底数幂的除法性质：是正整数且。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 同底数幂的除法运算，可以转化为指数的减法运算 （1）运用性质的前提是底数相同，只有底数相同，才能运用此法则． （2）底数可以是数字、字母，也可以是单项式或整式． （3）指数相减指的是被除式的指数减去除式的指数，且要求被除式的指数大于除式的指数。 2．同底数幂的除法性质的推广及逆用 （1）推广．都是正整数，且． （2）逆用．都是正整数，且． 3．含有乘方的同底数幂的乘除混合运算 在含有乘方的同底数幂的乘除混合运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除。在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 有括号时，先进行括号内的运算，同级运算，要按从左到右的顺序进行运算． 随学随练 1．若，则a等于（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法及除法完成． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．若，，则=__________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算性质，利用同底数幂除法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可，用到的知识点是同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】解：已知， ∴ 3．计算________． 【答案】 【详解】解：． 知识点 零指数幂 规定：，即任何不等于零的数的零次幂都等于1． 说明：对零指数幂意义的理解注意以下两点。 （1）规定的意义是一个由特殊到一般的归纳过程，当除数和被除数相等时，商是1，而当时，有，为了在数学中讲得通，故。这里条件很重要，不可忽视。如 ． （2） 能否等于1，由底数决定，当时，。当时，无意义。 （1）只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是 1 ． （2）注意底数一定不能为0，如无意义． 随学随练 1．的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：． 2．计算的结果是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂运算法则：任何不等于的数的次幂等于． 【详解】解：． 3．若，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据零指数幂有意义的条件：求解即可． 【详解】解：∵， 根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不能为0， ∴． 知识点 单项式除以单项式 1．单项式除以单项式法则：两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除。 2．单项式除以单项式的步骤 （1）把系数相除，所得的结果作为商的系数（系数相除时注意符号变化）． （2）把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式。 （3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式。 这里显然指的是被除式能被除式整除的情况，所以两个单项式相除，在现阶段仍是一个单项式。 3．单项式混合运算法则 进行单项式的混合运算，通常情况下，应先乘方，再乘除，最后做加减运算。如果有括号，当然要先做括号内的运算。这些都与有理数的运算顺序相同，可以把它们迁移到单项式的混合运算中来． 随学随练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式的除法法则计算除法，即可得到结果． 【详解】解： ． 3．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 知识点 整式除以单项式 1．整式除以单项式法则 整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 用式子表示。 2．整式除以单项式是整式乘单项式的逆运算 整式除以单项式，其基本方法与步骤是转化为单项式除以单项式，结果仍是整式，其项数与原整式的项数相同。因此整式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。根据除法是乘法的逆运算可知，整式除以单项式的运算法则的实质是把整式除以单项式的运算转化为单项式的乘法运算。由于，故整式除以单项式的法则也可以看作是乘法对加法的分配律的应用。 （1）商的项数与被除式的项数相同。 （2）每一项的符号由单项式的符号确定，当单项式的符号为负时，商的各项符号与整式的各项符号相反。当单项式的符号为正时，商的各项符号与整式的各项符号相同。 （3）当被除式中有一项与除式相同时，这一项被除以以后得到的商为1而不是0，这个1是商里的一项，与商式里的其他各项是相加的关系． （4）商的次数不高于整式的次数，商的次数＝整式的次数－单项式的次数，如若整式是五次整式，单项式是二次单项式，当这个整式除以这个单项式时，商的次数是三次整式。 （5）某些整式除以整式也可以应用整式除以单项式的法则，如 整式除以单项式转化为单项式除以单项式时，应注意逐项计算，整式的每一项都包括它前面的符号，整式有几项，所得结果就有几项． 随学随练 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 2．某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化．已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为，现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴新的电路布线规律可以表示为． 3．一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，列出算式后利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：已知长方形面积，长为， ∴宽为 ， 因此该长方形的宽为． 题型1 同底数幂的除法运算 ▌例1（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，先计算乘方，再从左到右进行乘除运算即可 【详解】解：， 故答案为： ▌对点练1-1（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）_____________．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法运算，先分别计算 和 ，再利用同底数幂的除法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练1-2（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是______． 【答案】4 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算规则是解题的关键．利用同底数幂的除法法则，将等式左边化为，右边写成以2为底的幂形式，再比较指数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． ▌对点练1-3（25-26七年级上·上海·期中）______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，整式的减法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算乘方，再计算同底数幂的除法，最后计算减法即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型2 同底数幂除法的逆用 ▌例2（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，那么________． 【答案】27 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方，灵活运用相关运算法则是解答的关键． 根据同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则，将已知条件转化为方程求解即可． 【详解】解：由同底数幂的除法的逆运算得，代入已知，得． 又因为，所以， 代入得，解得． 故答案为：27． ▌对点练2-1（25-26七年级上·上海金山·期中）若，则的值是_____． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键．利用指数运算规则，将表示为，再代入已知值计算． 【详解】解：由已知条件 , ， 根据幂的乘方运算法则，， 再根据同底数幂的除法法则，. 故答案为：． ▌对点练2-2（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，那么__________． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，先计算出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． ▌对点练2-3（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么_____． 【答案】或 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，将等式左边利用指数运算法则进行化简，得到，与右边比较指数，根据指数相等关系，确定和的值，再计算． 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 题型3 零指数幂 ▌例3（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了有意义的条件，熟练掌握有意义时，是解题的关键，据此作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若无意义，则整式的值为__________． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的意义及代数式求值，解题的关键是根据零指数幂无意义的条件求出的值． 先根据零指数幂无意义的条件（底数为0）求出的值，再将其代入整式计算． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． ▌对点练3-2（25-26七年级上·上海·期中）若，则所满足的条件是___________． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂的意义，熟练掌握零指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的零指数幂等于1，零的零指数幂没有意义． 根据求解即可． 【详解】解：由题意， 成立的条件是底数 ． 解得 ． 故答案为：． ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果，那么x所满足的条件是_____． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了幂的运算，根据零指数幂的定义，任何非零数的零次方等于1，因此底数不能为零． 【详解】解：当时，，故成立的条件是，即． 故答案为：． ▌对点练3-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知：，则x的值是_________． 【答案】或2 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的性质和有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题的关键． 利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，分别列出方程，进一步可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴或或， 当时，即，此时，故舍去； 当时，即，此时，满足等式； 当时，即， 时，，满足等式； 时，，无意义，不满足等式； ∴的值为：或2． 故答案为：或2 ． 题型4 幂的混合运算 ▌例4计算： 【答案】 【知识点】幂的混合运算、合并同类项 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练4-1（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】幂的混合运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练4-2（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】幂的混合运算、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． ▌对点练4-3（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式乘法混合运算、幂的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 题型5 计算单项式除以单项式 ▌例5（25-26七年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【详解】解： ． ▌对点练5-1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、积的乘方运算、幂的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，整式的乘除，解题关键是注意运算顺序．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算整式的乘除． 【详解】解：原式      ． ▌对点练5-2（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：_________． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方计算，先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练5-3（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据积的乘方和单项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型6 整式除以单项式 ▌例6（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再结合单项式除以单项式的法则计算． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练6-1（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：__________． 【答案】/ 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，先运算完全平方公式，平方差公式，积的乘方，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． 【详解】解： ． ▌对点练6-3计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握好整式混合运算的运算法则是关键． 按照整式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． ▌对点练6-4（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式．直接根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型7 整式四则混合运算 ▌例7（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ▌对点练7-1（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式四则混合运算 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，同底数幂的乘除法，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． ▌对点练7-2（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，先计算乘法，再计算整式加减法． 【详解】解： ． ▌对点练7-3（25-26七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中满足等式． 【答案】，14 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及完全平方公式． 利用平方差公式以及完全平方公式以及整式的混合运算进行化简，再求出x，y的值，代入求解即可． 【详解】解： ． 所以，． ， ． 基础通关 （25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ，选项A错误； ∵， ∴ ，选项B错误； ，选项C错误； ∵， ∴ ，选项D正确． 已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选C． （25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和除法运算，根据指数运算的法则，同底数幂相除时指数相减，同底数幂相乘时指数相加，并按从左到右的运算顺序计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． （25-26七年级上·上海松江·阶段检测）已知，，则________． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方，根据同底数幂的除法和幂的乘方得到，然后利用整体代入的方法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． （24-25七年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 【答案】 【知识点】幂的混合运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查幂的混合运算，负整数幂，熟练掌握整式的积的乘方、幂的乘方运算法则以及负指数的定义是解题的关键，先计算积的乘方、幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，注意最后结果要把负指数化为正指数． 【详解】解：， 故答案为：． ______． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】根据考查整式的除法运算，熟练掌握多项式与单项式的除法运算法则是解题的关键． 将多项式中的每一项分别除以单项式，利用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． （25-26七年级上·上海崇明·期中）已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法的逆用、幂的乘方的逆用，解决本题的关键是根据同底数幂的乘法和除法的逆用，幂的乘方的逆用求解即可． 首先逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可； 逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解：， 当，时， 原式． （25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算单项式乘以多项式和多项式除以单项式，然后合并后代数求解即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 素养提升 （25-26七年级上·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【知识点】整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． （25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． （25-26七年级上·上海·期中）设是一个整式，且，则______． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据整式除法的意义，被除数等于除数乘以商，通过分配律计算即可． 【详解】由题意可得： 故答案为：． 如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，数形结合表示出工件横截面的面积代数式是解决问题的关键． 可将题图补全，变成一个大长方形，则题图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积，再由整式混合运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 该工件横截面的面积为 ， 故答案为：． 如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 【答案】15 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、计算单项式除以单项式 【分析】先计算出大长方形的面积为，而C类卡片的面积为，即可确定需要15张C类卡片． 【详解】解：大长方形的面积， ∵C类卡片的面积是， ∴， ∴小明需要准备C类卡片15张． 某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是_____． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 【答案】1038 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的等式，第一个等式表示表达式的值为2076，第二个等式表示表达式的值为2，需要求第三个表达式的值．通过简化第三个表达式和利用前两个等式的值，计算得到结果． 【详解】解：简化第三个表达式： ， 由已知，，则 ． 故答案为：1038． （24-25七年级下·河北张家口·期中）已知：▇． (1)求▇所表示的代数式； (2)求当，时，▇所表示的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、多项式除以单项式、整式四则混合运算 【详解】（1）解：由题意得：▇ ； ∴▇所表示的代数式是； （2）解：当，时，▇． 迁移创新 （24-25七年级下·浙江杭州·期中）阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作． (1)根据以上规定求出：________；________； (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ，． 根据以上证明，请计算：； (3)猜想，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数乘方逆运算、零指数幂、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题为新定义运算题，依据规定等价于， （1）根据定义直接找到满足等式的指数即可得到结果； （2）仿照题干给出的证明思路，设两个运算的结果，利用同底数幂乘法法则推导得到结果； （3）设出两个运算的值，利用同底数幂除法法则推导验证猜想，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， （2）解：设， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：猜想， 理由如下：设， ∴， ∴ ∴ ∴． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 能被整除，理由如下： (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式除以单项式 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）略 （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $